Guia1

1. Problemas de Probabilidad y Estad´ıstica (1)
Sebastian Grynberg
31 de agosto de 2009
´Indice
1. Espacios de probabilidad (nociones b´asicas) 1
1.1. Urnas y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Caminos, palabras y paseos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana) . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Naipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7. Conjuntos geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8. D´ıgitos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9. Simulaci´on de experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Espacios de probabilidad (nociones b´asicas)
1.1. Urnas y bolas
1. Una urna contiene tres bolas: una roja, una verde, y una azul. Considerar el experimento
aleatorio que consiste en extraer una bola de la urna, reponerla en la urna y extraer
nuevamente una bola de la urna. Describir el espacio muestral correspondiente. Suponiendo
que en cada extracci´on todas las bolas en la urna tienen la misma posibilidad de ser
extra´ıdas cu´al es la probabilidad de cada punto del espacio muestral?
(a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extra´ıdas sean rojas.
(b) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extra´ıdas sean del mismo color.
(c) Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos bolas extra´ıdas sea roja.
2. Repetir el Ejercicio 1 cuando la segunda bola se extrae sin reponer la primera.
3. Dos bolas se pintan de rojo o de verde, independientemente y con probabilidad 1/2
para cada color, y se colocan en una urna.
1

2. (a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cu´al es la probabilidad de que la otra bola
sea roja?
(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cu´al es la probabilidad de que la otra sea
roja?
4. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola
al azar, si es verde se la reemplaza en la urna por una bola roja. Sea N la cantidad de
pasos necesarios para extraer una bola roja. Para cada n ∈ N calcular la probabilidad
pn := P(N = n).
5. En una urna hay una bola verde y dos bolas rojas. En cada paso se extrae una bola al
azar y se la repone junto con otra del mismo color.
(a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolas
verdes y tres rojas.
(b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas verdes y tres rojas, ¿cu´al es
la probabilidad de que en el primer paso se haya extra´ıdo una bola roja?
1.2. Monedas
6. Lucas utiliza el siguiente sistema para jugar a la moneda: apuesta $ 1 a que saldr´a cara.
Si gana, se retira. Si pierde, duplica la apuesta y entonces cualquiera sea el resultado, se
retira. ¿Cu´al es la probabilidad que se retire como ganador? ¿Por qu´e este sistema no es
usado por todo el mundo?
7. Se tienen dos monedas. Una moneda est´a cargada con probabilidad p1 de salir cara y la
otra con probabilidad p2. Se puede optar por una de las siguientes estrategias: la primera
consiste en elegir una moneda al azar y arrojarla dos veces; la segunda consiste en arrojar
ambas monedas. El juego se gana si salen dos caras, en caso contrario se pierde. ¿Cu´al de
las dos estrategias es m´as conveniente?.
8. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una
moneda al azar y la arroja al aire dos veces consecutivas. Si el primer resultado fue cara,
cu´al es la probabilidad de que el segundo tambi´en sea cara?.
9. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una
moneda al azar, la arroja al aire y sale cara.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea una de las monedas normales?
(b) Harvey arroja la misma moneda por segunda vez y de nuevo sale cara. ¿Cu´al es la
probabilidad de que sea una de las monedas normales?
(c) Harvey arroja la misma moneda por tercera vez y de nuevo sale cara. ¿Cu´al es la
probabilidad de que sea una de las monedas normales?
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3. 1.3. Caminos, palabras y paseos
10. ¿Cu´antas palabras distintas pueden formarse permutando las letras de la palabra
“manzana” y cu´antas permutando las letras de la palabra “aiaiiaiiiaiiii”?
11. La figura siguiente representa el mapa de una localidad tur´ıstica de 40 manzanas
situada en la costa atl´antica.
H
P
Q
C
Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado
en el punto P, es una sucesi´on de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia
la izquierda o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta
el puerto de pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser
elegidos).
(a) Calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas situado en el
punto Q.
(b) Sabiendo que se pas´o por el caf´e situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber
pasado por el quiosco de diarios y revistas.
12. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta
C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos est´a bloqueado con probabilidad 0.2
independientemente de los dem´as. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto
desde A hasta B sabiendo que no hay ning´un camino abierto desde A hasta C.
