1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL DE CHIRIQUÍ
PARCIAL No. 3 DE CÁLCULO I
PROFESOR: A. GALLARDO H. ALUMNO: KARLA ROBLES
FECHA: 𝟏𝟕 − 𝟔 − 𝟐 𝟎𝟐𝟏 . CÉDULA: 4-811-1645
GRUPO: 2L111
INDICACIONES: “Al resolver esta asignación, sea cuidadoso, limpio y ordenado con sus
respuestas; realice todos los pasos correspondientes y necesarios en cada caso ”.
1−) 𝑠(𝑡) =
2
3
(𝑡3 −
15
2
𝑡2 + 12𝑡 + 5) es la función de posición de un cuerpo en
enmovimientorectilíneo, 𝑠enmetros;calcular:……………………………………….…………………(20 puntos).
𝑎) La velocidad y la aceleración al final de 30 segundos.
𝑏) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
2 −. Un automóvil viaja hacia el Oeste a razón de 150 km por hora y otro automóvil viaja hacia el
Norte a 140 km por hora; ambos autos se dirigen hacia la intersección de dos vías.
¿Con qué rapidez se aproximan el uno al otro, cuando el primer automóvil está a 0,3 km y el
segundoautomóvilestáa0,4kmde dichaintersección?………………………..………...……….. (20puntos).
3 −. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, si existen, de la gráfica de
𝑓(𝑥) =
1
6
(𝑥3
− 6𝑥2
+ 9𝑥 + 6)… …… … …… … …… … … …… … …. . … … …… . (20 puntos).
4 −. Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad, si existen, de la gráfica de la
función 𝑓(𝑥) = −3𝑥4
+ 4𝑥3
+ 6𝑥2
…………..…………………………………..…….………. (20 puntos).
5 −. Determinar el o los puntos de inflexión, si existen, de la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = 𝑥4
−
8
3
𝑥3
+ 2𝑥2
.. … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … . . . (20 puntos).
“SUERTE”
2. 1−) 𝒔(𝒕) =
𝟐
𝟑
(𝒕𝟑 −
𝟏𝟓
𝟐
𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝒕 + 𝟓) 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧 𝐜𝐮𝐞𝐫𝐩𝐨 𝐞𝐧
en movimiento rectilíneo, 𝒔 en metros; calcular:……………………………………….…………………
(𝟐𝟎 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬).
𝒂) La velocidad y la aceleración al final de 𝟑𝟎 segundos.
𝒃) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
Solución
𝒂) La velocidad y la aceleración al final de 𝟑𝟎 segundos.
Se sabe en movimientorectilíneoque lavelocidadse expresacomo 𝒗 = 𝒔′(𝒕) y la aceleración
𝒂 = 𝒔′′(𝒕)es por elloque se procede a derivar
𝑠′(𝑡) =
2
3
((3t2) −
15
2
(2t) + 12(1) + 0)
𝑠′(𝑡) =
2
3
(3t2 − 15t + 12)
𝑠′(𝑡) =
2(3)
3
(t2 − 5t + 4)
𝑠′(𝑡) = 2(t2 − 5t + 4)
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5(1) + 0)
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5)
𝑅: 𝐴 𝑙𝑜𝑠 30𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑠′(30) = 2((30)2 − 5(30) + 4)
𝑒𝑛 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑠 𝑑𝑒 1508
𝑚
𝑠
𝑠′(30) = 2((900) − 150 + 4)
𝑠′(30) = 2(904 − 450)
𝑠′(30) = 2(754)
𝑠′(30) = 1508 𝑚/𝑠
𝑅: 𝐴 𝑙𝑜𝑠 30 𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠′′(30) = 2(2(30) − 5)
𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑠 𝑑𝑒 110
𝑚
𝑠²
𝑠′′(30) = 2(60 − 5)
3. 𝑠′′(30) = 2(55)
𝑠′′(30) = 110 m/s2
𝑏) Los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad y la aceleración son cero.
Los intervalosde lavelocidad soncerocuando 𝑠′(𝑡) = 0
𝑠′(𝑡) = 2(t2 − 5t + 4) = 0
(t2 − 5t + 4) = 0
(𝑡 − 1)(𝑡 − 4) = 0
𝑡 − 1 = 0 ʌ 𝑡 − 4 = 0
𝑡 = 1𝑠 ʌ 𝑡 = 4𝑠
R: La velocidad del móvil es de 0 a los 1 y 4 segundos.
Los intervalosde laaceleraciónsoncerocuando 𝑠′′(𝑡) = 0
𝑠′′(𝑡) = 2(2t − 5) = 0
2(2t − 5) = 0
2t − 5 = 0
2t = 5
t =
5
2
s
R: La aceleración del móvil es de 0 a los 2.5 segundos.
4. 2 −. Un automóvil viaja hacia el Oeste a razón de 150 km por hora y otro automóvil viaja hacia el
Norte a 140 km por hora; ambos autos se dirigen hacia la intersección de dos vías.
¿Con qué rapidez se aproximan el uno al otro, cuando el primer automóvil está a 0,3 km y el
segundo automóvil está a 0,4 km de dicha intersección? ………………………..………...……….. (𝟐𝟎
puntos).
Solución
Sea 𝒕 el número de horas del tiempo que ha transcurrido desde que los autos comenzaron a
aproximarse al punto𝑷 o puntode intersección, 𝒙el númerode kilómetrosde ladistanciaa partir
del primer automóvil hasta el punto 𝑷 a las 𝒕 horas, que es 𝟎, 𝟑 𝒌𝒎, 𝒚 el número de kilómetros
de la distancia a partir del segundo automóvil hasta la intersección, que 𝟎, 𝟒 𝒌𝒎, y 𝒛 el número
de kilómetros de la distancia entre los dos automóviles a las 𝒕 horas.
Como 𝒙 decrece conforme 𝒕 crece y el primer auto se aproxima al punto 𝑷 de interseccióna una
tasa de 𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒉, entonces
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= −𝟏𝟓𝟎; al igual que lo es
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝟏𝟒𝟎.
Del Teoremade Pitágoras para 𝒙 = 𝟎, 𝟑 y 𝒚 = 𝟎,𝟒, obtenemos𝒛.
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧2 = (0,3)2 + (0,4)2
𝑧2 = 0,09 + 0,16
𝑧2 = 0,25
𝑧 = 0,5
𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
2𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2(0,3)(−150) + 2(0,4)(−140)
(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −45 − 56
(0,5)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= −101