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キムワイプ卓球における得点の複素数への拡張

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"Points of Kimwipe Table Tennis Extended over Complex Plane"
2017年の第一回キムワイプ卓球研究会で使用した資料です。キムワイプ卓球において、"複素数の得点"を定義する方法を提案しました。

Slideshareで日本語の資料をアップロードするのは結構工夫が必要なようで、色々試したのですが毎回表示が崩れてしまいました。試行錯誤の末読めるレベルには抑えたので、これで何卒ご容赦ください。

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キムワイプ卓球における得点の複素数への拡張

  1. 1. キムワイプ卓球における得点の 複素数への拡張 前田健登 (東京大学キムワイプ卓球会)
  2. 2. §1 背景 理念: 「理系共通基盤としてのキムワイプ」を 軸とした人的交流 1.1 複素数導入の必要性 勝敗は必ずしも重視されない
  3. 3. 1.1 複素数導入の必要性 勝敗を重視しない性質を 内部に組み込んだルールも用意したい. 図の出典: wikipedia「複素平面」2017/05/20閲覧。 https://ja.wikipedia.org/wiki/複素平面 非負整数上の得点体系 複素数上の得点体系 大小関係がない
  4. 4. 1.2 “トンネル効果” キムワイプ卓球の「環境依存性」に由来する現象. 通称”トンネル効果”とは…...
  5. 5. 1.3 トンネル効果による拡張 “トンネル効果”による得点の複素数への拡張: 「“トンネル効果”が確認された時、+i点を得る」 問題点 1点の加点と i点の加点が質的に全く異なる 複素平面上の回転対称性がない 「キム場」の周期性に注目し、そこに「位相」を導入して 複素数に拡張する方法を論じる。
  6. 6. 2.1 キム場 §2 n人キムワイプ卓球 複素数への拡張の重要性は、 その不公平性から、特に 3人以上の実験者で行う キムワイプ卓球 に関して指摘されてきた。 n人で行う一般のキム卓系 →「キム場」の概念と共に導入 ▲n=2に対応する.
  7. 7. 2.1 キム場 キム場(Kim-Field) ……Iwatsuki(2016)により導入された概念 平たく言えば、 サーブの成功により生成され、 レシーブの失敗により消滅する、 キム卓が行われる「場」のこと. IWATSUKI, K. Laws of Kimwipe Table Tennis. Scientific Sports, [S.l.], v. 1, n. 1, p. 1-4, sep. 2016. Available at: <https://journal.iktta.org/index.php/ss/article/view/1>. Date accessed: 03 may 2017.
  8. 8. 2.2 n人キムワイプ卓球の設定 Iwatsuki(2016)は、n人でキムワイプ卓球を実験するための ルールを、「キム場」の概念を用いて提案している。 例) n=3 台 E1 E2 E3 C1 C2 C3 ‘Generator’ キム場: 生成 キム場: 維持 ここでは 反時計回りのみ許容 キム場: 消滅 E1とE2に各1点を与える.
  9. 9. 2.3 n人キムワイプ卓球の不公平性 n人キムワイプ卓球では、実験者の並べ方次第で、 その巧拙を十分に反映しない結果となりうる。 例) n=3 台 E1 E2 E3 ‘Generator’C1 C2 C3 返しやすい球 速い球 E3の失点の原因を作った E1も1点を得るため、 E1よりE3の方が上手い場合でも 得点はE1の方が大きくなりうる。
  10. 10. ωt O x y y O eiωt 位相 §3 キム場の位相 3.1 振動の位相と複素数 t y=sinωti (初期位相の違いを無視すれば) 調和振動子の周期運動はeiωt(の実部)で表すことができる。 phase
  11. 11. 3.2 キム場の周期性 E1C1 C2 C3 キム場が維持され続ける場合、キム場の維持に関して 責任を負う実験者はE1→E2→E3→E1→E2→…...と周期的に遷移する。 E2 E3
  12. 12. x yi 3.3 キム場に対する位相の導入 周期性を持つ遷移の各段階は、位相φを用いて指定できる 。 C1 C2 C3 E1 φ2= π 2 3 φ2 φ3= π 4 3 φ3 φ1=0 φ1 E2 E3
  13. 13. 定義: キム場の位相(1) 実験者Ekがキム場の維持に責任を負っているとき(Ek-1がキム場の 維持または生成に成功してからEkがキム場の維持に成功するまで)、 またはEkがキム場の生成を図っているとき、キム場は位相: を持つという。 φ= 2(k-1)π n 3.4 キム場に対する位相の定義 E1, E2, E3, …..., En のn人で行う一般のキムワイプ卓球系を考える。 Ejがキム場を生成するとき、キム場の維持に関して責任を 負っている実験者は Ej→Ej+1→……→En→E1→E2→E3→……→En→E1→E2→E3→…… と周 期的に遷移する。
