TRABAJO DE INVESTIGACION DE ALGEBRA LINEAL
PRESENTADO POR:
JUAN SEBASTIAN POLANCO TELLO
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
ING CIVIL
NEIVA- HUILA
2016

PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es
llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o
de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen .
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales
se representan por sus coordenadas o pares ordenados .
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las
yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano
cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes
hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del
punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia
abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas
coordenadas.
Ejemplo:
Localizar el
punto A (-4, 5)
en el plano
cartesiano.
El punto A se
ubica 4 lugares
hacia la
izquierda en la
abcisa (x) y 5
lugares hacia
arriba en
ordenada (y).

De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere
determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Determinar las
coordenadas del
punto M.
Las coordenadas
del punto M son
(3,-5).
VECTORES EN R2
Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de
ejes X e Y.
Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que
determina su sentido en el plano.

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B
(extremo).
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
Módulo del vector
Es la longitud del segmento AB, se representa por .
Dirección del vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a
ella.
Sentido del vector
El que va del origen A al extremo B.
VECTORES EQUIPOLENTES
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
VECTOR LIBRE

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre.
Cada vector fijo es un representante del vector libre.
VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector
de posición del punto P.
COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo
menos las coordenadas del origen.
MÓDULO DE UN VECTOR
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo
menos las coordenadas del origen.
Si tenemos las componentes de un vector:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.
VECTOR UNITARIO
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos
vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro
vector.
REGLA DEL PARALELOGRAMO
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan
rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal
coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de . Las
componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los
vectores.
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las
componentes del vector.
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las
coordenadas de los extremos.
CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los
vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus
coordenadas son proporcionales.
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del
segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
COORDENADAS DEL BARICENTRO
Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus
medianas. Las coordenadas del baricentro son:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la
recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están
en la relación r:
VECTORES EN R3
un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y.
cada punto viene determinado por tres coordenadas p(x, y, z).

los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: xy, xz e yz. estos
planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el
primer octante las tres coordenadas son positivas.
vector en el espacio
un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro.
componentes de un vector en el espacio
si las coordenadas de a y b son: a(x1, y1, z1) y b(x2, y2, z2) las coordenadas o
componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las

coordenadas del origen.
determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices a(−3, 4, 0), b(3, 6, 3) y c(−1, 2, 1).
módulo de un vector
el módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
el módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector
nulo tiene módulo cero.
cálculo del módulo conociendo sus componentes
dados los vectores y , hallar los módulos de y ·

cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
distancia entre dos puntos
la distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.
hallar la distancia entre los puntos a(1, 2, 3) y b(−1, 2, 0).
vector unitario
un vector unitario tiene de módulo la unidad.
la normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de
la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del
vector por su módulo.

operaciones con vectores en el espacio
suma y resta de vectores
para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
u - v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3)
propiedades de la suma de vectores
asociativa u + (v + w) = (u + v) + w
conmutativa u + v = v + u
elemento neutro u + 0 = u
elemento opuesto u + (-u) = 0
producto de un número real por un vector
el producto de un número real k ∈ℝpor un vector 𝑢 es otro vector:
de igual dirección que el vector 𝑢.
del mismo sentido que el vector 𝑢 si k es positivo.
de sentido contrario del vector 𝑢 si k es negativo.
de módulo |k|.|u|
las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k las
componentes del vector.k.u = (ku1, ku2, ku3)
propiedades del producto de un número por un vector
asociativak.(k'.u) = (k.k').u
distributiva respecto a la suma de vectores

k.(u+v) = k.u + k.v
distributiva respecto a los escalares
(k+k').u = k.u + k'u
elemento neutro
1.u = u
DISTANCIAN ENTRE DOS PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas,
la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y
emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades

PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar se comprende mas fácilmente cuando se estudian sus
propiedades geométricas a partir de las definiciones de suma y diferencia de
vectores.
Por ejemplo, al calcular la magnitud del vector en función de las
componentes de A y B de acuerdo con la Figura 1 se obtiene la siguiente relación:
La misma distancia se puede obtener geométricamente por el teorema del coseno:
Figura 1. Diferencia de vectores
Dado que es la misma distancia obtenida por dos procedimientos diferentes, se
hace evidente la igualdad:
La cual se puede reducir de forma algebraica como sigue:
Esto es equivalente a:

