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EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Prof. Mário
e-mail: marioffer@yahoo.com.br
04 – Razão e Proporção
04.1 – Razão
É a comparação entre duas grandezas, de mesma espécie, da forma
b
a
ou
b
a
: com b ≠ 0
Onde: a = antecedente
b = conseqüente
Lê-se: a está para b
04.1.1 – Razão Inversa
04.1.2 – Propriedade
Podemos multiplicar ou dividir ambos os termos de uma razão, por um mesmo número
diferente de zero, que esta não se altera.
)
0
(
:
:
.
.








 k
k
b
k
a
k
b
k
a
b
a
Ex.1 - Qual razão entre as idades de Francis (14 anos) e Melissa (21 anos)?
Ex.2 - Na prova de Matemática de Samara, a razão do número de questões certas para o
número total de questões foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de
16 questões, quantas questões Samara acertou?
Exercícios
01. Determinar a razão de 48 para 72.
02. Numa partida de basquete, Francis fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nestas condições:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Francis?
b) Qual a razão entre o número de arremessos que Francis acertou e o número de arremessos
que ela errou?
04.1.3 - Razões Especiais
RE1 – Velocidade
: 3,6










v
d
t
Tempo
t
v
d
Distância
t
d
v
.
km/h m/s
x 3,6
Ex.3 - Um carro percorreu a distância de 540 km em 4 horas:
a) qual a velocidade média do carro?
b) no SI esta velocidade deve corresponder a?
Ex.4 - Se um carro faz um movimento de 85 km/h durante 2h30min, que distância
percorreu?
Ex.5 - Uma moto percorreu a distância de 645 km com uma velocidade média de 86
km/h. Qual o tempo gasto no percurso?
Ex.6 - Um automóvel foi de São Paulo a Ubatuba, passando por Taubaté. De São Paulo a
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 2
Taubaté ele rodou 130 km a uma velocidade média de 100 km/h. Os 100 km
restantes, até Ubatuba, foram feitos a 60 km/h. O tempo total da viagem foi de?
Exercícios
03. Um móvel percorreu a distância de 800 km em 16 horas. Qual sua velocidade média?
04. A Kombi da Larissa fez um movimento a 220 km/h durante 3 horas. Qual a distância
percorrida
05. Se um móvel percorre a distância de 200 km com velocidade média de 100 km/h, qual o
tempo gasto nessa viagem?
06. Se um veículo se deslocar com velocidade média de 90 km/h:
a) Quantos quilômetros irão percorrer em 1 hora?
b) Qual o valor desta velocidade no SI?
07. Um automóvel percorre 280m em 8 segundos:
a) Qual sua velocidade no SI?
b) Qual sua indicação no velocímetro?
08. Um ciclista percorreu 126 km na velocidade de 36 km/h. Quanto tempo gastou no percurso?
09. Um soldado marcha com velocidade de 8 km/h. Em 3h30min percorrerá quantos quilômetros?
10. Se um veículo se deslocar com uma velocidade média de 85 km/h, quantos quilômetros ele irá
percorrer em :
a) 1 hora b) 2 horas c) 2h 30 min
11. Um automóvel percorreu 630 km em 5 horas:
a) qual a velocidade média desse automóvel no percurso, em Km/h?
b) essa mesma velocidade no SI é?
12. A distância entre São Paulo e Brasília é de 1.150 km. Qual a velocidade média do ônibus que
faz esse percurso em:
a) 15h b) 12h 30 min
13. Transforme em m/s:
a) 162 Km/h b) 72 Km/h c) 126 Km/h
14. Transforme em Km/h:
a) 40 m/s b) 75 m/s c) 30 m/s
15. Um móvel percorreu 360m em 18s. Calcule sua velocidade em Km/h.
16. Um ciclista percorreu 43.200m em 4h. Calcule sua velocidade em m/s.
17. Em uma volta de 5000m, você desenvolveu uma velocidade média de 2500m/min. Qual foi o
tempo gasto no percurso?
18. Um ponto material percorreu a distância de 300m com velocidade média de 20m/s. Quanto
tempo gastou?
19. Um móvel percorreu 486 km com velocidade média de 45m/s. Em quantas horas transcorreu
este percurso?
20. Um motociclista percorre 600m na velocidade média de 72 km/h. Quantos segundos levam no
trajeto?
21. Um veículo desenvolve a velocidade média de 75m/s durante 3 horas. Quantos quilômetros
percorrerão?
22. Se o móvel anda a 40m/s, que distância percorrerá em 7 minutos?
RE2 – Escala
 
