O “mundo” da simetriaReflectindo sobre desafios do PMEB        Ana Maria Roque Boavida         ana.boavida@ese.ips.pt
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O mundo da_simetria-_reflectindo_sobre_desafios_do_pmeb

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De: Ana Maria Roque Boavida

Publicada em: Educação
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O mundo da_simetria-_reflectindo_sobre_desafios_do_pmeb

  1. 1. O “mundo” da simetriaReflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida ana.boavida@ese.ips.pt
  2. 2. PFCM 2010/2011 ESE/IPSObservando o PMEB tendo a simetria por horizonte Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2
  3. 3. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Que imagens têm ou não têm simetria? Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 3
  4. 4. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: Que significado? Serão as mãos simétricas? Será a nossa cara simétrica? Serão os bonecos simétricos? Afinal, de que falamos quando falamos em simetria? Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 4
  5. 5. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl) A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70) Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 5
  6. 6. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: Estabilizando um significado Falar de simetria é falar de simetria de uma figura. Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do (Bastos, 2006) espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,... Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas...... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 6
  7. 7. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de uma figura: Estabilizando um significado Focando-nos nas figuras do plano Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006) Invariante significa globalmente invariante Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182) Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 7
  8. 8. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias: — Rotação — Translação — Reflexão — Reflexão deslizante Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 8
  9. 9. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria .O Rotação 75ºO peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros dorelógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O eamplitude 75 graus.Rotação de centro O e amplitude 750 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 9
  10. 10. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria .O Centro de rotação: Rotação pode ser um ponto 75º que não pertenceCentro de rotação: pode ser à figuraum ponto da figura .O 2700750 .O .O .O 1800 (meia volta) 3600 Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 10
  11. 11. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria RotaçãoRotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distânciade O à imagem de P (P’ );•a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α. Rotação de centro O e amplitude 900 F F Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 11
  12. 12. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação ρ Translação associada ao vector ϖ ρTranslação associada ao vector υ ρ ϖ ρ υNuma translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” namesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 12
  13. 13. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Translação Translação associada ao vector u é uma transformação geométricaem que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O + u  u Translação da figura F  F u associada ao vector Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 13
  14. 14. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s) eixo de reflexãoCada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma rectaperpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 14
  15. 15. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria ReflexãoReflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder acada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:•a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ous é a mediatriz de [O O’];•se O pertence a s, a sua imagem coincide com O. F  Reflexão da figura F de de eixo s s Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 15
  16. 16. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Revisitando isometrias a propósito de simetria Transformação geométrica queReflexão deslizante resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s. F  u s O’’ imagem de O através da reflexão  deslizante associada a s e ao vector u Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 16
  17. 17. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Retomando a ideia de simetria de uma figuraDe entre as aplicações mais interessantes das transformaçõese grupos de transformações estão as relacionadas comquestões de simetria. Existindo muitas espécies de simetriasno plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometriasreferidos. (Serra, 1993, p. 305) — Simetria de reflexão (ou simetria axial) — Simetria de rotação (ou simetria rotacional) —Simetria de translação —Simetria de reflexão deslizante Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 17
  18. 18. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos? Várias hipóteses... Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima); ... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 18
  19. 19. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura  Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305) Eixo de simetria?1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 19
  20. 20. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão de uma figura Eixo de simetria?1 eixo de simetria 2 eixos de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria 4 eixos de simetria Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 20
  21. 21. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria rotacional de uma figuraExiste, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Sóneste caso se admite também uma simetria rotacional associada aum ângulo de 3600.Como a reconhecemos? Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional (ou qualquer outro tipo de simetria) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 21
  22. 22. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria rotacional de uma figuraQue simetrias rotacionais tem a figura? CC: Centro da simetria rotacional (pontoem torno do qual a figura “roda”)Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o“movimento” da figura.Um quarto de volta Meia volta Três quartos de volta Uma volta inteira (90º) (180º) (270º) (360º) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 22
  23. 23. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de translação de uma figura Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invarianteComo a reconhecemos?  Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original  Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 23
  24. 24. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria de reflexão deslizante de uma figuraExiste, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante Como a reconhecemos?  Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original.  Se a figura for infinita, existe essa possibilidade… Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 24
  25. 25. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Em busca de simetrias de figurasPotencialidadesO estudo das simetrias das figuras constitui uma Conhecimentoaplicação muito interessante das isometrias que permite matemáticodesenvolver o conhecimento matemático destastransformações geométricas e fornecer, Resolução deconsequentemente, ferramentas que podem ser muito problemasúteis na resolução de problemas geométricos. (...) ConhecimentoO conceito de simetria pode ser também a base para matemáticoactividades de descrição e classificação de figurasgeométricas, de argumentação/demonstração (…) Comunicação e raciocínioA análise de objectos artísticos ou de cristais através dassuas simetrias são actividades que estabelecem ligações Conexões matemáticasentre a matemática e outros domínios do saber (...)(Bastos, 2006, p. 11) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 25