Cuando se cancelan los factores comunes a ambos lados de la igualdad se llega a
la ecuación mas conocida del producto escalar de vectores:
Ecuación 1 Producto escalar de dos vectores
Esta ecuación resulta de gran utilidad porque permite calcular el producto escalar
a través de las componentes, al tiempo que permite calcular el ángulo formado
entre dos vectores sin necesidad de hacer abstracción geométrica de los mismos.
Como se puede deducir de la Ecuación 1, el producto escalar de un vector por si
mismo es igual al cuadrado de su magnitud.
Ecuación 2 Producto escalar de un vector por si mismo.
El producto escalar cumple además la propiedad distributiva del producto con
respecto a la suma.
Ecuación 3 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma

Como se observa en el Ejemplo 2 , un producto escalar negativo indica que el
ángulo entre los vectores implicados se encuentra ubicado en el segundo
cuadrante; cuando el producto es positivo, entonces se debe asumir que este se
encuentra en el primer cuadrante. Cuando los vectores son ortogonales el
producto escalar es nulo.
Las relaciones geométricas enunciadas anteriormente no son las únicas
relaciones que se pueden hallar para la completa interpretación del producto
escalar.
A partir de dos vectores A y B que se ubican como se muestra en la Figura 1 , es
posible deducir otra relación geométrica importante en el producto escalar.
Figura 2. Proyección escalar de un vector sobre otro.

El producto escalar equivale a la relación:
Cuando se usa esta relación se puede calcular la proyección de un vector sobre
otro con base en el producto escalar y las proyecciones mostradas en la Figura 2 :
Ecuación 4 Proyección escalar de un vector sobre otro usando el producto
escalar.
La interpretación geométrica del producto escalar como proyección de un vector
sobre otro resulta altamente útil cuando uno o dos de los vectores se hacen
unitarios, en este caso, la magnitud de A o de B se hacen “ 1” y la proyección se
reduce simplemente al producto punto de vectores.
Cuando se desea calcular la componente normal o tangencial de un vector sobre
una superficie dada, basta con encontrar un vector unitario normal o tangencial a
dicha superficie y multiplicarlo mediante producto escalar con el vector deseado.

PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial tiene asociada también una relación geométrica que se
descubre a partir del cálculo de la altura del triángulo formado por los
vectores A , B y A-B de la Figura 1 , en función de las componentes de los
vectores A y B.
A partir del teorema de Pitágoras:
Se despeja la altura
Se reemplaza por la relación expresada en la Ecuación 1

Se multiplica toda la ecuación por el común denominador del lado derecho y se
obtiene:
Se simplifica el lado derecho de la igualdad
Para lo cual se utiliza la expresión
Finalmente se reduce el resultado:
Ecuación 5 Magnitud del producto vectorial en función de las componentes
rectangulares
A partir de una operación matricial simple también puede obtenerse un vector cuya
magnitud sea
Ecuación 6 Producto vectorial de dos vectores
La magnitud de este vector es la misma magnitud obtenida por procedimiento
geométrico.

Al vector indicado en la Ecuación 6 se denomina producto vectorial de A y B .
Este vector es perpendicular a A y a B dirigido según la ley de la mano derecha
tomada desde A hasta B.
Cuando se invierten las dos últimas filas del determinante de la Ecuación 6 se
obtiene un vector igual pero negativo, de donde se deduce la relación expresada
en la Ecuación 7 conocida como propiedad anticonmutativa del producto vectorial.
Esta misma relación geométrica se muestra en la Figura 3 :
Ecuación 7 Anticonmutatividad del producto vectorial.
Figura 3. Producto vectorial.
Como se puede deducir de la Ecuación 5 , el producto vectorial de un vector por si
mismo es nulo.
El producto vectorial cumple además la propiedad distributiva del producto con
respecto a la suma.
Ecuación 8 Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la suma

ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al
cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de
co-dirección con el otro vector.
El coseno del ángulo entre vectores equivale al producto escalar de dos vectores
dividido en el producto de módulos de estos vectores.
Fórmula de calculación del ángulo entre vectores

ANGULOS EN DIRECTORES
1) El ángulo (abertura) que forma el vector con los ejes positivos X y Y del plano
cartesiano.
2) Están comprendidos entre 0o y 180o grados
3) No existe convención para el giro de los angulos directores.
4) Los ángulos directores en el plano son:
α es el que forma el vector con el eje positivo de las X
β es el que forma el vector con el eje positivo de las Y