多倍長整数の乗算と高速フーリエ変換
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多倍長整数の乗算を高速に行うアルゴリズムを、カラツバ法から始めて、最終的に高速フーリエ変換を用いた乗算に至るまでを解説しました。
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- 2. 2 自己紹介 ● KMC-ID: prime ● Twitter: @_primenumber ● Mastodon: @prime@mstdn.poyo.me ● KMC での活動 – 競技プログラミング – 難解プログラミング言語 – 電子錠の管理 (root) – 第 37 代会計
- 4. 4 コンピューターにおける整数の表現 ● 多くのコンピューターでは整数は二進数で表される ● 負の数は 2 の補数を使って表される ● 1 バイトなら -128 〜 127 ● 2 バイトなら -32768 〜 32767 ● 4 バイトなら -2147483648 〜 2147483647 ● 8 バイトなら -9223372036854775808 〜 9223372036854775807 ● 有限のバイト数では有限の大きさしか表せない
- 5. 5 多倍長整数 ● 8 バイトでも表せないような、大きな数値を扱いたい ときがある ● 複数の小さな整数表現を組み合わせて大きな数値を扱う ● 非負整数 を 進数で書くと、 ● とすれば 個の 4 バイトデータで表せる x B x=a0+a1 B+a2 B2 +⋯+aN BN (0≤ai<B) B≤232 N+1
- 6. 6 ナイーブな乗算アルゴリズム ● 筆算と同様に下の桁から計算する x=∑i=0 N ai Bi y=∑j=0 M bj B j xy=∑i=0 N ∑j=0 M ai bj Bi+ j = ∑l=0 N+M Bl ∑ i=max(0,l−M) min(N ,l) ai bl−i
- 7. 7 Karatsuba 法 ● とおく とかける ● このとき、積 を と書ける ● の桁数の積 3 回に分解できた ● 加算や減算が増えるが、計算量としては小さい C=B⌈max(N , M )/2⌉ x=c0+c1 C y=d0+d1 C xy xy=(c0+c1 C)(d0+d1 C)=c0 d0+(c1 d0+c0 d1)C+c1 d1 C2 =c0 d0(1+C)−(c1−c0)(d1−d0)C+c1 d1(C+C2 ) 1 2
- 8. 8 Karatsuba 法 ● の桁数の乗算 3 回（と加算数回）に帰着できるので これより 1 2 f (N)=3 f ( N 2 )+O( N) f (N)∈O(N log 3 log 2 )⊂O(N 1.585 )
- 9. 9 Toom-3 ● とおく と書ける ● ここで多項式 を とおくと、積 は と書ける C=B⌈max(N , M )/3⌉ x=c0+c1 C+c2 C2 y=d0+d1 C+d2 C2 f (z) , g(z) , h(z) f (z)=c0+c1 z+c2 z2 g(z)=d0+d1 z+d2 z2 h(z)=f (z) g(z) xy h(C)
- 10. 10 Toom-3 ● は 4 次多項式なので、 と書ける。この係数 を求めたい ● 4 次多項式は 5 点での値が分かれば一意に定まる ● 適当に を取り、 を計算する h(z) h(z)=e0+e1 z+e2 z2 +e3 z3 +e4 z4 ki=h(zi)=f (zi) g(zi)(0≤i≤4) zi ei
- 11. 11 Toom-3 ● 連立方程式 を解く（ヴァンデルモンド行列なので解ける） ● あとは得られた に を代入するだけ ( 1 z0 z0 2 z0 3 z0 4 1 z1 z1 2 z1 3 z1 4 1 z2 z2 2 z2 3 z2 4 1 z3 z3 2 z3 3 z3 4 1 z4 z4 2 z4 3 z4 4 )( e0 e1 e2 e3 e4 )= ( k0 k1 k2 k3 k4 ) h(z) C
- 12. 12 Toom-3 ● GMP （ GNU の多倍長整数ライブラリ）では が使われている – inf は とするなど特別扱い ● の桁数の積 5 回に帰着できる ● 計算量は zi=0,1,−1,2,inf h(inf )=c2 d2 1 3 O( N log 5 log 3 )⊂O( N 1.465 )