)
(cm
real
tamanho
cm
papel
no
tamanho
Escala 
Ex.7 – Num mapa feito na escala 1: 50 000 a distância entre duas cidades A e B é 3,4 cm.
Calcule a distância real entre as duas cidades em km.
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 3
Ex.8 – Na maquete de uma praça pública construída na escala 1:75, o edifício da
prefeitura, de 13,5m de altura, está representado com uma altura de?
Exercícios
23. Uma maquete foi construída na razão 1:40. Se a altura de um edifício na maquete for de 90
cm, qual é a altura real desse prédio?
24. Uma escala de 1: 50, qual o comprimento real, em metros, correspondente ao comprimento de
8 cm?
25. (Fuvest-06) No mapa a seguir a distância, em linha reta, entre as cidades de Araçatuba e
Campinas é de 1,5 cm. Na realidade, esta distância é de aproximadamente:
RE3 – Densidade do Corpo
)
(
)
(
3
cm
volume
g
massa
D 
RE4 – Densidade Demográfica
2
º
.
km
tes
tan
habi
de
n
a
Demográfic
Dens 
Gabarito:
01) 2:3, 02a) 3:5 02b) 3:2 03) 50 km/h, 04) 660km, 05) 2h, 06a) 90km, 06b) 25m/s, 07a) 35m/s,
07b) 126km/h, 08) 3h30min, 09) 28km, 10a) 85km, 10b) 170km, 10c) 212,5km, 11a) 126, 11b)
35m/s, 12a) 76 2/3km/h, 12b) 92km/h, 13a) 45, 13b) 20, 13c) 35, 14a) 144, 14b) 270, 14c) 108,
15) 72, 16) 3, 17) 2min, 18) 15s, 19) 3, 20) 30, 21) 810, 22) 16,8km, 23) 36m, 24) 4, 25) 375km.
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Razão e Proporção 4
04.2 – Proporção
Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção se e
somente se,
d
:
c
b
:
a
ou
d
c
b
a


Onde: a e c são antecedentes
b e d são conseqüentes
a e d são extremos
b e c são meios
d é a quarta proporcional
Lê-se: a esta para b assim como c está para d
Obs.: A igualdade entre duas razões é chamada de proporção.
Exemplo:
A igualdade
12
24
4
8
 é uma proporção porque as razões
12
24
4
8
e expressam o mesmo
quociente 2 (Constante ou mesma parte da unidade).
04.2.1 – Quarta proporcional
É o quarto número, de uma sucessão, que forma com os outros três números dados uma
proporção.
Exemplo: 15 é a quarta proporcional na seqüência 2, 5, 6, 15.
04.2.2 – Proporção contínua
E toda proporção em que seus meios são iguais.
c
b
b
a

Onde: b é média proporcional ou média geométrica dos extremos,
c é a terceira proporcional de a e b.
Exemplo:
Em
18
6
6
2
 , 6 é a média geométrica ou média proporcional entre 2 e 18 e 18 é a terceira
proporcional de 2 e 6.
Cálculo da Média Geométrica
É a raiz quadrada do produto dos dois números dados
c
a
b
c
a
b
então
c
b
b
a
Se .
.
2