A B C
13. El experimento consiste en permutar aleatoriamente la letras C, H, Q, P. Demostrar
que los eventos “C precede a H” y “Q precede a P” son independientes.
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4. 1.4. Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana)
14. En un estacionamiento hay 12 lugares ordenados en fila. Lucas observa que hay 8 autos
estacionados y 4 lugares vac´ıos adyacentes entre s´ı. Dado que hay cuatro lugares vac´ıos, el
orden observado podr´ıa considerarse como el resultado de un ordenamiento aleatorio?
15. Un vecino de Lucas recibi´o doce multas por estacionamiento prohibido. Todas las
multas fueron emitidas los martes o jueves entre las 23:00 y las 5:00 hs.
(a) Se justifica que alquile un estacionamiento nocturno s´olo para los martes y jueves?
(b) El hecho de que ninguna de las doce multas fue emitida un domingo, constituye evi-
dencia suficiente de que no se emiten multas los domingos?
16. La encargada del edificio donde viven Lucas y otras 40 personas echa a rodar un
rumor. A la ma˜nana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vez lo repite a una
tercera, etc´etera. En cada paso el emisor del rumor elige al azar al receptor entre los
restantes 40 habitantes del edificio.
(a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a la encargada
que lo origin´o.
(b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ninguna persona
lo reciba m´as de una vez.
17. Lucas vive en un barrio donde el 40 % de los trabajos de plomer´ıa los realiza Oscar. El
30 % de los vecinos del barrio no est´a conforme con el trabajo de los plomeros y se queja,
pero Oscar recibe quejas del 50 % de su clientela barrial. Si Lucas no est´a conforme con un
trabajo de plomer´ıa, cu´al es la probabilidad de que sea cliente de Oscar?
18. Tres panader´ıas producen el 20 %, 30 % y 50 % de las facturas que se consumen en el
barrio donde vive Lucas. La probabilidad de que una factura contenga insectos es 0.04, 0.03
y 0.02 para cada una de las panader´ıas, respectivamente. Mientras saborea una esponjosa
bola de fraile una vecina de Lucas muerde una crujiente cucaracha. ¿Cu´al es la probabilidad
de que la haya comprado en la panader´ıa m´as popular del barrio?
1.5. Dados
19. Se arrojan dos dados.
(a) Cu´al es la probabilidad que al menos uno de los resultados haya sido el 6?
(b) Si los resultados son diferentes, cu´al es la probabilidad de que al menos uno sea el 6?
(c) Si al menos uno result´o el 6, cu´al es la probabilidad que la suma de ambos supere 8?
20. Lucas arroja seis veces un dado y gana si obtiene al menos un as. Monk arroja
4

5. doce veces un dado y gana si obtiene al menos dos aces. ¿Cu´al de los dos tiene la mayor
probabilidad de ganar?
21. ¿Cu´al de las siguientes apuestas es la m´as conveniente: apostar a que se obtiene al
menos un as en cuatro tiros de un dado o apostar a que se obtiene al menos un doble as
en 24 tiros de dos dados?
1.6. Naipes
22. [Ejemplicio sobre juego de poker] En el juego de poker son posibles las siguientes
manos, que se listaran en orden creciente de conveniencia. En las definiciones la palabra
valor se refiere a A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 o 2. Esta sucesi´on tambi´en describe el rango
relativo de los naipes, con una excepci´on: una A puede verse como un 1 para usarlo en una
escalera.
(a) un par: dos naipes de igual valor m´as tres naipes con diferentes valores
J♠ J♦ 9♥ Q♣ 3♠
(b) dos pares: dos pares m´as un naipe de diferente valor
J♠ J♦ 9♥ 9♣ 3♠
(c) terna: tres naipes del mismo valor y dos naipes de diferentes valores
J♠ J♦ J♥ 9♣ 3♠
(d) escalera: cinco naipes con valores consecutivos
5♥ 4♠ 3♠ 2♥ A♣
(e) color: cinco naipes del mismo palo
R♣ 9♣ 7♣ 6♣ 3♣
(f) full: una terna y un par
J♠ J♦ J♥ 9♣ 9♠
(g) poker: cuatro naipes del mismo valor y otro naipe
J♠ J♦ J♥ J♣ 9♠
(h) escalera de color: cinco naipes del mismo palo con valores consecutivos
A♣ R♣ Q♣ J♣ 10♣
Este ejemplo se llama escalera real.
