Matematica.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “ Andrés Eloy Blanco”
Integrante: José Colombo
CI: 31.111.539
Sección: 0104
Unidad: Matemática.

2. Conjuntos:
 Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se clasifican los números, en
 función de sus diferentes características. Por ejemplo, si tienen o no una parte decimal,
 o si poseen un signo negativo delante.
 Los conjuntos numéricos son, en otras palabras, los tipos de números que las personas
 tenemos a nuestra disposición para realizar operaciones, tanto cotidianas como a un
 nivel más sofisticado (por parte de ingenieros o científicos, por ejemplo).
 Todos los números que existen se clasifican en los conjuntos siguientes:
 1. Números naturales : Se representa con la letra N, y son todos los números
 que sirven para contar. N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… }.
 2. Números cardinales: Se representa con la letra N*, y son idénticos a los
 naturales, sólo que se ha agregado el cero 0. N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… }.
 3. Números racionales: Se representa con la letra Q, y son todos los números en
 la forma a/b, es decir, todas las fracciones positivas y negativas; y el cero 0. Q =
 {… – ¾, – ½, – ¼, 0, ¼, ½, ¾,… }.
 4. Números Fraccionarios: Se representa con la letra Q+ y son todas las fracciones
 positivas. Q+ = { ¼, ½, ¾,… }.
 5. Números irracionales: Se representa con la letra I, y son todos los números
 decimales infinitos no periódicos. Cada uno tiene un símbolo que le define,
 como π = 3.141592….
 6. Números Enteros: Se representa con la letra Z, y contiene todos los números
 positivos y negativos, que son múltiplos de 1. Z = { … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… }.
 7. Números Reales: Se representa con la letra R, y contiene a los racionales y a los
 irracionales. R = { … –10, –5, –½, –¼, 0, √2, π… }.
 8. Números imaginarios: Se representa con la letra i y contiene las raíces
 cuadradas de los números negativos. Su unidad es √–1. El número i = √–1. Por
 tanto, i2 = –1.
 9. Números complejos: Se representa con la letra C. Son aquellos que tienen una
 parte de número real y otra parte de número imaginario, por lo que también se
 clasifican como números imaginarios.

3.  Hay otros conjuntos que no se incluyen en esta clasificación oficial, y que vale la pena
 considerar:
 10. Números Romanos: provienen de la cultura romana, y se valen de letras para
 representar cantidades. { I, II, III, IV, V, VI, … }.
 11. Números decimales: representan números positivos o negativos que tienen una
 parte entera y una porción más, escrita con cifras después de un punto decimal
 que le separa de la parte entera. { -0.2, -0.1, 1.1, 1.2, … }.
 12. Números ordinales: indican la posición de un elemento dentro de una sucesión
 ordenada. { 1º, 2º, 3º, 4º,… }.
 13. Números partitivos: son la forma escrita de las fracciones (1/4 un cuarto, 1/2
 un medio...)

4. Operaciones con Conjuntos:
 En matemáticas, álgebra de conjuntos es el estudio de las operaciones básicas que
 pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.
 UNIÓN DE CONJUNTOS
 Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o
 de B, es decir:
 Ejemplo:
 Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
 Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
 Luego,
 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
 Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que
 son elementos de A y de B, es decir:

5.  Ejemplo:
 Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
 C = {a, t, u, v}.
 Encuentre:
 Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se
 tiene que:
 Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
 anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
 Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se
 tiene que:

6.  Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
 anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
 DIFERENCIA DE CONJUNTOS
 Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
 Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
 En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
 Ejemplo:
 Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
 A – B = {a} y B – A = {d, e}.
 Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto

7.  En el diagrama de Ven la diferencia simétrica está representada por las regiones menos
 oscuras. (Lo que no tienen en común).
 Ejemplo:
 Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
 Entonces
 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
 Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado
 por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a
 U. Simbólicamente se expresa:
 Ejemplos:
 a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e }
 Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
 b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
 Determinado por extensión tenemos
 U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
 Su complemento es: A' = {r, t, m, c}

8. Números Reales:
 Los Números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
 pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
 Los números naturales:
 Na=1, 2, 3, 4, 5, 6,7...sigue hasta infinito.
 Enteros:
 E= -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7…y sigue hasta infinito.
 En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
 infinito y podemos representarlo en la recta real.

9. Desigualdad:
 La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
 algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre
 dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien
 menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada
 con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
 diferente según su naturaleza.
 Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
 número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es
 mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
 Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas
 posibles en los cinco siguientes:
 ▪ Desigual a: ≠
 ▪ Menor que: <
 ▪ Menor o igual que: ≤
 ▪ Mayor que: >
 ▪ Mayor o igual que: ≥
 Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría
 que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de
 “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y
 “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
 Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es
 excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b”
 pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las
 expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.

10.  Ejemplo:
 Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos
 miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el
 otro a la derecha.
 Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
 incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
 elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
 cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
 Propiedades:
 Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades: Si los miembros
 de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la
 desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo
 de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
 cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 >
 9+3
 Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
 sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de
 sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
 sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

11. 5. Valor Absoluto:
 Valor Absoluto:
 El valor absoluto de un numero real es la magnitud de este, independientemente del
 signo que le preceda.
 El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el
 signo correspondiente a este.
 Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
 cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto
 de x:
 Ejemplos:
 |x|=x si x≥ 0

12. Desigualdades con el valor Absoluto:
 Una de desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
 absoluto con una variable dentro.
 La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
 Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
 Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
 La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
 En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | un | < b ,
 entonces a < b Y a > - b .
 ejemplo
 Resuelve la desigualdad para x: | 5 + 5x | - 3> 2.
 Solución
 Aísle la expresión de valor absoluto sumando 3 a ambos lados de la desigualdad;
 => | 5 + 5x | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
 => | 5 + 5x | > 5.
 Ahora resuelva las "versiones" positivas y negativas de la desigualdad de la siguiente
 manera;

13.  Asumiremos símbolos de valor absoluto resolviendo la ecuación de la manera normal.
 => | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.
 => 5 + 5_x_> 5
 Resta 5 de ambos lados
 5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0
 Ahora, divide ambos lados entre 5
 5x / 5> 0/5
 x> 0.
 Por tanto, x> 0 es una de las posibles soluciones.
 Para resolver la versión negativa de la desigualdad de valor absoluto, multiplique el
 número del otro lado del signo de desigualdad por -1 e invierta el signo de desigualdad:
 | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Restar 5 de ambos lados => 5 + 5x (−5) <−5
 (- 5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => x <−2.
 x> 0 ox <−2 son las dos posibles soluciones a la desigualdad. Alternativamente,
 podemos resolver | 5 + 5x | > 5 usando la fórmula:
 (Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O
 (Los valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).
 Ejercicios de Desigualdades:
 Ejemplos:
 1) -5x > 20
 5x < -20
 x< -20% 5
 x < -4
 el problema es que vamos a pasar a dividir es negativo esto tiene una recomendación si
 al final de un ejercicio la (x) está acompañada de un numero negativo lo que debe hacer
 o lo que aconsejo es multiplicar toda la ecuación por (-1) ¿Qué quiere decir multiplicar
 toda la ecuación Por (-1)? Es cambiar los signos de todos, entonces aquí es donde entra
 el cambio, si yo cambio todos los signos quiere decir cambiar el (-) cambiar a (+) del 20
 pero también cambiar el (>), como la (x) está acompañada de un positivo simplemente
 ese 5 que está multiplicando pasa a dividir, en esto es lo que debemos tener mucho
 cuidado cuando la (x) este acompañada de un numero negativo al final el signo debe
 cambiar.

14. Ejercicios:
 1) x-3< 5
 2) -4 x > 12
 3) 3x> 21