Adquirir habilidades para identificar las medidas de posición y precisar los conceptos y análisis de un estudio de caso.

1. MEDIDAS DE
POSICION
Norma Patricia Gutiérrez Murillo
Rafael Muñoz Moncalenao
Julio César Tovar Cardozo

2. Contenido
Objetivos
Descripción
Bibliografía
Ejemplos

3. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
OBJETIVO GENERAL
Adquirir habilidades para identificar las medidas de
posición y precisar los conceptos y análisis de un
estudio de caso.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Proporcionar herramientas estadísticas para el análisis y la interpretación
de datos numéricos.
• Identificar, interpretar y aplicar adecuadamente las medidas de posición
más importante y comprender su aplicación.
• Utilizar las medidas de posición y precisar su análisis en un estudio de
caso.
• Desarrollar destrezas para calcular algunas medidas de posición.
• Comparar las medidas de posición y seleccionar la más útil para una
determinada aplicación.

4. MEDIDAS DE POSICION
Se trata de medidas que dan cuenta de una
determinada posición dentro de la
distribución de unos datos.
Su propósito son:
• Resumir en un solo número la posición o
localización de la distribución de datos.
• Caracterizar y representar un conjunto de
datos.
Medidas de tendencia central:
• Media aritmética
• Media geométrica y ponderada
• Mediana y Moda
Medidas de posición no centrales o cuantiles:
• Cuartiles
• Deciles
• Percentiles

5. MEDIDAS DE POSICION
«Son valores que permiten dividir la colección
ordenada de datos en partes iguales con el mismo
numero de datos en cada segmento» (Alvarado
Verdín, 2014, pág. 3)
Las medidas de posición se usan para describir la
posición que tiene un dato específico en relación
con el resto de los datos.
Las medidas de posición mas usadas son:
-- PERCENTILES
-- DECILES
-- CUARTILES
.

6. MEDIDAS DE POSICION

7. CUANTILES
Se define el cuantil de orden a como un valor de la variable por debajo del
cual se encuentra una frecuencia acumulada a.
Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles, quintiles,...

8. CUARTILES
El cuartil se utiliza a fin de conocer los intervalos dentro de los cuales
quedan representados proporcionalmente los términos de una
distribución, para esto, se divide la distribución de frecuencias en 4 partes
iguales, cada una contiene igual número de observaciones (el 25% del
total). Los puntos de separación de los valores de X se llaman CUARTILES.
Son valores que dividen la muestra en cuatro partes aproximadamente
iguales.
• Primer cuartil (Q1) : El 25% de los datos
• Segundo cuartil (Q2): El 50% de los datos
• Tercer cuartil (Q3): El 75% de los datos
• Intervalo intercuartil: Q2 – Q3

9. CUARTILES
«Los cuales dividen la colección en 4 partes iguales,
considerando que existen 3 cuartiles ( 𝑸 𝟏, 𝑄2, 𝑄3).»
(Alvarado Verdín, 2014, pág. 3)
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes
al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles (Datos no agrupados)
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión
𝑄 𝑘 =
𝐾(𝑛 + 1)
4

10. CUARTILES
Q1 que se ubica en el lugar n/4, es el primer cuartil, deja el
25% de las unidades por debajo y el 75% por encima.
Q2 que se ubica en el lugar (n * 2)/4, es el segundo cuartil,
deja el 25%*2, o sea el 50% por debajo y el otro 50% por
encima, es decir que coincide con la Mediana.
Q3 que se ubica en el lugar (n *3)/4, es el tercer cuartil, deja
el 25%*3, o sea el 75% por debajo y el 25% por encima.

11. Donde:
k= 1,2,3
Lim inf = Límite real inferior
n = Número de datos
𝑓−1= Frecuencia acumulada que antecede a la clase del cuartil k.
F = Frecuencia absoluta del cuartil k
A= amplitud
La fórmula para el calculo de los cuartiles cuando se trata de datos
agrupados es la siguiente:
Para Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un
número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos
generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia.
𝑄 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
4
−𝑓−1
𝐹
} * A

12. Ejemplo 1
Los siguientes datos fueron obtenidos en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de
Colombia midiendo con un termómetro eléctrico la temperatura (en °C) de 24 picnómetros, con el
fin de calibrarlos, obteniendo:
Determine el Cuartil 1, y 3. Concluya.
Solución:
1) Organizamos los datos de menor a mayor
25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 35
2) Aplicamos la formula : 𝑄 𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
4
𝑄1=
1(24+1)
4
𝑄1= 6.2 ≈ 6
3) Buscamos en los datos la posición dada (6), dando como 𝑄1= 27 °C
* El 25% de los picnómetros usados en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de
Colombia tienen una temperatura de 27°C o menos y el otro 75% mas.
𝑄3=
3(24+1)
4
𝑄3= 18.7 ≈ 19 Buscamos en los datos la posición dada (19), dando
como 𝑄3= 31 °C
* EL 75% de los picnómetros usados en el laboratorio de suelos de la Universidad Cooperativa de
Colombia tienen una temperatura de 31 °C o menos y el otro 25% mas.