- 13. 13 Toom-4 ● 整数を の桁数に分けて多項式を作る ● 結果の多項式は 6 次なので 7 点あれば決定できる ● の桁数の積 7 回に帰着できる ● 計算量は 1 4 1 4 O( N log 7 log 4 )⊂O( N 1.404 )
- 14. 14 さらなる高みへ ● もっと細かく分割すれば計算量減りそう ● の桁数の乗算 回に帰着できそう ● 計算量は になる…？ – なら …？ 1 K 2 K−1 O( N log(2 K −1) log K ) K →∞ O( N)
- 15. 15 さらなる高みへ ● もっと細かく分割すれば計算量減りそう ● の桁数の乗算 回に帰着できそう ● 計算量は になる…？ – なら …？ 1 K 2 K−1 O( N log(2 K −1) log K ) K →∞ O( N)これは嘘
- 17. 17 多項式の値の計算 ● 多項式の値の計算は行列とベクトルの積で書ける ● 行列を 、ベクトルを とおけば ( 1 z0 z0 2 ⋯ z0 N 1 z1 z1 2 ⋯ z1 N 1 z2 z2 2 ⋯ z2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 zN zN 2 ⋯ zN N )( a0 a1 a2 ⋮ aN )= ( k0 k1 k2 ⋮ kN ) Z a , k Za=k
- 19. 19 高速フーリエ変換 ● 実は とおくと良い – それぞれ 1 の N 乗根 ● とおくと ● このときの行列ベクトル積を高速に計算する アルゴリズムが高速フーリエ変換 ● のとき、 とおくと zj=exp(2πi j N ) WN=exp(2πi 1 N ) zj=W N j N=4 Z= ( W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9)W=W4
- 21. 21 高速フーリエ変換 ● を利用すると、WN =1 ( W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W0 W1 W2 W0 W0 W2 W0 W2 W0 W0 W2 W3 W0 W3 W2)( a0 a2 a1 a3 ) = ( 1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3)( W2 0 W2 0 0 0 W2 0 W2 1 0 0 0 0 W2 0 W2 0 0 0 W2 0 W2 1)( a0 a2 a1 a3 )
- 25. 25 高速フーリエ変換 ● は２つの行列 で と表せるZ Z0, Z1 Z0= ( 1 0 0 0 W0 0 0 0 0 1 0 0 0 W1 0 0 0 0 1 0 0 0 W2 0 0 0 0 1 0 0 0 W3 1 0 0 0 W4 0 0 0 0 1 0 0 0 W5 0 0 0 0 1 0 0 0 W6 0 0 0 0 1 0 0 0 W7 ) Z0 Z1
- 26. 26 高速フーリエ変換 ● は２つの行列 で と表せるZ Z0, Z1 Z1= ( W4 0 W4 0 W4 0 W4 0 0 0 0 0 W4 0 W4 2 W4 1 W4 3 0 0 0 0 W4 0 W4 4 W4 2 W4 6 0 0 0 0 W4 0 W4 6 W4 3 W4 9 0 0 0 0 0 0 0 0 W4 0 W4 0 W4 0 W4 0 0 0 0 0 W4 0 W4 2 W4 1 W4 3 0 0 0 0 W4 0 W4 4 W4 2 W4 6 0 0 0 0 W4 0 W4 6 W4 3 W4 9 ) Z0 Z1
- 27. 27 高速フーリエ変換 ● は のときの変換を２回やっているだけ – のときのようにさらに分解できる ● 同様にして のときの計算は のときの計算 2 回（と重み付きの足し算 ）に帰着できる ● 最初に 個の 桁精度の 1 の 乗根を求めておく ● 桁の乗算の計算量を とすると Z1 N=4 N=4 N=2 p N= p Z0 N ND h(D)D f (N , D)=2 f ( N 2, D)+O(Nh( D)) f (N , D)∈O( Nh(D)log N)
- 30. 30 高速フーリエ変換による多倍長乗算 ● 分割したときの計算量は、フーリエ変換時に 桁の精度が必要なので、 ● として計算すると などが示せる（がんばればもう少し抑えられる） hK ( N)=O(Kh(log K + N K )log K + N log(2 K −1) log K ) K O(log K + N K ) K= N log N h( N)∈O( N log N log2 log N)
- 32. 32 おわり