Calcular las probabilidades de todas las manos de poker. Con los valores obtenidos
construya una tabla. No se olvide de la mano perdedora.
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6. Ilustraci´on a modo se sugerencia. Para calcular las probabilidades de las manos de
poker comenzamos observando que hay 52
5
= 2598960 formas distintas de elegir 5 naipes
de un mazo de 52. El c´alculo de probabilidades se reduce a calcular la cantidad de formas
distintas en que puede ocurrir cada mano. Calcularemos algunas para ilustrar las ideas
principales.
(a) un par: 13 · 4
2
· 12
3
· 43
= 1098240. Primero elegimos el valor para el par (13
formas), despu´es les asignamos los palos ( 4
2
formas), luego elegimos tres valores para las
otras cartas ( 12
3
formas) y finalmente les asignamos los palos (43
formas). Por lo tanto,
la probabilidad de obtener un par es 1098240
2598960
≈ 0.42257.
(d) escalera: 10 · 45
= 10240. Una escalera puede empezar con una carta mayor o igual
que 5, hay 10 posibilidades. Una vez que los valores fueron determinados, hay 45
formas de
asignar los palos. Esta forma de contar considera a la escalera de color como escalera. Si se
quieren excluir las escaleras de color, los palos pueden asignarse en 45
− 4 maneras. Por lo
tanto, la probabilidad de obtener una escalera que no sea de color es 10200
2598960
≈ 0.0039246.
(f) full: 13 · 4
3
· 12 · 4
2
= 3744. Primero elegimos el valor para la terna (que puede
hacerse de 13 formas), despu´es les asignamos palos ( 4
3
formas), luego elegimos el valor
para el par (12 formas), finalmente asignamos les asignamos palos ( 4
2
formas). Por lo
tanto, la probabilidad de obtener full es 3744
2598960
≈ 0.0014406.
23. Un mazo de 52 naipes se divide aleatoriamente en 4 pilas de 13 naipes cada una.
Calcular la probabilidad de que cada pila contenga un as.
24. De un mazo de 52 naipes se extrae uno al azar. Demostrar que el palo del naipe es
independiente de su valor num´erico.
1.7. Conjuntos geom´etricos
25. Dardos. Considere un juego de dardos de blanco circular Ω de radio 1 centrado en el
origen del plano: Ω = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
≤ 1}.
(a) Un tirador lanza un dardo y se clava en el blanco. Sea r la distancia desde el centro
del blanco hasta el punto de impacto. Hallar la probabilidad de que a < r < b, donde a y
b son dos n´umeros reales tales que 0 < a < b < 1.
(b) Suponga que el blanco est´a dividido en las siguientes zonas
Ai = (x, y) :
i − 1
5
< x2 + y2 ≤
i
5
, i = 1, 2, 3, 4, 5,
que permiten clasificar a cada tirador en las siguientes categor´ıas: sobresaliente, muy bueno,
bueno, regular, malo dependiendo de si el dardo hace impacto en la zona 1, 2, 3, 4, 5, re-
spectivamente. Hallar la probabilidad de que un tirador se clasifique en cada una de las
clases.
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7. (c) Un tirador lanza un dardo y se clava en el semic´ırculo superior del blanco. Hallar la
probabilidad de que sea sobresaliente.
(d) Construya una divisi´on del blanco en zonas Bi, 1 ≤ i ≤ 5, similar a la del inciso
anterior para que las 5 categor´ıas resulten equiprobables.
(e) Si un tirador es sobresaliente para un blanco divido en las zonas Bi, qu´e probabilidad
tiene de ser sobresaliente para un blanco dividido en las zonas Ai.
26. Problema del encuentro. Dos estudiantes se citan en un bar entre las 12 y las 13 hs.
El primero que llega espera al segundo durante un cuarto de hora, despu´es de lo cual se
va. Cada estudiante elige al azar el tiempo de llegada al bar.