13. Ejemplo 2
Hallar el primer y tercer
cuartil en la siguiente
tabla de frecuencias
acumuladas:
Para el primer cuartil (k):
El elementos i-ésimo en donde finaliza el cuartil = k (n/4) = 1(50/4) = 12,5
Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o
sobrepasa este número.
El elemento 13 (en la tabla ordenada) está en la tercera clase.
Entonces: L1 = 58,5 n=50 F1=7 f1=9 c=3
Q1= L1 + ( k(n/4) – F1)/f1 * c
Q1 = 60,33
El 25% de las obreras tienen estatura por debajo de las 60,33 pulgadas.
El 75% de las obreras tienen estatura por encima de las 60,33 pulgadas.
Q1 = Li +
𝑛
4
−𝐹 𝑄1−1
𝑓 𝑄1
𝐶

14. Recordemos que partimos de una tabla ordenada.
Para el tercer cuartil (k):
El elementos i-ésimo en donde finaliza el cuartil = k (n/4) = 3(50/4) = 37,5
Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o
sobrepasa este número.
El elemento 38 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.
Entonces: L3 = 64,5 n=50 F3=31 f3=12 c=3
Q3= L3 + ( k(n/4) – F3)/f3 * c
Q3 = 66,13
El 75% de las obreras tienen estatura por debajo de las 66,13 pulgadas:
El 25% de las obreras tienen estatura por encima de las 66,13 pulgadas.

15. Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla.
El elemento del cuartil está ubicado en la posición
K (n/4) k= cuartil (1, 2, 3)
n= suma de frecuencias (elementos)
Para K=1, el elementos es k(n/4)=1*65/4 = 16,25
Aplicando la fórmula:
Se obtiene:
Para el segundo cuartil:
El elementos es k(n/4) = 2*65/4 = 32,5
Aplicando la fórmula se obtiene:
Para el tercer cuartil:
El elementos es k(n/4) = 3*65/4 = 48,75
Aplicando la fórmula se obtiene:
El 25% de las muestras están por
debajo de 68,25. El 75% de las
muestras están por encima de 68,25
El 50% de las muestras
están por debajo de 79,06
El 75% de las muestras
están por debajo de 90,75
Ejemplo 3
Qi = Li +
𝑘.𝑛
4
−𝐹 𝑄𝑖−1
𝑓 𝑖
𝐶
Q1 = 60 +
16,25 −8
10
10 = 𝟔𝟖, 𝟐𝟓
Q2 = 70 +
32,5 − 18
16
10 = 𝟕𝟗, 𝟎𝟔
Q3 = 90 +
48,75 −48
10
10 = 𝟗𝟎, 𝟕𝟓

16. Ejemplo 4

18. DECILES
Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos
(ordenados) en diez partes porcentuales iguales. Los deciles se
denotan D1, D2,… D9 que se leen primer decil, segundo decil, etc.
Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula:
𝐷 𝑘 = 𝐿 𝑘 +
𝐾.𝑛
10
−𝐹 𝑘−1
𝑓 𝑘
𝐶
Siendo:
• K = 1, 2, Li el límite inferior del
intervalo de clase3, …9
• Lk = El límite real del intervalo de la
clase del decil k.
• N = Número de datos.
• Fk-1 = Frecuencia acumulada de la
clase que antecede a la del decil k
• fk = Frecuencia de la clase del decil
k
• C = Longitud del intervalo de clase
del decil k

19. DECILES
«Los deciles son los nueve valores que dividen la
serie de datos en diez partes iguales» (Alvarado
Verdín, 2014, pág. 3)
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%,
al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
(Datos no agrupados)
Buscamos el lugar que ocupa
cada decil mediante la expresión:
𝐷 𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
10
K= 1,2….9 en los datos
previamente organizados.
PARA DATOS AGRUPADOS
𝐷 𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
10
𝑄 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
10
−𝑓−1
𝐹
} * A