  14. 14. 3.4 キム場に対する位相の定義 位相は、より自然に、キム場が消滅するまで実験の進行に従っ て常に増大するよう定めることもできる。 n 2(i+j-2)π 定義: キム場の位相(2) 実験者Ejがgeneratorを務めたとする。このとき、i回目の打球に おいては、実験者Ek (k≡i+j-1 mod n) がキム場の維持に関して責任 を負う。そこで、i回目の打球時(i-1回目の打球でキム場の維持また は生成に成功してからi回目の打球でキム場の維持に成功するまで)に おけるキム場の位相を、次の式で定める。 φ=~ 位相2πの違いは意味 を持たないから、2つの定義は同じ結果を与える。 cf. φ= 2(k-1)π n
  15. 15. §4 位相と得点 4.1 位相による拡張 定義: 位相が定められたキム場における得点 キム場には前述の方法で位相が定められているとする。 キム場が位相φを持つ条件下で、キム場が消滅した(または キム場の生成に失敗した) とき、キム場を消滅させた(またはキ ム場の生成に失敗した)者以外の実験者に与えられる得点を eiφ(=cosφ+isinφ) で定める。
  16. 16. 4.1 位相による拡張 例) n=3 xC1 C3 yi E2 φ= π4 3 φ E1 E3 √31 2 2 eiφ= i 得点 C2
  17. 17. x 4.2 キム場の回転変換 例) n=3 yi B φ= π4 3 φ √31 2 2 eiφ= i 得点 A C AをE1としたとき
  18. 18. 4.2 キム場の回転変換 例) n=3 x yi φ φ= π2 3C B A BをE1としたとき E1と呼ぶ実験者を変えること: 複素平面上の回転変換 √31 2 2 eiφ= + i 得点
  19. 19. n 4.3 回転対称性 キム場の生成時における位相を初期位相という。 実験者Ejがgeneratorを務めるとき、初期位相φ0は次の式で与えられる。 2(j-1)π φ0= 従って、初期位相φ0はgeneratorを務める実験者にどの番号を与えるか (その実験者をどのように呼ぶか)に依存する。 ここで、得点の複素平面上の回転変換は初期位相を変化させることに 対応する。generatorとなる実験者への番号の与え方は任意であるから 、この意味においてこの得点の定義は回転変換に関して対称である。 ただし、許される回転変換は2π/nを最小単位としたものに限られるこ とに注意する。
  20. 20. §5 結論 5.1 まとめ キム場の位相 実験者Ekがキム場の維持に関して責任を負っているとき、 キム場の位相は次の式で与えられる。 φ= 2(k-1)π n キム場の周期性に注目すると、得点は次のように複素数化できる 。 複素数に拡張された得点 キム場が位相φを持つ条件下で与えられる得点を eiφ(=cosφ+isinφ) で定める。
  21. 21. 5.2 比較 トンネル効果を 用いる 位相を用いる 定義 “トンネル効果”が 確認されたら+i eiφ 対称性 ×拡張の 自然さ × ○ ○
  22. 22. 5.3 課題 このようにして得点を定めるとき、対面に位置する実験者 の失敗による得点が相殺される。 yi x C1 C3 E2 E1 E3 C2 C4 E4 得点が実験結果の記録としての役割を十分に果たさない。 i点 -i点 例) n=4
  23. 23. 具体的なキムワイプ卓球実験で、 複素数化された得点について考察することが必要である。 得点の複素数値表示 (本発表での手法) 得点の非負整数値表示 (従来の手法) 比較 ただし、実験中に同時進行で得点を計算していくには、 計算ツールが必須となると思われる。 §6 展望 6.1 事例分析
  24. 24. 6.2 複素キム場理論 数学における複素数の重要性の1つは、実数から上手く拡張 された強力な複素関数論の体系にあると思われる。 コーシーの積分定理: fが正則なら 現在、位相や得点は離散的である。 N→∞の極限をとったキム場を考えるなどして、複素関数 論の知見を活かした、理論的により洗練された得点体系を 構築したい。
  25. 25. 6.3 統計キム力学 Nが十分大のとき、E1が受け取る球はE1の返し方にはほとんど よらず、受け取る球の状態はほぼランダムと考えられそうで ある(等重率の原理)。 E2 E1 E1 E2 E3 … EN“熱浴” N大 統計力学的取り扱いができる?
  26. 26. n人キムワイプ卓球では、キム場が壊れやすい。 →「キム場を壊さずにどれだけ維持できるか」を 実験の対象とすることも考えられる。 n 2(i+j-2)π φ=~そこで、位相を φは実験の進行に従って増大するから、 これは「キム場を壊さずにどれだけ維持できたか」を表す 量といえる。 と定めると、 ~ 6.4 キム波
  27. 27. n 2(i+j-2)π φ=~ このとき、仮想的な複素数の波動である「キム波」の存在が 示唆される。キム場を維持することは、キム波を進行させる ことに対応する。 図の出典: 本荘(2016)「researchmap 脈動) 波動方程式と脈動原理との相関」 2017/05/20閲覧。http://researchmap.jp/joxkketla-1860158/?lang=japanese 6.4 キム波

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