(a) Hallar la probabilidad de que se produzca el encuentro.
(b) Si consiguieron encontrarse, cu´al es la probabilidad de que el segundo haya llegado al
bar despu´es de las 12 : 45?
1.8. D´ıgitos aleatorios
27. Hallar la probabilidad pk de que en una muestra de k d´ıgitos aleatorios no haya
dos iguales. Estimar el valor num´erico de p10 usando la f´ormula de Stirling (1730): n! ∼
e−n
nn+ 1
2
√
2π.
28. Considerar los primeros 10000 decimales del n´umero π. Hay 2000 grupos de cinco
d´ıgitos. Contar la cantidad de grupos en los que los 5 d´ıgitos son diferentes e indicar la
frecuencia relativa del evento considerado. Comparar el resultado obtenido con la proba-
bilidad de que en una muestra de 5 d´ıgitos aleatorios no haya dos iguales.
29. Se sortea un n´umero al azar dentro del intervalo [0, 1]. Hallar la probabilidad de que
el n´umero 7 no sea uno de sus d´ıgitos.
1.9. Simulaci´on de experimentos aleatorios
30. Simulaci´on de experimentos aleatorios. Sea Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn} el espacio muestral
correspondiente a un experimento aleatorio. Suponga que cada punto ωk ∈ Ω tiene asignada
la probabilidad pk. Usando un n´umero aleatorio U, uniformemente distribuido dentro del
intervalo [0, 1], se define el mecanismo aleatorio siguiente
X :=
n
k=1
k1 {Lk−1 < U ≤ Lk} ,
donde L0 := 0 y Lk := k
i=1 pi, para k ≥ 1. Demostrar que, identificando cada punto
ωk ∈ Ω con su correspondiente sub´ındice k, el mecanismo aleatorio X es adecuado para
simular los resultados del experimento aleatorio considerado.
7

8. 31. Mediante cien simulaciones estimar las siguientes probabilidades
(a) Obtener al menos un as en seis tiros de un dado.
(b) Obtener al menos dos aces en doce tiros de un dado.
(c) De acuerdo con los resultados obtenidos cu´al de las dos apuestas es m´as conveniente?
(Comparar con el Ejercicio 20.)
32. Mediante diez mil simulaciones estimar las siguientes probabilidades
(a) Obtener al menos un as en cuatro tiros de un dado.
(b) Obtener al menos un doble as en 24 tiros de dos dados.
(c) De acuerdo con los resultados obtenidos cu´al de las dos apuestas es m´as conveniente?
(Comparar con el Ejercicio 21.)
33. Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad de que al arrojar 3 dados
equilibrados la suma de los resultados sea menor que 12. Comparar la estimaci´on obtenida
con el valor verdadero de la probabilidad.
34. Utilizando la estad´ıstica de Maxwell-Boltzmann construya un mecanismo aleatorio
para estimar el n´umero e.
35. M´etodo de Monte Carlo. Se elige al azar un punto (X, Y ) dentro del cuadrado de
v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funci´on continua cualquiera.
(a) Hallar la probabilidad del evento A = {Y ≤ f(X)}.
(b) Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad p = P(A) cuando f(x) = x2
.
(c) Usando el m´etodo indicado en el inciso (b) obtener 100 estimaciones ˆp1, . . . , ˆp100 de la
probabilidad p y graficar el conjunto de puntos {(i, ˆpi) : i = 1, . . . , 100}. Qu´e se observa?
(d) Usando el m´etodo indicado en el inciso (b) obtener 10000 estimaciones ˆp1, . . . , ˆp10000
de la probabilidad p. Considerar la partici´on del intervalo
[a, b] = m´ın
1≤i≤10000
ˆpi, m´ax
1≤i≤10000
ˆpi
en 10 intervalos de igual longitud definida por
Ij := a +
(j − 1)(b − a)
10
, a +
j(b − a)
10
, j = 1, . . . , 9; I10 := a +
9(b − a)
10
, b
y graficar la funci´on
h(p) =
10
j=1
1
10000
10000
i=1
1{ˆpi ∈ Ij} 1{p ∈ Ij}.
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