Exemplo
04.2.3 – Propriedades
P1 - Propriedade fundamental
Ex.9 - Verificar se os números 2,5,6 e 15 formam nessa ordem, uma proporção.
Ex.10 - Calcule o valor de x na proporção 6,5,5, x. ( 3ª proporcional )
Ex.11 – Encontre o valor de x na proporção 1,6,5 e x . (4ª proporcional)
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 5
Exercícios
1. Verificar se os números formam nessa ordem, uma proporção:
a) 5, 3, 10 e 6 b) 9, 7, 18 e 21 c) 9, 8, 36 e 32
d) 7, 3, 35 e 15 e) 3, 2, 18 e 12 f) 7, 6, 49 e 42
g) 5, 2, 40 e 19 h) 81, 63, 7 e 9 i) 28, 9, 7 e 18
j) 81, 63, 9 e 7 l) 6, 7, 18 e 21 m) 5, 6, 55 e 66
2. Calcule o valor de x na proporção contínua. (média geométrica).
a) 2, x, x, 72 b) 4, x, x, 36 c) 8, x, x, 18
d) 16, x, x, 9 e) 3, x, x, 48 f) 6, x, x, 24
3. Calcule o valor da terceira proporcional (Proporção contínua).
a) 2, 12, x b) 4, 12, x c) 8, 12, x
d) 16, 12, x e) 3, 12, x f) 6, 12, x
g) 25, 5, 5, x h) 5, 25, 25, x i) 4, 16, 16, x
4. Encontre o valor da quarta proporcional (x).
a) 81, 63, 9, x b) 6, 7, 18, x c) 5, 6, 55, x
d) 3,5; 9; 7; x e) 28, 9, 56, x f) 5, 2, 40, x
g) 95, 5, 133, x h) 8, 9, 160, x i) 147, 7, 84, x
j) 160, 80, 180, x l) 225, 9,125, x m) 8, 96, 7, x
Ex.12 - Resolva
a)
6
18
4
x
 b)
2
1
1
x
2
x



(com x  -1) c)
x
/
/
/ 2
1
3
1
4
3

Exercícios
5. Resolva:
Ex.13 – (TTN/85) Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho
de sua sombra projetada ao solo. Sabendo-se que a pessoa tem 1,80m de altura e a
sombras do poste e da pessoa medem 2m e 60 cm, respectivamente, a altura do
poste é?
Exercícios
6. Resolva:
a) Se 7 homens em 100 são criminosos, quantos em 500 não são criminosos?
b) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5.
Nessas condições 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos
de água?
c) Numa receita de bolo, está escrito que são necessários 2 ovos para cada 0,5 Kg de farinha
utilizada. Quantos ovos serão necessários se forem utilizados 2 kg de farinha?
48
128
3
x
f
32
36
8
x
e
30
2
105
x
d
21
18
7
x
c
52
91
4
x
b
6
10
3
x
a 




 )
)
)
)
)
)
5
8
90
)
42
49
6
)
1
17
5
)
12
18
2
)
42
3
112
)
15
35
3
) 





x
m
x
l
x
j
x
i
x
h
x
g
7
0
5
2
)
1
3
3
7
)
3
5
2
4
)
8
1
5
2
)
5
4
2
3
)

















x
x
r
x
x
q
x
x
p
x
x
o
x
x
n
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 6
P2 - Soma ou subtração dos antecedentes e conseqüentes
Ex.14 - X + y = 21. Ex.15 - X/6 = y/5 e X – y = 15
X/y = 2/5
Exercícios
7. Resolva os sistemas:
Ex.16 - A soma de dois números é 24 e eles são proporcionais a 7 e 5. Quais são estes
números?
Ex.17 - Resolva a proporção X / 2 = Y / 3 =Z / 5, sabendo que x + y + z = 70.
Ex.18 - A mistura de tinta branca com tinta preta está na razão 2 para 3. Precisando de
30L dessa mistura, quantos litros de cada cor devemos ter:
Ex.19 - O perímetro de um retângulo é 28cm. A razão é de 3 para 4. Calcule as dimensões
desse retângulo.
Exercícios
8. A diferença entre dois números é 20. Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e 3,
determinar esses números.
9. A soma entre dois números é 30. Sabendo-se que eles são proporcionais a 3 e 2 , determinar
esses números.
10. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para
3. Se ele precisar de 24 L dessa mistura, quantos litros de cada cor ele irá utilizar?
11. Dois números serão entre si como 2 está para 1. Sabendo-se que a diferença entre eles é 40,
calcule os dois números.
12. Para fazer uma limonada misturamos suco de limão com água na proporção de 2 para 5.
Quantos litros de suco de limão e de água serão necessários para fazer 21 litros de limonada?
13. A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de alumínio é igual a
7/ 8. Calcule as massas de alumínio e de oxigênio, necessárias para formar 51g de óxido de
alumínio.
14. Determine dois números que têm por soma 51 e que estão na razão
9
8
.
15. Determine dois números cuja razão é
3
1
e cuja diferença é -12.
16. Em junho de 2006, Francis e Melissa pesam juntas 135 kg. Se o peso da Melissa é
14
13
do peso
de Francis, quanto pesa cada uma?
17. Determine as dimensões de um retângulo que tem perímetro 156 cm, sabendo que a razão
entre comprimento e a largura é
5
8
.


































































































6
2
3
)
5
6
11
)
9
8
20
)
9
7
18
)
2
7
75
)
3
8
70
)
3
7
50
)
8
9
68
)
7
6
39
)
3
5
16
)
5
8
234
)
4
7
143
)
y
x
y
x
m
y
x
y
x
l
P
B
P
B
j
B
A
B
A
i
B
A
B
A
h
y
x
y
x
g
y
x
y
x
f
y
x
y
x
e
y
x
y
x
d
y
x
y
x
c
y
x
y
x
b
y
x
y
x
a
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 7
18. Quando Francis, filha do Prof. Mário, nasceu, Vânia, também sua filha, tinha 6 anos. Em
2006, a razão da idade de Francis para a idade de Vânia é 0,75. Qual a idade de Francis?
19. Calcule a área de um retângulo que tem perímetro 102 m, sabendo que a razão entre sua
largura e seu comprimento é
9
8
.
20. Quando Francis nasceu, Melissa tinha 7 anos. Em 2006, a razão da idade de Francis para a
idade de Melissa é 0,72. Qual a idade de Francis?
P3 - Multiplicação dos antecedentes e conseqüentes
Ex. 20 – Resolva:







180
xy
5
y
4
x
a)








1008
C
B
A
3
C
7
B
6
A
b
.
.
)
Ex.21 - Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 6:5 e
que a área desse retângulo é 270 m ².
Exercícios
21. Resolva:







60
b
a
5
b
3
a
a
.
)







224
xy
7
y
2
x
b)







2560
B
A
5
B
8
A
c
.
)








3000
z
y
x
4
z
3
y
2
x
d
.
.
)








30870
C
B
A
6
C
3
B
5
A
e
.
.
)
22. Determine:
a) A e B na proporção A / 4 = B / 5, sabendo-se que A. B = 180.
b) Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 4:3 e que a
área desse retângulo é 48m².
23. O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m3. Calcular as arestas, sabendo-se que estas
são proporcionais aos números 3, 4 e 5.
04.3 – Números Diretamente Proporcionais
As sucessões ...)
,
,
,
( 1
1
1 c
b
a e ...)
,
,
,
( 2
2
2 c
b
a são diretamente proporcionais se e somente se,
k
...
c
c
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1




Onde: k é fator de proporcionalidade (Constante)
Ex.22 - Verificar se as seqüências (3,4,11) e (6,8,22) são dir. proporcionais.
Ex.23 - Os números 3,5, e 2 são diretamente proporcionais aos números 4,20 e 10?
Ex.24 - Os números a, b, 13 e 4 são diretamente proporcionais aos números 40, 24, 104 e c .
Nessas condições, determine os valores de a, b e c.
Ex.25 – A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a 2, 5, 3 e o
fator de proporcionalidade é 5. Calcule x, y e z.
Exercícios
24. Verificar se os números 4, 9 e 7 são diretamente proporcionais aos números 16, 36 e 28.
25. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72 e 128. Determine os
números x e y.
26. Os números 78, 39 e 117 são proporcionais aos números 6, 3 e 9?
27. Os números da sucessão 36, x, y são diretamente proporcionais aos números da sucessão
4,5,6. Calcule x e y.
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 8
28. Os números A, 9 e 3 são proporcionais aos números 2, B e 5. Quais são os valores de A e B?
29. A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e o fator
de proporcionalidade é 12. Calcule x, y e z.
04.3.1 – Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Ex.26 – Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 8.
Ex.27 - Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4.
Ex.28 - Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 10,15 e 30 e que
x + y = 180, qual o valor de z?
Exercícios
30. Vamos repartir 420 em três parcelas, que são diretamente proporcionais aos números 3,7 e 4.
Quais são as três parcelas?
31. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais
aos números 7 e 3. Quantos kg de cobre e quantos kg de zinco são necessários para obter 40
kg de latão?
32. Divida 252 em partes diretamente proporcionais a 6,7 e 8.
33. Repartir 720 em duas partes tais que a razão entre elas seja 0,6.
34. Decomponha 56 numa soma de duas parcelas de modo que a metade da primeira seja igual a
um quinto da segunda parcela.
35. Sabendo-se que A, B e C são diretamente proporcionais a 3,8 e 1 e que A + B = 165, qual o
valor de C?
36. Reparta 50 em três parcelas tais que sejam proporcionais a 2, 5 e 3.
37. Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 06, 03 e 09 e que x + y = 117, qual o
valor de z?
38. A diferença entre dois números é 12 e guardam entre si a proporção 6 para 4. Quais são esses
números?
39. Em 2006 o Prof. Mário precisa repartir R$ 603,00 entre suas filhas Melissa, 25 anos, Vânia,
24 anos e Francis, 18 anos, de modo que cada uma receba uma quantia proporcional à sua
idade. Como será feita a divisão?
40. Samara e David formaram uma sociedade. Samara entra com R$ 3.000,00 e David com R$
2.000,00. Conseguem obter na sociedade um lucro de R$ 6000,00. Quanto deve receber cada
um de lucro?
41. Dividir o número 270 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2,
3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente.
04.4 – Números Inversamente Proporcionais
As sucessões ...)
,
,
,
( 1
1
1 c
b
a e ...)
,
,
,
( 2
2
2 c
b
a são inversamente proporcionais se e somente se,
k(Cte)
...
)
c
(c
)
b
(b
)
a
(a
k
...
c
1
c
b
1
b
a
1
a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1














Ex.29 - Verificar se os números 3, 5 e 6 são inversamente proporcionais aos números
20, 12 e 10.
Ex.30 - Os números 6, 12 e 18 são inversamente proporcionais aos números 14, 7 e 4 ?
Ex.31 - Os números 4, 14, e 10, são inversamente proporcionais aos números x, y e 25.
Nessas condições, encontre x e y.
___________________________________________________________ _ Prof. Mário
Razão e Proporção 9
Exercícios
42. Os números 6, 12 e 18 são inversamente proporcionais aos números 14, 7 e 4?
43. Os números 1,5; 2 e 2,4 são inversamente proporcionais aos números 4 ; 3 e 2,5?
44. Quais devem ser os valores dos números x e y para que os números 3, 12 e y sejam
inversamente proporcionais aos números x , 30 e 10?
45. Sabendo-se que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos da
sucessão 15, 6, 5, calcule x e y.
46. Os números a, b e 6 são inversamente proporcionais aos números 3, 2 e 5. Quanto vale a e b?
04.4.1 – Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Ex.32 - Repartir o número 144 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e
12.
Ex.33 - Repartir o valor 33 em partes inversamente proporcionais aos números 1/3 e 1/8.
Ex.34 - Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4, e inversamente
proporcionais a 2 e 3.
Exercícios
47. Vamos repartir 380 em parcelas que são inversamente proporcionais aos números 2,5 e 4.
Quais são essas parcelas?
48. Divida 31 em partes inversamente proporcionais a 3, 2 e 5.
49. Divida 222 em parcelas que sejam diretamente proporcionais a 2, 1 e 7, e inversamente
proporcionais a 3, 5 e 9 respectivamente.
50. Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 1,
2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente.
Gabarito:
01- a) sim, b) não, c) sim, d) sim, e) sim, f) sim, g) não, h) não, i) não j) sim l) sim m) sim. 02- de
a até f resposta 12. 03- a) 72, b) 36, c) 18, d) 9, e) 48, f) 24, g) 1, h) 125, i) 64. 04- a) 7, b) 21,
c) 66, d) 18, e) 18, f) 16, g) 7, h) 180, i) 4, j) 90, l) 5, m) 84. 05- a) 5, b) 7, c) 6, d) 7, e)9, f) 8,
g) 7, h) 8, i) 3, j) 85, l) 7, m) 144, n) –7, o) 3, p) –1, q) 4, r) –2. 06- a) 465, b) 15, c) 8.
07- a) x =91, y =52, b) x =144, y =90, c) x =10, y =6, d) x =18, y =21, e) x =36, y =32, f) x =35,
y =15, g) x =112, y =42, h) A =105, B =30, i) A =63, B =81, j) B =160, P =180, l) x =66, y =55,
m) x =18, y =12. 08- 80 e 60. 09- 18 e 12. 10- B =15 l e C =9 l. 11- 80 e 40. 12- 6 l de suco de
limão e 15 l de H2O. 13- 23,8g de Al e 27,2g de O. 14- 24 e 27. 15- 6 e 18. 16- Melissa tem 65
kg e Francis 70 kg. 17- 48 cm por 30 cm. 18- 18 anos. 19- 648 m2. 20- 18 anos. 21- a) a =6,
b =10 b) x =8, y =28 c) A = 64, B =40 d) x =10, y =15, z =20 e) A =35, B =21, C = 42.
22- a) A=12, B=15 b) 8m e 6m. 23- 15,12 e 9. 24- sim. 25- x=10, y=18. 26- sim. 27- x=45,
y=54. 28- 6 e 3. 29- x=72, y=84,z=96. 30- 90, 210 e 120. 31- Cu = 28kg, Zn = 12 kg. 32- 72,
84, 96. 33- 270 e 450. 34- 16 e 40. 35- 15. 36- 10, 25 e 15. 37- 117. 38- 36 e 24.
39- M=225,00; V=216,00 e F 162,00. 40- Sâmara R$ 3600,00 e David R$ 2400,00 41- 80,90 e
100 42- não. 43- sim. 44- x =120,y =36. 45- x=5, y=6. 46- 10 e 15 respectivamente. 47- 200,
80 e 100. 48- 10, 15 e 6. 49- 90, 27 e 105 50- 180, 240 e 270.

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Razão e Proporção

  • 1. EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA Prof. Mário e-mail: marioffer@yahoo.com.br 04 – Razão e Proporção 04.1 – Razão É a comparação entre duas grandezas, de mesma espécie, da forma b a ou b a : com b ≠ 0 Onde: a = antecedente b = conseqüente Lê-se: a está para b 04.1.1 – Razão Inversa 04.1.2 – Propriedade Podemos multiplicar ou dividir ambos os termos de uma razão, por um mesmo número diferente de zero, que esta não se altera. ) 0 ( : : . .          k k b k a k b k a b a Ex.1 - Qual razão entre as idades de Francis (14 anos) e Melissa (21 anos)? Ex.2 - Na prova de Matemática de Samara, a razão do número de questões certas para o número total de questões foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de 16 questões, quantas questões Samara acertou? Exercícios 01. Determinar a razão de 48 para 72. 02. Numa partida de basquete, Francis fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nestas condições: a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Francis? b) Qual a razão entre o número de arremessos que Francis acertou e o número de arremessos que ela errou? 04.1.3 - Razões Especiais RE1 – Velocidade : 3,6           v d t Tempo t v d Distância t d v . km/h m/s x 3,6 Ex.3 - Um carro percorreu a distância de 540 km em 4 horas: a) qual a velocidade média do carro? b) no SI esta velocidade deve corresponder a? Ex.4 - Se um carro faz um movimento de 85 km/h durante 2h30min, que distância percorreu? Ex.5 - Uma moto percorreu a distância de 645 km com uma velocidade média de 86 km/h. Qual o tempo gasto no percurso? Ex.6 - Um automóvel foi de São Paulo a Ubatuba, passando por Taubaté. De São Paulo a
  • 2. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 2 Taubaté ele rodou 130 km a uma velocidade média de 100 km/h. Os 100 km restantes, até Ubatuba, foram feitos a 60 km/h. O tempo total da viagem foi de? Exercícios 03. Um móvel percorreu a distância de 800 km em 16 horas. Qual sua velocidade média? 04. A Kombi da Larissa fez um movimento a 220 km/h durante 3 horas. Qual a distância percorrida 05. Se um móvel percorre a distância de 200 km com velocidade média de 100 km/h, qual o tempo gasto nessa viagem? 06. Se um veículo se deslocar com velocidade média de 90 km/h: a) Quantos quilômetros irão percorrer em 1 hora? b) Qual o valor desta velocidade no SI? 07. Um automóvel percorre 280m em 8 segundos: a) Qual sua velocidade no SI? b) Qual sua indicação no velocímetro? 08. Um ciclista percorreu 126 km na velocidade de 36 km/h. Quanto tempo gastou no percurso? 09. Um soldado marcha com velocidade de 8 km/h. Em 3h30min percorrerá quantos quilômetros? 10. Se um veículo se deslocar com uma velocidade média de 85 km/h, quantos quilômetros ele irá percorrer em : a) 1 hora b) 2 horas c) 2h 30 min 11. Um automóvel percorreu 630 km em 5 horas: a) qual a velocidade média desse automóvel no percurso, em Km/h? b) essa mesma velocidade no SI é? 12. A distância entre São Paulo e Brasília é de 1.150 km. Qual a velocidade média do ônibus que faz esse percurso em: a) 15h b) 12h 30 min 13. Transforme em m/s: a) 162 Km/h b) 72 Km/h c) 126 Km/h 14. Transforme em Km/h: a) 40 m/s b) 75 m/s c) 30 m/s 15. Um móvel percorreu 360m em 18s. Calcule sua velocidade em Km/h. 16. Um ciclista percorreu 43.200m em 4h. Calcule sua velocidade em m/s. 17. Em uma volta de 5000m, você desenvolveu uma velocidade média de 2500m/min. Qual foi o tempo gasto no percurso? 18. Um ponto material percorreu a distância de 300m com velocidade média de 20m/s. Quanto tempo gastou? 19. Um móvel percorreu 486 km com velocidade média de 45m/s. Em quantas horas transcorreu este percurso? 20. Um motociclista percorre 600m na velocidade média de 72 km/h. Quantos segundos levam no trajeto? 21. Um veículo desenvolve a velocidade média de 75m/s durante 3 horas. Quantos quilômetros percorrerão? 22. Se o móvel anda a 40m/s, que distância percorrerá em 7 minutos? RE2 – Escala   ) (cm real tamanho cm papel no tamanho Escala  Ex.7 – Num mapa feito na escala 1: 50 000 a distância entre duas cidades A e B é 3,4 cm. Calcule a distância real entre as duas cidades em km.
