O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi
Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org
sitesinden ya...
1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi
Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet
(stok) hareketlerinin matemati...
Stok hareketlerinin Matematik Modeli
Senet fiyatlarındaki ∆t zaman aralığındaki değişimi ∆S, ile
gösterilsin.
Burada ∆S ...
Fiyat Diferansiyeli Fiyat İle Orantılıdır
∆t ufak bir değer olduğunda ∆t zaman aralığındaki senet
fiyatı S∆t
S∆t = Seµ∆t
...
Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır.
Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bu...
Normallik Varsayımı
Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, ∆t aralığı çok
küçük olduğundan normalite varsayımının old...
Ito Lemması
∆S bağıntımızın çok ufak ∆t, değerleri için geçerli olduğunu
kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişken...
Ito Lemması İspat:
Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona
Taylor açılımını uygularsak ikin...
).(2
32
2
2
2
2
2
2
1222
2
2
2
1
2
3
2
2
2
222
2
2
2
1
totS
St
f
tS
St
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
tS
S
f
t
t
f
tS
S
f
tS
S
f
f
...
Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel)
düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini
ihtiva e...
Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki ε2
katsayısıdır. Bunu gidermek için aşağıdaki değerlendirmele...
)()(
)22
2
2
2
1(
totS
S
f
tS
S
f
t
f
S
S
f
f
∆+∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
εσ
σµ
Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verile...
( )ttSNS t ∆∆−+∆ σσµ ,)(ln~ln 2
2
1
0
İspat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki;
.)()2
2
1(
)()2
2
1(
)1()22
2
1
2
10...
Lemma 2:
Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun.
∆t küçük olduğunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır.
.)()...
Şimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir
rasgele değişken ε dan oluşuyor. µ, σ, ve ∆t için nümeri...
Corollary 1: Senet fiyatlarındaki değişim de, ∆t zaman
aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiğinde (T olarak
gösterilir) l...
Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır
Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır.
Buna göre;
0112
2...
Ve varyans “için de benzer olarak;
( ) ( ) ( )
( )01
2110
lnln...
lnlnlnlnlnln
SSVar
SSVarSSVarSSVar nnnTT
−++
−+−=− −−−
(...
Buna göre;




 −− TTNS
T
S σσµ ,)2
2
1(~
0
lnln
Veya benzeri olarak ,




 −+ TTSN
T
S σσµ ,)2
2
1(
0
ln~ln
E...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Black-Scholes Matematigi

844 visualizações

Publicada em

Publicada em: Dados e análise
  • Seja o primeiro a comentar

Black-Scholes Matematigi

  1. 1. Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modelinin Elde Edilmesi Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org sitesinden yararlanılmıştır. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
  2. 2. 1. Stok fiyat hareketlerinin modellenmesi Black-Scholes formulasyonuna girmeden önce, senet (stok) hareketlerinin matematik modelini kurmalıyız.
  3. 3. Stok hareketlerinin Matematik Modeli Senet fiyatlarındaki ∆t zaman aralığındaki değişimi ∆S, ile gösterilsin. Burada ∆S in ∆t aralığındaki beklenen verimi (% µ) yansıtacağını kabul edebiliriz. Başlangıç olarak stok fiyatlarının volatilitesi olmadığını varsayarsak, başlangıç bağıntısı olarak; ∆S = mSDt Burada S cari senet fiyatı, ∆t kısa zaman aralığı ve µ , S nin bileşik faizle yıllık beklenen getirisidir. (µ Pazar tarafından belirlenen ve bağımsız bir değer olarak düşünülmektedir. Diğer bir deyişle yatırımcılar senedin şimdiki değerinden bağımsız olarak yıllık bir getiri bekleyeceklerdir.
  4. 4. Fiyat Diferansiyeli Fiyat İle Orantılıdır ∆t ufak bir değer olduğunda ∆t zaman aralığındaki senet fiyatı S∆t S∆t = Seµ∆t Olacaktır. Buradan ∆S = S∆t - S = Seµ∆t - S = S(eµ∆t – 1) seriye açarak işlem yapılır ve ∆t yüksek dereceli terimleri ihmal edilirse ≈ Sµ∆t , Olarak alınabilir S∆t ≈ Sµ∆t
  5. 5. Piyasada senet fiyatlarının sabit bir oranda artmadığı açıktır. Buna göre modele bir miktar rasgelelik de eklenmelidir. Bunun için fiyat diferansiyeline aşağıdaki terimi ekleyeceğiz. εσ tS ∆ Burada σ yıllık volatilite, yani ∆S/S değerlerinin yıllık değişiminin standart sapmasıdır. ∀ε ise N(0,1) dağılımından gelen bir rasgelel değerdir (white noise) ε değerinin normalliği, stok fiyatlarının bir Brown hareketi izlediği kabulunden kaynaklanıyor. Bunun anlamı küçük bir zaman aralığında stok değerlerinin büyük sıçramalar yapmayacağıdır. Bu sapmaların normal dağıldığını kabul ediyoruz. ∆t karekökü ise birazdan açıklanacaktır.
  6. 6. Normallik Varsayımı Burada dikkatle belirtmemiz gereken durum, ∆t aralığı çok küçük olduğundan normalite varsayımının oldukça zayıf olduğudur. Normallik kabulunun geçerli olduğunu varsayarsak; Bu kabuller çerçevesinde; ( ) εσµ σεσ tStSS tSNtS ∆+∆=∆ ∆∆ ,0~ Diyebiliriz. Bu modele göre, stok fiyatlarındaki değişime rasgele değerler alan ε neden olacaktır.
  7. 7. Ito Lemması ∆S bağıntımızın çok ufak ∆t, değerleri için geçerli olduğunu kabul edelim, şimdi f fonksiyonu S ve t değişkenleri cinsinden tanımlanmış olsun ve iki kere türetilebilsin. f = (S,t) Bu fonksiyon ufak ∆t değerleri için aşağıdaki bağıntıyı gerçekler; )2()()()22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσσµ
  8. 8. Ito Lemması İspat: Şimdi F yukarıdaki gibi tanımlanmış olsu. Bu iki değişkenli fonksiyona Taylor açılımını uygularsak ikinci mertebeden terimlere kadar ∆f için aşağıdaki bağıntı yazılabilir, )( 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 totS Sf f t t f S S f t t f S S f f ∆+∆∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ Burada ∆S için daha önceki εσµ tStSS ∆+∆=∆ bağıntımızı yerine koyarsak, ).()( 2 2 2 2 2 12)( 2 2 2 1 )( tottStS Sf f t t f tStS S f t t f tStS S f f ∆+∆∆+∆ ∂∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆+∆ ∂ ∂ =∆ εσµ εσµ εσµ
  9. 9. ).(2 32 2 2 2 2 2 2 1222 2 2 2 1 2 3 2 2 2 222 2 2 2 1 totS St f tS St f t t f tS S f tS S f tS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσµεσ εµσµεσµ ifadesi elde edilir. Biraz karışık görünse de sadece iki değişkenli bir Taylor açılımıdır. Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir. Df açılımını terimlerine göre yeniden düzenleyerek )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
  10. 10. Şimdi, ∆t son derecede küçük bir değer olarak (diferansiyel) düşünüldüğünden, ∆t nin 1. dereceden yüksek üslerini ihtiva eden terimler sıfıra gider ve bu ifade basitleşir. )()()222 2 2 2 1( )(222 2 2 2 1 totS S f tS S f t f S S f f totS S f t t f tS S f tS S f f ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∆+∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ =∆ εσεσµ εσεσµ
  11. 11. Bu ifade ile Ito lemması arasındaki tek fark ilk terimindeki ε2 katsayısıdır. Bunu gidermek için aşağıdaki değerlendirmeleri görelim: . ( ε ~ N(0,1) olduğu için.) 22)2()4( 2 )22()24()2( )(2 tEE tEtEtVAR tott ∆     −=     ∆−∆=∆ ∆+∆=∆ εε εεε ε tttE ∆=    ∆=∆ 22 )( εε
  12. 12. )()( )22 2 2 2 1( totS S f tS S f t f S S f f ∆+∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ εσ σµ Elde edilir ve (2) bağıntısı ile verilen lemma gerçeklenmiş olur. Buna göre ε2 ∆t varyansı 0 civarında ise ve, ε2 ∆t nin beklenen değeri ∆t ise, ε2 ∆t = ∆t + o(∆t) olur ve
  13. 13. ( )ttSNS t ∆∆−+∆ σσµ ,)(ln~ln 2 2 1 0 İspat: Ito’nun (2) Lemmasına göre biliyoruz ki; .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( )ln( )()22 2 2 2 1( εσσµ σεσµ εσσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf tS S f tS S f t f S S f f ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ = ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ .
  14. 14. Lemma 2: Senet fiyatları (1) denklemine uyumlu olsun. ∆t küçük olduğunda senet fiyatları log-normal olarak dağılır. .)()2 2 1( )()2 2 1( )1()22 2 1 2 101( ;)ln( εσσµ σεσµ εσσµ tt tt tS S tS S S S f olsunSf ∆+∆−= ∆+∆−= ∆+∆−++≈∆ =      ∆∆−+∆ ttSNtS σσµ ,)2 2 1(0ln~ln tS S f tS S f t f S S f f ∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈∆ )()22 2 2 2 1( εσσµ İspat: Ito’nun Lemmasını kullanarak;
  15. 15. Şimdi Ito Lemmasına göre bu bağıntı bir takım sabitler ve tek bir rasgele değişken ε dan oluşuyor. µ, σ, ve ∆t için nümerik değerler zaman serilerinden elde edilebilir. Buna göre;      ∆∆−∆ ttNf σσµ ,)2 2 1(~      ∆∆−+ ∆ − ∆ =∆ ttSN t S S t Sf σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln ) 0 ln()ln( . Buradan senet fiyatlarındaki değişimin logaritmalarının bir normal dağılıma sahip olduğunu görmekteyiz. Olarak belirlenir. Yani senetlerin fiyat diferansiyelleri normal olarak dağılmaktadır. Bu önemli bir sonuç olup ilerde tekrar kullancağız.
  16. 16. Corollary 1: Senet fiyatlarındaki değişim de, ∆t zaman aralıkları keyfi olarsak büyük seçildiğinde (T olarak gösterilir) log-normal olarak dağılır.      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln İspat: Burada T zaman süresi n adet, örtüşmeyen {∆t1, ∆t2, ∆t3, …, ∆tn} zaman aralıklarının toplamından oluşsun; ∆t1+∆t2+ ∆t3+ …+ ∆tn= T. ST senedin T anındaki fiyatını göstersin, kabullerimize göre senet fiyatları bir Brown hareketine göre değişir ve etkin Pazar hipotezine göre senet fiyatları bağımsızdır ve ln (Si+1) – ln (Si ) diferansiyelleri normal olarak dağılır.
  17. 17. Logaritmik diferansiyellerin toplamı da Normal dağılır Bunların toplamı da normal olarak dağılacaktır. Buna göre; 0112 2-n1-n1-nT0T Sln–SlnSln–Sln...... Sln–SlnSln–SlnSln–Sln +++ = + ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSE SSESSESSE nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 12 2 1 ... ttt nn ∆−++∆−+∆−= − σµσµσµ ( ) ( ) ( )Ttt i i i i 2 2 12 2 12 2 1 σµσµσµ −=∆−=∆−= ∑∑
  18. 18. Ve varyans “için de benzer olarak; ( ) ( ) ( ) ( )01 2110 lnln... lnlnlnlnlnln SSVar SSVarSSVarSSVar nnnTT −++ −+−=− −−− ( ) ( ) ( )2 1... 2 1 2 tntnt ∆++−∆+∆= σσσ T i it 22 σσ =∑∆ Burada senet fiyatlarının Brown hareketine sahip olduğu Varsayımında nin önemi ortaya çıkıyor.T
  19. 19. Buna göre;      −− TTNS T S σσµ ,)2 2 1(~ 0 lnln Veya benzeri olarak ,      −+ TTSN T S σσµ ,)2 2 1( 0 ln~ln Elde edilir. Bu da senet fiyatlarının hareketi konusundaki varsayımlarımızı kanıtlamış olur.

×