4. Что она изучает?
КЛВ – это теория, изучающая
логическую форму сложных
высказываний без учета
логической формы входящих в
них простых высказываний
Высказывание –
повествовательное
предложение, которое
однозначным образом может
быть оценено как истинное
или ложное.
Аксиоматизацию КЛВ впервые
произвел Г.Фреге
5. Сложные суждения
Сложными называются такие высказывания, в
составе которых можно выделить части, в
свою очередь являющиеся высказываниями
Простые высказывания в КЛВ
рассматриваются как неделимые элементы,
принимающие значение 1 (истина) либо 0
(ложь)
Значение сложного высказывания можно
рассматривать как функцию от значений
простых высказываний, входящих в его состав
7. Пропозициональные связки
¬ Отрицание (не, неверно что)
& Конъюнкция (и, а, но, хотя)
V Дизъюнкция (или, либо)
V Строгая дизъюнкция (либо-
либо, только одно из двух)
⊃ Импликация (если то, следует)
≡ Эквиваленция (равнозначно)
8. Определение правильно
построенной формулы (ппф)
1. Всякая пропозициональная переменная –
это ппф.
2. Если А – ппф, то ¬ А – ппф.
3. Если А и В – ппф, то (А&В), (А VВ), (А
VВ), (А ⊃В), (А ≡В) – ппф.
4. Ничто иное не является ппф.
9. Пример формализации
р – виновен Джонс
q – виновен Браун
«Они оба виновны»
p & q
«Виновен хотя бы один из них»
p V q
«Они оба невиновны»
¬ p & ¬ q
«Джонс без Брауна на дело не ходит»
¬(p &¬q), или p ⊃ q
11. Пример построения таблицы
«Если Джонс без Брауна на дело не ходит, а
виновен только один из них, то это Браун»
(¬(p & ¬q) & (p V q)) ⊃ q
1) Определяем число строк: k = 2n
2) Задаем значение атомарных переменных
3) Вычисляем значение подформул и формулы в
целом
12. Пример построения таблицы
p q ¬q p&¬q ¬(p&¬q) p V q … &
…
F
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
13. Общезначимость и
выполнимость Формула называется общезначимой
(тождественно-истинной), если она
принимает значение 1 во всех строках
результирующего столбца
Формула называется выполнимой, если она
принимает значение 1 хотя бы в одной
строке
Формула называется логически случайной
(собственно выполнимой), если она
выполнима, но не общезначима
14. Общезначимость и
выполнимость Формула называется противоречием
(тождественно-ложной), если она принимает
значение 0 во всех строках результирующего
столбца
Формула называется опровержимой, если
она принимает значение 0 хотя бы в одной
строке
Формула называется логически случайной
(собственно опровержимой), если она
опровержима, но не противоречива
16. Основные законы КЛВ
1) Закон тождества
А ⊃ A
2) Закон непротиворечия
¬(A & ¬A)
3) Закон исключённого
третьего
AV ¬A
4) Закон дв. отрицания
¬¬А ⊃ А Аристотель
17. Основные законы КЛВ
5) Закон отрицания
антецедента (закон Дунса
Скота)
¬А ⊃ (А ⊃ В)
Из заведомо ложной мысли
вытекает что угодно!
6) Закон утверждения
консеквента
А ⊃ (В ⊃ А)
Заведомо истинная мысль
вытекает из чего угодно! Дунс Скот
18. Основные законы КЛВ
7) Закон контрапозиции
(А ⊃ В) ⊃ (¬В ⊃ ¬A)
8) Законы Де Моргана
¬(АVВ) ≡ ¬A & ¬B
¬(А&В) ≡ ¬AV ¬B
9) Закон транзитивности
импликации
(А ⊃ В)&(В ⊃ С) ⊃ (А ⊃ С)
А. Де Морган
20. Основные законы КЛВ
10) Законы дистрибутивности
А ∨ (В & С) ⊃ (А ∨ В) & (А ∨ C)
А & (В ∨ С) ⊃ (А & В) ∨ (А & C)
11) Законы взаимовыразимости связок
¬(¬А ∨ ¬В) ≡ (А & В)
¬(¬А & ¬В) ≡ (А ∨ В)
(¬А ∨ В) ≡ (A ⊃ В)
((A ⊃ В) & (B ⊃ A)) ≡ (A В)≡
((A ⊃ ¬В) & (B ⊃ ¬A)) ≡ (А ∨ В)
22. Логические отношения между
сложными суждениями
Совместимость по истинности
А(1)В ⇔ Существует строка А В
1 1
Совместимость по ложности
А(0)В ⇔ Существует строка А В
0 0
Логическое следование
А= В ⇔ Не сущ. строки А В
1 0
23. Логические отношения между
сложными суждениями
Отношения А(1)В А(0)В А= В В= А
Контрадикторность
Контрарность
Субконтрарность
Независимость
Эквивалентность
А подчиняет В
В подчиняет А
– –
– +
+ –
+ + – –
+ +
+ –
– +
24. Примеры
А подчиняет В
А и С независимы
А и D контрарны
C подчиняет В
В и D контрадикторны
С и D контрарны
А
0
1
1
0
В
1
1
1
0
С
1
0
1
0
D
0
0
0
1
26. Основные способы
умозаключений КЛВ
Умозаключение – это переход от некоторого
множества исходных суждений (посылок) к
одному общему заключению
Умозаключение является правильным, если
его логическая форма гарантирует, что при
истинности посылок заключение всегда
будет истинным
27. Условно-категорические
А ⊃ В, А
В
А ⊃ В, ¬В
¬А
Modus ponens
(утверждающий способ)
Modus tollens
(отрицающий способ)
А ⊃ В, В
А
А ⊃ В, ¬А
¬В
28. Разделительно-категорические
А V В, ¬А
В
А V В, А
¬В
Modus tollendo-
ponens
(Отрицающе-
утверждающий способ)
Modus ponendo-
tollens
(Утверждающе-
отрицающий способ)
30. Какие дилеммы здесь
использованы?
Если цари злы, они заставляют
страдать других людей. Если
они добры, то страдают сами.
Но либо они злы, либо добры.
Следовательно, они будут
страдать сами или приносить
страдания другим людям
(Фенелон)
31. Какие дилеммы здесь
использованы?
У тебя есть два пути:
жениться или не жениться.
Женишься – пожалеешь. Не
женишься – все равно
пожалеешь. Следовательно,
ты пожалеешь о своем
решении в любом случае
(Сократ)
32. Какие дилеммы здесь
использованы?
Если пациент жалуется на
здоровье, значит он еще не умер.
Если жалуется на доктора –
значит, уже здоров. Этот
человек либо очень нездоров, либо
уже умер. Ну и хорошо: по крайне
мере на что-то одно он
жаловаться не будет