20. Hallar el decil 7
para la tabla de
frecuencias.
Para el decil 7(k):
El elementos i-ésimo en donde finaliza el decil = k (n/10) = 7(50/10) = 35
Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o
sobrepasa este número.
El elemento 35 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.
Entonces: L7 = 64,5 n=50 F7=31 f7=12 c=3
D7= L7 + ( k(n/4) – F7)/f7 * c
D7 = 65,5
El 70% de las obreras tienen estatura por debajo de las 65,5 pulgadas. El
30% de las obreras tienen estatura por encima de las 65,5 pulgadas.
Ejemplo 1
𝐷 𝑘 = 𝐿 𝑘 +
𝐾.𝑛
10
−𝐹 𝑘−1
𝑓 𝑘
𝐶

21. Km recorridos M.C F Fr f fr
[50-90) 70 10 0.1724 10 0.1724
[90-130) 110 23 0.3966 33 0.569
[130-170) 150 11 0.1897 44 0.7587
[170-210) 190 10 0.1724 54 0.9311
[210-250) 230 4 0.069 58 1.0001
58
La siguiente tabla de frecuencias
muestra los km recorridos por una
volqueta en 58 viajes realizados a
diferentes canteras del Tolima en el
año 2016:
Halle el D3 , D7 y D9.
Solución
1) se halla la posición del decil por medio de la formula:
𝐷 𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
10
𝐷3=
3(58+1)
10
𝐷3= 17.7 (dicha posición se busca en la frecuencia absoluta
acumulada , escogiendo el intervalo a trabajar).
2) se utiliza la formula:
𝐷 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
10
−𝑓−1
𝐹
} * A 𝐷3= 90+{
17.7−10
23
} * 40 𝐷3 = 103,39
*El 30% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del Tolima en el año 2016
fueron en un recorrido de 103,39 km o menos y el otro 70% mayor.
Variable cuantitativa continua
Ejemplo 2

22. Calcular los deciles 5 y 7 de la distribución de
la tabla.
El elemento límite del primer decil es el
elemento ubicado en la posición:
K (n/10) k= decil (1, 2, …9)
n= suma de frecuencias (elementos)
El elementos es k(n/10) = 1*65/10 = 58,12
Aplicando la fórmula:
El 10% de las muestras están por
debajo de 58,12. El 90% de las
muestras están por encima de 58,12
Para el quinto decil:
El elementos es k(n/10) = 5*65/10 = 32,5
Aplicando la formula se tiene: El 50% de las muestras
están por debajo de 79,06
Para el séptimo decil:
El elementos es k(n/4) = 7*65/10 = 88,21
Aplicando la fórmula se tiene: El 70% de las muestras
están por debajo de 88,21
Ejemplo 3
𝐷 𝑘 = 𝐿 𝑘 +
𝐾.𝑛
10
−𝐹 𝑘−1
𝑓 𝑘
𝐶
𝐷1 = 50 +
6,5 −0
8
10 = 58,12
𝐷5 = 70 +
32,5 −18
16
10 = 79,06
𝐷7 = 80 +
45,5 −34
14
10 = 88,21

23. 𝐷 𝑘=
𝐾(𝑛+1)
10
𝐷7=
7(58+1)
10
𝐷7= 41.3
𝐷 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
10
−𝑓−1
𝐹
} * A 𝐷7= 130+{
41.3−33
11
} * 40 𝐷7 = 160,18
*El 70% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del Tolima en
el año 2016 fueron en un recorrido de 160,18 km o menos y el otro 30% mayor.
𝐷 𝑘=
𝐾(𝑛+1)
10
𝐷9=
9(58+1)
10
𝐷9= 53.1
𝐷 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
10
−𝑓−1
𝐹
} * A 𝐷9= 170+{
53.1−44
10
} * 40 𝐷9 = 206.4
*El 90% de los viajes realizados por la volqueta a diferentes canteras del
Tolima en el año 2016 fueron en un recorrido de 206.4 km o menos y el otro
10% mayor.

24. PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para
propósitos de ubicación o clasificación de personas cuando se
atienden características tales como peso, estatura, etc.
Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de
datos ordenados en cien pares porcentualmente iguales. Cuando
los datos están agrupados en una tabla de frecuencias se calcula
mediante la fórmula:
𝑝 𝑘 = 𝐿 𝑘 +
𝐾.𝑛
100
−𝐹 𝑘−1
𝑓 𝑘
𝐶
Los elementos constitutivos de la fórmula tienen las interpretaciones
análogas que se han visto
Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25, el segundo
cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.
K=1,2,3,…99

25. PERCENTILES
«Los percentiles son los 99 valores que dividen la
serie de datos en 100 partes iguales.» (Alvarado
Verdín, 2014, pág. 3)
Los percentiles dan los valores correspondientes
al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
(Datos no agrupados)
Buscamos el lugar que ocupa
cada cuartil mediante la expresión
𝑃𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
100
k=1,2,3…99 en los datos previamente
organizados.
PARA DATOS AGRUPADOS
𝑃𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
100
𝑄 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
100
−𝑓−1
𝐹
} * A

26. Hallar el
percentil 8 de
la tabla de
frecuencias
Para el percentil 8 7(k):
El elementos i-ésimo en donde finaliza el percentil = k (n/10) = 8(50/100) = 40
Ubicamos la clase en donde la frecuencia acumulada es igual o sobrepasa
este número.
El elemento 40 (en la tabla ordenada) está en la quinta clase.
Entonces: L8 = 64,5 n=50 F8=31 f8=12 c=3
P8= L8 + ( k(n/4) – F8)/f8 * c
P8 = 66,75
El 80% de las obreras tienen estatura por debajo de las 66,75 pulgadas. El
20% de las obreras tienen estatura por encima de las 66,75 pulgadas.
Ejemplo 1
𝑝 𝑘 = 𝐿 𝑘 +
𝐾.𝑛
100
−𝐹 𝑘−1
𝑓 𝑘
𝐶

27. En la siguiente tabla de frecuencia se muestra el peso
en kg, de los trabajadores de la constructora
CONSTRUYA SAS, establecida en la ciudad de Ibagué.
Determinar:
• P35 , P60
Solución:
1. Se halla la posición del percentil P35, por medio de la formula.
𝑃𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
100
𝑃35 =
35(65+1)
100
𝑃35 = 23.1
2. Aplicamos la formula.
𝑃 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
100
−𝑓−1
𝐹
} * A 𝑃35= 70+{
23.1−18
16
} * 10 𝑃35 = 73.19
 El 35% de los trabajadores de la constructora COSTRUYA SAS, tienen un peso de 73.19 kg o
menos y el otro 65% mas de 73.19 Kg
1. Se halla la posición del percentil P60, por medio de la formula.
𝑃𝑘 =
𝐾(𝑛+1)
100
𝑃60 =
60(65+1)
100
𝑃60 = 39.6
2. Aplicamos la formula.
𝑃 𝐾= Lim inf +{
𝑘 (𝑛+1)
100
−𝑓−1
𝐹
} * A 𝑃60= 80+{
39.6−34
14
} * 10 𝑃60 = 84
 El 60% de los trabajadores de la constructora CONSTRUYA SAS, tienen un peso
de 84 Kg o menos y el otro 40% tiene un peso mayor de 84 Kg.
CUANTITATIVA CONTINUA
Ejemplo 2

28. Ejemplo 3
Percentil 45 (P45)
Como (45 X 40) / 100 = 1800 / 100 = 18,
corresponde al Marca de clase No. 3

29. vitutor. (no definido ). Cuartiles, Deciles, Percentiles. No definida, de
Vitutor Net Sitio web:
http://www.vitutor.net/2/11/cuartiles_percentiles.html
Profesor David. (sabado 24 de septiembre de 2011). Los cuartiles.
sabado 24 de septiembre de 2011, de Blog spot Sitio web:
http://estadisticapasoapaso.blogspot.com.co/2011/09/los-
cuartiles.html
ANA MILENA GARCIA PORTO. (-). Medidas de posición para datos
agrupados y no agrupados: cuartiles, deciles y percentiles Leer más:
http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-
agrupados.shtml#ixzz42XctUUyz. -, de Monografias Sitio web:
http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-
agrupados.shtml
BIBLIOGRAFIA

30. Coordinación De Innovación Educativa. (-). Medidas De posición. -, de
Universidad Michoacana De san Nicolás Hidalgo Sitio web:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/medidasd%20de%20posicion.htm
Competencias Matemáticas. (-). Medidas de Posición. -, de Competencias
matemáticas Sitio web:
http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/2.4%20MEDIDAS
%20DE%20POSICI%C3%93N.pdf
Alvarado Verdín, V. M. (2014). Probabilidad y estadística: Serie Universitaria
Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria.