1. Anualidades Conceptos y
ejercicios
Grupo #10
- Camilo Alberto Espinosa Montes
- Luis Felipe Sánchez Saa
- Jose Alejandro Lasso
- Yesica G
- Sebastián Muñoz

2. Anualidades
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes
condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
3. A todos los pagos se les aplica la misma taza de interés.
4. El numero de pagos es igual al # de periodos

3. ´´Es el pago de igual valor que
se realiza periódicamente´´
Renta Periodo de Renta
´´Es el tiempo que trascurre entre
dos pagos periódicos
consecutivos´´

4. ´´Es el tiempo entre la fecha
inicial y la final del
periodo´´
Plazo Valor Presente
´´Valor equivalente a las rentas al
inicio del plazo´´
Se representa con:
n
Se representa con:
C

5. ´´Valor final equivalente a
todos los pagos de
anualidad´´
Valor Acumulado Tasa de interés
´´Porcentaje que se le agrega por
concepto de interés´´
Se representa con:
M
Se representa con:
i

6. Clasificación
Anualidad
Vencida
Anualidad
Anticipada
´´Los pagos que se realizan al
final de cada periodo´´
´´Los pagos que se realizan al
inicio de cada periodo´´

7. Formulas
Renta
Anticipada
Vencida
Inicio
Final

8. Ejemplo
¿Cuánto acumula Lucía en un fondo de inversión con una renta
semestral de 60.000 dl que va a depositar durante 7 años, si la tasa de
interés es del 7% semestral y el primer pago se realiza al abrir la cuenta?

9. Solución
M = ?
R = 60.000 sem ant
n = 7 años /100 = 0.07
I = 7% semestral
7x2= 14 semestres
M = 60.000(1.07) [ (1.07)^14 -1/0.07]
M = 64.200 [ 2.57853415 -1 /0.07]
M = 64.200 (22.55048786)
M = 1.447.741.32

10. Ejercicio
Jessica solicitó un préstamo personal de 200.000 dl que debe pagar en un
plazo de 2 años con una tasa de interés del 12% semestral, y acuerda
realizar pagos semestrales vencidos. ¿Qué valor tiene cada pago?

11. Solución
C = 200.000
n = 2 años = 4 sem
I = 12% semestral /100
0.12
R =? semestral vencida
200.000 = R [1-(1.12)^4/0.12]
200.000 = R[ 1.0635518078/0.12]
200.000 = R[ 0.364481921/0.12]
200.000 = R (3.037349347)
200.000/ 3.037349347 = R
R= 65.846.88

12. La amortización consiste en pagar una deuda, mediante una serie de pagos; el
comportamiento de la deuda y los intereses se pueden mostrar en una tabla
denominada tabla de amortización.
Amortización

14. Ejemplo
Un banco ofrece un crédito libre inversión de $3,000,000 para cancelar en
4 cuotas mensuales, con una tasa de interés del 1.5%mensual. Hacer una
tabla de amortización.

15. P= 3,000,000
n= 4 (meses)
i= 1.5% mensual = 0.015 m
Cuota=?
Cuota= 778,334,36

16. Intereses (1) = 3,000,000 x 0.015 = 45,000
Abono C (1) = 778,334.36 – 45.000 = 733,334.36
Saldo (1) = 3,000,000 - 733,334.36 = 2,266.665.64
Intereses (2) = 2,266.665.64 x 0.015 = 33.999.98
Abono C (2) = 778,334.36 – 33.999.98 = 744,334.38
Saldo (2) = 2,266.665.64 - 744,334.38 = 1,522.331.26
Intereses (3) = 1,522.331.26 x 0.015 = 22.834.97
Abono C (3) = 778,334.36 – 22.834.97 = 755,499.39
Saldo (3) = 1,522.331.26 - 755,499.39 = 766,831.87
Intereses (4) = 766,831.87 x 0.015 = 11.502.48
Abono C (4) = 778,334.36 – 11.502.48 = 766,831.88
Saldo (4) = = 766,831.87 - 766,831.88 = -0.01

18. Ejercicio
El señor García sabe que el televisor que desea comprar tiene un costo de
5,000,000 COP, si la tasa de interés es 1,6% mensual y debe pagarlo a 4
cuotas iguales, genere la tabla de amortización.

19. Solución

21. Capitalización
La capitalización en este contexto se refiere a reunir un capital mediante
depósitos periódicos. Una tabla de capitalización nos muestra, período a
período, la forma como se va reuniendo un capital, su conformación es
similar a la amortización.

23. Ejemplo
Si deseo ir a Londres en 4 meses y el monto que debo reunir son 10 mil
dólares, ¿cuanto debería ahorrar cada final de mes para alcanzar mi
objetivo?. La tasa es 2% mensual.

26. Ejercicio
Si empiezo a ahorrar 1000 mensual en un fondo renta el 2% mensual, ¿cuánto tendré
al cabo de 4 meses?

29. Anualidades Diferidas
La diferencia entre las primeras anualidades que vimos, es que las mismas eran
inmediatas porque con el primer pago se encontraba el primer periodo, pero
puede ser que el primer pago se encuentre después de haber pasado cierta
cantidad de períodos. Por eso se le llama diferida.

30. Formulas
Cálculo del monto de una anualidad diferida
durante t años, pagadera anualmente al final de
cada año, durante n años, a una tasa efectiva de
interés
(En caso de que los pagos periódicos sean de R
pesos, se multiplican las fórmulas anteriores por R.)

31. Después de 5 años, y al final de cada año, pensamos invertir $10 000.00. ¿Qué
cantidad tendremos dentro de 20 años si la tasa de interés efectiva que nos
otorgan es del 8% anual?
Ejemplo

32. R= 10.000
t= 5
n=15
i= 8%/100 = 0.08
Línea de tiempo

33. R// Dentro de 20 años tendremos un
monto de $271 521.14.

34. Ejercicio
Una persona de 20 años desea invertir, desde que cumpla 30 años, una
cantidad de $8 000.00 anuales al principio de cada año. ¿Qué cantidad
habrá acumulado cuando cumpla 45 años, si el banco le otorga una
tasa de interés efectiva del 12% anual?

35. Línea de tiempo
R= 8.000
t= 10
n=15
i= 12%/100 = 0.12

36. R// Cuando cumpla 45 años habrá
acumulado $335.026.24

37. Anualidades Perpetuas
Una anualidad que tiene infinito número de pagos, se denomina anualidad
infinita o perpetua, obviamente las anualidades infinitas no existen, ya que
todo tiene un final, pero este termino se utiliza cunado el numero de pagos
es muy grande o por el contrario no sabemos cuantos son.

38. Ejemplo
El señor García recibe $2000 mensualmente de por vida, si la tasa de
interés es del 2%, ¿cuál cantidad debe depositar inicialmente para que
esto se cumpla?

39. A= 8.000
i= 2%
P=100.000

40. Ejercicio
El señor García deposita 100 mil inicialmente en un fondo para
recibir una cantidad mensual de por vida, si la tasa de interés es
del 2%, ¿cuál cantidad que puede recibir el señor García?

41. A= 2.000
i= 2%
P=100.000

42. AMORTIZACION Y
CAPITALIZACION

43. AMORTIZACION CON CUOTAS
EXTRAORDINARIAS
CUOTAS EXTRAS PACTADAS
Son aquellas en el que el deudor y creador acuerdan las fechas en
el que se van a efectuar tales cuotas extraordinarias, en el mismo
momento en que se contrata el crédito.

44. CUOTAS EXTRAS PACTADAS
EJEMPLO:
Se va a cancelar una deuda por $ 200,000 en 4 pagos trimestrales de $R c/u con la tasa
de interés de 32% ct, la cuota ordinarias resulta de:
0 1 2 3 4
$ 200,000
R R R R

45. $ 200,000= R 0,4 8% de donde se obtiene R=$ 60,384,16
Pero si se hace un pago adicional de $ 50,000 al final del mes 9, la cuota
ordinaria debe bajar al plantear la ecuación de valor se debe incluir un pago
mas y en este caso se dice que esa cuota extra es ¨pactada¨ y el diagrama de
flujo de caja quedara así:
0 1 2 3 4
R
r
R
R R
R
$50,000
$200,000

46. La ecuación de valor será:
$ 200,000= R 0,4 8% + 50,000( 1+0,08)-3
R= $ 48,400,44
PER. SALDO INTERESES CUOTA AAMORTIZACION
0
1
2
3
4
200.000
167,599
132,609
44,815
0,00
16,000
13,407
10,608
3,585
48.400
48.400
98.400
48.400
32,400
34,992
87.791
44,815

47. Se cancela una deuda de $200.000 dlr en cuatro cuotas iguales
trimestrales, con una tasa de interés del 32% NT; además se
pacta una cuota extra de $50.000 en el mes 9.
Realizar la tabla de amortización.
Ejercicio

48. 0 1 2 3 4
i= j/4 = 32/4 Cuota A:
=8% P= A (1-(1+i)^-n) /i
P= 200.000 – 50.000 (1.08)^-3 = 160.308 = A (1-(1.08)^-4) /0.08
= 160.308 A= 48.400

49. Tabla amortización

50. Tabla amortización

51. CUOTAS EXTRAS NO PACTADAS
Cuando se esta haciendo una amortización y el deudor desea hacer un abono extra que no se había
convenido en un principio al obtener el crédito, en este caso se dice que la cuota extra no es
pactada.
1. Consiste en abonarlo al saldo de su deuda y dejar que las cuotas ordinarias sigan siendo del
mismo valor, en este caso la deuda se cancelara antes el plazo previsto.
2. hacer el abono al saldo de la deuda y efectuar la liquidación de la cuota ordinaria periódica con el
fin de conservar el plazo originalmente pactado, el valor de la nueva cuota ordinaria será inferior a
la liquidada originalmente.

52. Ejemplo:
Una deuda de $ 600,000 se va a cancelar en 7 pagos trimestrales con un interés del 9% efectivo
trimestral, si al momento de efectuar el pago N 3 se efectúa un abono extraordinario, pactado, de $
250,000 se pide a) elaborar una tabla suponiendo que la cuota extra se abona a capital sin liquidar
la cuota b) elaborar la tabla si hacer el abono extra se pide liquidación de la cuota.
0 1 2 3 4 5 6 7
$600,000
R R R R R R R

53. $ 200,000 = R 7 9% de donde se obtiene que R = 119 214
La tabla sin Tener en cuenta ninguna cuota extra puesto que no se han pactado

54. La primera forma se puede presentar cuando, al cancelar la tercera cuota el
deudor decide efectuar un abono de $ 250,000 adicional a su cuota ordinaria
periódica, entonces la tabla quedaría así:

55. el pago del periodo 5 debe de ser igual a los intereses mas el saldo de la deuda,
esto es:
2, 633 + 29, 266 = 31,900
Observe que la deuda se cancelo antes lo previsto.
La segunda forma se puede presentar cuando, al momento de efectuar el pago
de la tercera cuota, el deudor desea hacer un abono extra de $ 250,000 pero
exige liquidación de la cuota para observar el plazo originalmente impactado,
entonces el capital insoluto o saldo de la deuda periodo 3 debería ser
cancelado en los 4 periodos restantes, por lo tanto la nueva cuota seria:

57. Despues del abono extraordinario de $ 250,000 el saldo de la deuda es
ahora de 136,220 que se tomara de un nuevo capital inicial, por lo
tanto:
$ 136,220= R 4 9% de donde se obtiene R= 42, 047

58. AMORTIZACION CON PERIODOS DE GRACIA
Después de efectuar el préstamo, va a pasar ciento tiempo antes de que se
empieza a efectuar pagos y básicamente, existen dos movilidades de
préstamo con periodo de gracias
1. periodo de gracias muerto: durante cierto tiempo, no hay pagos de ninguna
clases, a este tiempo se el denomina periodo de gracia merto.
2. Periodo de gracia con cuota reducida: durante cierto tiempo se pagan
cuotas reducidas equivalentes al valor de los intereses que se causan,pero sin
hacer amortización al capital, en consecuencia, la deuda la deuda permanece
constante por que a la medida que se va causando los intereses se va
pagando.

59. Ejemplo:
Se concide un préstamo de $ 2 000,000 con el plazo de gracia muerto de 6
meses seguido de 4 cuotas trimestral ordinarias creciente en un 10% y de
intereses 44% ct, elabora la tabla de amortización:

60. TABLA DE AMORTIZACIÓN

62. AMORTIZACION MEDIANTE ABONO CONSTANTE A
CAPITAL CON INTERES ANTICIPADO
Una de las formas mas comunes de amortización utilizadas por los bancos
consiste en cobrar intereses por anticipado y amortización constante de cada
periodo.
La amortización puede calcularse dividiendo la deuda por el numero de pagos a
realizarse, a esto:

63. Ejemplo:
Una persona solicita a una entidad un préstamo por $ 500,000. lo
cancela cancelara en un pago trimestrales, durante un año, con
amortización constante e intereses del 33% nominal trimestre
anticipado. Elaborar una tabla de amortización.

64. La deuda debe de ser cancelada con 4 pago trimestrales, por lo tanto la
amortización será:
Al comienzo de la deuda, es decir en el periodo cero, se cobran
intereses de :

65. Puesto que el periodo cero no hay abono a capital, la cuota será igual a los
intereses es decir a $ 41,250. en el punto 1 de la línea de tiempo, esto es,
al final del primer semestre debe hacer un abono a capital de $ 125,000
quedando una deuda de $ 375,000 y habrá que pagar los intereses por
anticipado sobre $ 375,000 entonces el pago total deberá ser de:

66. la grafica y la correspondiente tabla se muestra a continuación

68. AMORTIZACION EN VALOR CONSTANTE
Muchos créditos se otorga en valor constante, lo cual significa que las
cuotas y los saldos insolutos deben ser ajustados en un porcentaje,
igual al índice de corrección monetaria.es de advertir que este índice
tendrá, en el futuro, variaciones deconocidas.
Ejemplo:
Elaborar una tabla de amortización la suma de $ 600.000 en 4 pagos
anuales e iguales, pero en valor constante, suponga una tasa de
interés del 8% y que :

69. a) La corrección monetaria permanecerá constante en el 22% durante
los 4 años
b) La corrección monetaria es del 22% en los primeros 2 años, del 24%
Para el tercer año y del 27 para el cuarto año.

70. SOLUCION
A) primero calculamos el valor de la cuota haciendo caso omiso de la corrección
monetaria.

71. El valor de $ 181, 152 corresponde al valor de las cuotas pero con peso
de hoy sin embargo, cuando se vaya a pagar la primera cuota este valor se
debe incrementar debido a la corrección monetaria y será:

72. Así como hemos corregido el valor de la cuotas tenemos que corregir los saldos de las
deudas y para ello será necesario incluir en la tabla nueva columna que denominaremos
donde colocaremos los saldos de la deuda ajustada con la corrección monetaria al final de
cada periodo.
El saldo insoluto ajustado del periodo cero se obtiene al aplicarle la corrección
monetaria al saldo insoluto del periodo cero, esto es:

73. Sobre los $ 732,000 se calculan los intereses así:
Si al saldo justado del periodo cero se le resta la amortización se tendrá
el saldo ( sin ajustar) al comienzo del primer periodo así :

74. Este saldo se deberá a ajustar para saber cual es la deuda al final del
mismo periodo, entonces se : tendrá
Al saldo insoluto ajustado del periodo 1 se le aplica la tasa
de interés para obtener los intereses así:

77. capitalización
CAPITALIZACION DIFERIDA
Es la capitalización que tiene uno o varios periodos en los cuales no se efectúan
depósitos, pero el capital ahorrado si gana intereses. Es obvio que estos
periodos se encontraran entre la fecha del ultimo deposito y la fecha de
retiro del capital

78. Ejemplo
Para el 15 de abril de 1998 debe haberse reunido la suma de $ 900,000 para
tan fin se efectúan depósitos trimestrales de $ R c/u en un fonde que paga
el 32% ct, si el primer deposito se hace el 15 de enero 1197 y el ultimo el 15
de octubre de 1997.
a) Calcula el valor del deposito trimestral
b) Elaborar una tabla de capitalizacion

80. CAPITALIZACION CON CUOTAS EXTRAS PACTADAS
Las bases teóricas necesarias para elaborar la tabla son las mismas de la amortización
pero poniendo la ecuación en valor final.
Se desean reunir $ 800,000 en 4 depósitos periódicos crecientes en un 20% mas una
cuota extra pactada de $ 80,000 en el periodo de 2. con una tasa del 20% efectiva para
el periodo elabore la tabla de capitalización.

82. VAN
El van es el acrónimo del Valor Actual Neto, también conocido como
Valor Presente Neto (VPN). Es uno de los indicadores financieros para
valorar y determinar la viabilidad y la rentabilidad de un proyecto de
inversión, más conocidos y utilizados.

83. FORMULA DE VAN
La fórmula más utilizada para calcular el VAN es:
VAN = Beneficio Neto Actualizado (BNA) – Inversión Inicial (lo)
• VAN = 0. Sí el resultado es igual a cero (0), se determina que el proyecto no dará ganancias
ni perdidas, o sea, es indiferente.
• VAN > 0. Cuando el valor obtenido es mayor a cero (0) se asume que el proyecto será
rentable.
• VAN < 0. Si el valor obtenido es menor a cero (0) se considera el proyecto no viable.

84. TIR
Recordemos que en principio la TIR viene a ser la tasa de
descuento que hace que el valor del VAN sea igualado a
cero (0). Razón por la cual su resultado siempre será
expresado de manera porcentual. El objetivo de la TIR es
mostrar el valor de rendimiento de la inversión realizada
comparable a una tasa de interés expresado en
porcentajes.

85. FORMULA DE TIR
•Si la TIR es < r se determina que el proyecto debe ser rechazado.
•Si la TIR es > r entonces el proyecto será viable y puede ser aprobado.
•En el caso de que la TIR = 0, el proyecto en principio debe ser
rechazado. Es cierto, que desde el punto de vista estratégico puro, se
podría decidir invertir, pero a nivel financiero no compensa asumir dicho
riesgo.

86. VPN
El método del valor presente neto incorpora el valor del
dinero en determinado tiempo de flujos de efectivo netos
de un negocio o proyecto. El objetivo del valor presente
neto es realizar las comparaciones entre los periodos en
los que el proyecto o negocio tuvo diferentes flujos de
efectivo para determinar si conviene o no invertir en él.

87. ROI
El ROI es un indicador eficaz cuando se trata de calcular el
retorno de una acción y puede ser aplicado a todas las
inversiones, desde aquellas hechas en campañas de
marketing y eventos, hasta en mejoras en la
infraestructura de la empresa, por citar algunos
ejemplos.