  26. 26. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias de polígonosQue simetrias existem num quadrado? D C A B Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 26
  27. 27. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias de polígonosQue simetrias existem num quadrado?  Simetrias de reflexão 4 Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos  Simetrias rotacionais 90º 4 D C Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600. B Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 27
  28. 28. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias de polígonosExemplo de material de apoio à exploraçãode simetrias em polígonos Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 28
  29. 29. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceasExemplos de rosáceas Rosáceas  Figuras compostas por diversos módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600 e a medida desta amplitude é exacta.  Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura).  Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 29
  30. 30. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceasQue simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • assinala o centro de simetria • (ou centro de rotação) da figura Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 30
  31. 31. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas Que simetrias existem nestas rosáceas? Identificar • assinala o centro de simetria • (ou centro de rotação) da figura Simetria de reflexão e simetria  Só simetria rotacionalrotacional R rotação de 600  Simetria de reflexão R2 rotação de 1200 2 eixos de simetria – lado/lado R3 rotação de 1800  Simetria rotacional R4 rotação de 2400 R rotação de 1800 R5 rotação de 3000 R2 rotação de 3600 (identidade) R6 rotação de 3600 (identidade) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 31
  32. 32. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceasExemplo de um recurso tecnológico de apoio àconstrução de rosáceas: o scratchMotivosimples Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 32
  33. 33. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceasExemplo de um recurso tecnológico de apoio àconstrução de rosáceas: o scratchMotivosimples Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 33
  34. 34. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosExemplos de frisos Friso  Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção.  No friso, o grupo de simetria fixa uma recta.  Pode haver outras simetrias para além das de translação As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 34
  35. 35. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosQue simetrias existem neste friso? Identificar Nomenclatura adoptada recta horizontal recta vertical Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 35
  36. 36. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosQue simetrias existem neste friso? Identificar  u Nomenclatura adoptada recta horizontal recta vertical  v  De translação. Por exemplo, translações associadas aos   vectores u e v.  De reflexão de eixo horizontal Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 36
  37. 37. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosQue simetrias existem neste friso? Identificar Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 37
  38. 38. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosQue simetrias existem neste friso? Identificar  De reflexão de eixo horizontal  De reflexão de eixos verticais   De translação da figura u associadas aρvectores com a direcção de υ e comprimento múltiplo do deste vector. Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 38
  39. 39. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito Construir diversos usando isometrias r A A A’’ ’ B’ ’ B’ B’’ C’ C’ C’’ D’ D’ D’’Motivo simples [A´, B’, C’, D’] imagem do [A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de motivo simples através de [A´, B’, C’, D’] através de uma reflexão de eixo r. uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexãoNota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo (recta r). Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 39
  40. 40. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Construir (continuação)Através de translações sucessivas da figura Obtém-se o friso Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 40
  41. 41. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosQue tipos de frisos há? Investigar Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202) Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 41
  42. 42. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos Motivo simples Investigar Tipo 1: gerado por translaçãoMotivo composto Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 42
  43. 43. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisosMotivo simples InvestigarMotivo composto Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo Motivo composto vertical e translação conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 43 Adaptação da
  44. 44. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos InvestigarMotivo simplesTipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 44
  45. 45. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos InvestigarMotivo simples Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45
  46. 46. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos InvestigarMotivo simples Motivo composto Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação Há apenas sete tipos de frisos... Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 46
  47. 47. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Simetria: A da conferência apresentada por Anaharmonia, beleza... (Alcazar, Sevilha) Adaptação busca de equilíbrio, Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 47
  48. 48. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Bibliografia e outros materiais consultadosBastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM –Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11.Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação eMatemática, 94, 23-27.Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions.Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: ShelterPublications.Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ªed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall.Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta.Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias esimetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28.Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48
  49. 49. PFCM 2010/2011 ESE/IPS Bibliografia e outros materiais consultadosDocumentos não publicadosConjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias eisometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora(Julho de 2010).Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana MariaBoavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de ProfessoresAcompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) .Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira,professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011).Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de FormaçãoContínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).Siteshttp://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.htmlhttp://www.atm.org.uk/resources/http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.htmlhttp://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49
  50. 50. 15º EREPM, 30/4/2011- Bragança O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB Ana Maria Roque Boavida ana.boavida@ese.ips.pt

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