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ecuaciones parametricas

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  1. 1. Ecuaciones parametricas República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Ingeniería de sistemas Barcelona-Edo. Anzoátegui -Materia: MATEMATICA III -Sección: “A” Nombres: Juan Ordaz C.I:30.132.423
  2. 2. Introducción Hasta ahora hemos estudiado curvas en un plano descritas mediante una ecuación cartesiana. Es decir, hasta ahora, los puntos de una curva han estado especificados por una ecuación en coordenadas rectangulares. Esta no es la única forma de especificar una curva en un plano. En este cuaderno estudiaremos otra forma de describir una curva en el plano, mediante un par de ecuaciones, llamadas ecuaciones paramétricas. A continuación veremos que son las ecuaciones paramétricas
  3. 3. Ecuaciones Parametricas En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil. Puede describirse una hélice con la ecuación paramétrica .Al variar el valor de t, se obtienen los distintos puntos de la curva. Descripción En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera(x,y) equivale a la expresión (x,f(x))
  4. 4. Curvas Notables Elipse Circunferencia Las ecuaciones paramétricas a menudo describen bellas figuras.
  5. 5. Generalidades del algebra vectorial. Que es el algebra vectorial? El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Que son las ecuaciones paramétricas?
  6. 6. Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica. Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación grafica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Los vectores se clasifican en libres, deslizantes, fijos, unitarios, concurrentes, opuestos, colineales, paralelos, coplanares, esta es la clasificación más generalizada que reconocen las matemáticas como ciencia exacta y que de forma primaria estudia estos elementos de medición, sobre un espacio abstracto en el cual se establecen las medidas entre un punto y otro.
  7. 7. Grafica de ecuaciones paramétricas. PARAMETRIZACION • Representar una función en R2 (o R3) como una función vectorial, el proceso es el siguiente: • Selecciona un parámetro, por ejemplo: t. • Reemplaza el parámetro en una de las variables, por ejemplo: x. • Establece la relación, sí existe, entre la primera variable (x) y la segunda variable, por ejemplo: y. • Deja la última variable, por ejemplo y, en términos de las dos anteriores.
  8. 8. El plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. • Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.
  9. 9. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas.!
  10. 10. Maybe You Need to Divide the Content Mercury is the closest planet to the Sun and the smallest one in the Solar System—it’s only a bit larger than the Moon Venus has a beautiful name, is the second planet from the Sun and its atmosphere is extremely poisonous Mercury Venus
  11. 11. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas. Una curva se considera parametrizada por las siguientes ecuaciones: 𝑥 𝑡 = 𝑡3 − 𝑡 𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡2 Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5, la curva resultante se ve así: Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma ∫ (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 Los términos dx y dy representan el pequeño cambio en los valores de x e y desde el principio hasta el final del segmento. Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando x y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de dt. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 dt Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término 𝑑𝑡2 fuera del radical. MODULO, DIRECCION Y SENTIDO DE UN VECTOR Modulo: El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. Dirección: La dirección de un vector es la medida del ángulo que hace con una línea horizontal Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
  12. 12. Ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. Ejemplo:
  13. 13. Comparar la grafica de ecuaciones paramétricas con la grafica de la ecuación cartesiana. Con frecuencia consideramos una curva en el plano como una línea trazada sobre un papel, tal como puede ser una línea recta, una curva parabólica o una circunferencia. Nos preguntamos ahora, ¿como podemos describir (analíticamente) una curva en el plano? Es evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos por donde pasa, los puntos que forman la curva. En algunos casos, podemos usar para ello las coordenadas cartesianas de los puntos P(x, y) de la curva, expresando y como una función de x y = F(x), por ejemplo y = 1 + 𝑥2 , o x como una función de y x = G(y), por ejemplo x = cos2 y , o dar una relación entre x e y que defina implícitamente a una variable en términos de la otra H(x, y) = 0, por ejemplo 𝑥2 + 𝑦2 −16 = 0. Hay curvas que se representan mas fácilmente mediante otro sistema de coordenadas [por ejemplo, r = 2 cos θ usando coordenadas polares]. Algunas curvas se describen mejor cuando las coordenadas x e y están dadas en términos de una tercera variable t llamada parámetro [x = f(t) e y = g(t), recordarlas ecuaciones paramétricas de una recta en el plano vistas en la Sección 5.1 de la Guía 1]. Podemos, también, indicar cada punto de una curva haciendo uso de la asociación de P con el punto final del vector =−−→OP ubicado en posición canónica. En esta guía discutiremos la forma paramétrica de describir curvas, mediante una representación vectorial.
  14. 14. Curvas paramétricas Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descripta Figura 1: Curva en el plano por una ecuación de la forma y = F(x) (¿por que?), sabemos que las coordenadas x e y de la posición de la partícula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existirán funciones f y g de la variable (o parámetro) t, tales que x = f(t) e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una forma conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones paramétricas de la curva en el plano: x = f(t) y = g(t) Cada valor de t determina un punto (x; y) en el plano. Cuando t varia (en un intervalo de números reales), el punto (x; y) = (f(t); g(t)) se mueve generando una curva en el plano.
  15. 15. EJEMPLO 1: Las ecuaciones parametricas x = 𝑡2 - 2t y = t + 1 con t real, definen una curva plana. Describir y graficar la curva para los siguientes casos: a) si t ∈ (-∞;+∞); b) si t ∈ [0; 4]. En este ejemplo tenemos f(t) = 𝑡2 − 2t, g(t) = t + 1. a) A cada valor del parámetro t ∈ R, le corresponde un punto sobre la curva. Por ejemplo, para t = 0 se tiene x = f(0) = 0 e y = g(0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t = 0 es (0; 1). Podemos así evaluar x e y para varios valores del parámetro, por ejemplo asignar a t los valores -2, -1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x; y) = (f(t); g(t)) en el plano. Si unimos estos puntos para producir una curva continua obtenemos la Figura 2(a), en la que las echas indican el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que t aumenta su valor (indique el valor de t que corresponde a cada punto marcado en la curva). Figura
  16. 16. Figura 2: Ejemplo 1. (a) El parámetro t adopta cualquier valor real. (b) El parámetro t varia en [0; 4]. Observando la figura, parece que la curva trazada fuera una parábola. ¿Como podemos comprobarlo? Una forma es reescribir las ecuaciones parametricas de la curva usando (solo) coordenadas cartesianas, esto es, buscar una relación entre x e y, sin el parámetro t. Para ello debemos eliminar t en las ecuaciones dadas. En este ejemplo es posible hacerlo, por ejemplo despejando t = y 􀀀 1 de la segunda ecuación y luego sustituyendo en la primera ecuación. Esto da: x =𝑡2 − 2𝑡 = (𝑦 − 1)2 − 2 𝑦 − 1 = 𝑦2 − 4𝑦 + 3 y así vemos que la curva descripta por las ecuaciones parametricas dadas es la parábola x+1 = (y-2)2 , de eje horizontal y vértice en (-1; 2), con las ramas que abren hacia la derecha. b) Si t ∈ [0; 4], la correspondiente curva es la parte de la parábola x = 𝑦2 -4y + 3 que empieza en el punto que corresponde al valor t = 0 del parámetro, o sea A(0; 1), y termina en el punto que corresponde a t = 4, esto es en B(8; 5), como se muestra en la Figura 2(b). La echa señala el sentido de recorrido de la curva cuando el parámetro aumenta su valor desde t = 0 hasta t = 4. Consideremos ahora un objeto que se mueve en el espacio, describiendo un camino imaginario representado por una curva en el espacio. Habrá entonces tres funciones del tiempo, f, g y h, que nos permitirán escribir las coordenadas de la posición de la partícula en cada instante t mediante las siguientes ecuaciones parametricas:
  17. 17. x = f(t) y = g(t) t ∈ R z = h(t) Observemos que para cada t, el punto P(f(t); g(t); h(t) es el punto-posición de la partícula en el tiempo t. Luego podemos definir el vector que va de O a P, para cada t (ver Figura 3). Esto sugiere que una curva paramétrica podría ser descripta mediante una función que a cada valor del parámetro t le asigne el vector𝑃𝑂 = f(t) {+g(t) +h(t) k, esto es, mediante una función con valores vectoriales. En el caso de una curva en el plano, se tiene 𝑃𝑂 = f(t) { + g(t) |.
  18. 18. Figura 3: Cuando el parámetro t varia en [a; b], el punto final del vector ~ 𝑟(t) genera una curva en el espacio. Ahora bien, >que es una función con valores vectoriales? Sabemos que una función en general, es una regla que asigna a cada elemento del dominio un único elemento de su rango o imagen. El caso de una función vectorial es uno de los temas de estudio en Análisis II. Veremos mas adelante que la representación vectorial permite estudiar con facilidad el movimiento de un objeto en función del tiempo, caracterizando la variación temporal del desplazamiento, la velocidad y aceleración.
  19. 19. Bibliografía https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g https://www.youtube.com/watch?v=9c_Auawm-6o https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/ecsparam/ec spm_intro.html https://es.scribd.com/doc/188441576/ecuaciones-parametricas https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
  20. 20. Anexos

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