  • 3. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 3 Ex.8 – Na maquete de uma praça pública construída na escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5m de altura, está representado com uma altura de? Exercícios 23. Uma maquete foi construída na razão 1:40. Se a altura de um edifício na maquete for de 90 cm, qual é a altura real desse prédio? 24. Uma escala de 1: 50, qual o comprimento real, em metros, correspondente ao comprimento de 8 cm? 25. (Fuvest-06) No mapa a seguir a distância, em linha reta, entre as cidades de Araçatuba e Campinas é de 1,5 cm. Na realidade, esta distância é de aproximadamente: RE3 – Densidade do Corpo ) ( ) ( 3 cm volume g massa D  RE4 – Densidade Demográfica 2 º . km tes tan habi de n a Demográfic Dens  Gabarito: 01) 2:3, 02a) 3:5 02b) 3:2 03) 50 km/h, 04) 660km, 05) 2h, 06a) 90km, 06b) 25m/s, 07a) 35m/s, 07b) 126km/h, 08) 3h30min, 09) 28km, 10a) 85km, 10b) 170km, 10c) 212,5km, 11a) 126, 11b) 35m/s, 12a) 76 2/3km/h, 12b) 92km/h, 13a) 45, 13b) 20, 13c) 35, 14a) 144, 14b) 270, 14c) 108, 15) 72, 16) 3, 17) 2min, 18) 15s, 19) 3, 20) 30, 21) 810, 22) 16,8km, 23) 36m, 24) 4, 25) 375km.
  • 4. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 4 04.2 – Proporção Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção se e somente se, d : c b : a ou d c b a   Onde: a e c são antecedentes b e d são conseqüentes a e d são extremos b e c são meios d é a quarta proporcional Lê-se: a esta para b assim como c está para d Obs.: A igualdade entre duas razões é chamada de proporção. Exemplo: A igualdade 12 24 4 8  é uma proporção porque as razões 12 24 4 8 e expressam o mesmo quociente 2 (Constante ou mesma parte da unidade). 04.2.1 – Quarta proporcional É o quarto número, de uma sucessão, que forma com os outros três números dados uma proporção. Exemplo: 15 é a quarta proporcional na seqüência 2, 5, 6, 15. 04.2.2 – Proporção contínua E toda proporção em que seus meios são iguais. c b b a  Onde: b é média proporcional ou média geométrica dos extremos, c é a terceira proporcional de a e b. Exemplo: Em 18 6 6 2  , 6 é a média geométrica ou média proporcional entre 2 e 18 e 18 é a terceira proporcional de 2 e 6. Cálculo da Média Geométrica É a raiz quadrada do produto dos dois números dados c a b c a b então c b b a Se . . 2     Exemplo 04.2.3 – Propriedades P1 - Propriedade fundamental Ex.9 - Verificar se os números 2,5,6 e 15 formam nessa ordem, uma proporção. Ex.10 - Calcule o valor de x na proporção 6,5,5, x. ( 3ª proporcional ) Ex.11 – Encontre o valor de x na proporção 1,6,5 e x . (4ª proporcional)
  • 5. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 5 Exercícios 1. Verificar se os números formam nessa ordem, uma proporção: a) 5, 3, 10 e 6 b) 9, 7, 18 e 21 c) 9, 8, 36 e 32 d) 7, 3, 35 e 15 e) 3, 2, 18 e 12 f) 7, 6, 49 e 42 g) 5, 2, 40 e 19 h) 81, 63, 7 e 9 i) 28, 9, 7 e 18 j) 81, 63, 9 e 7 l) 6, 7, 18 e 21 m) 5, 6, 55 e 66 2. Calcule o valor de x na proporção contínua. (média geométrica). a) 2, x, x, 72 b) 4, x, x, 36 c) 8, x, x, 18 d) 16, x, x, 9 e) 3, x, x, 48 f) 6, x, x, 24 3. Calcule o valor da terceira proporcional (Proporção contínua). a) 2, 12, x b) 4, 12, x c) 8, 12, x d) 16, 12, x e) 3, 12, x f) 6, 12, x g) 25, 5, 5, x h) 5, 25, 25, x i) 4, 16, 16, x 4. Encontre o valor da quarta proporcional (x). a) 81, 63, 9, x b) 6, 7, 18, x c) 5, 6, 55, x d) 3,5; 9; 7; x e) 28, 9, 56, x f) 5, 2, 40, x g) 95, 5, 133, x h) 8, 9, 160, x i) 147, 7, 84, x j) 160, 80, 180, x l) 225, 9,125, x m) 8, 96, 7, x Ex.12 - Resolva a) 6 18 4 x  b) 2 1 1 x 2 x    (com x  -1) c) x / / / 2 1 3 1 4 3  Exercícios 5. Resolva: Ex.13 – (TTN/85) Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada ao solo. Sabendo-se que a pessoa tem 1,80m de altura e a sombras do poste e da pessoa medem 2m e 60 cm, respectivamente, a altura do poste é? Exercícios 6. Resolva: a) Se 7 homens em 100 são criminosos, quantos em 500 não são criminosos? b) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas condições 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de água? c) Numa receita de bolo, está escrito que são necessários 2 ovos para cada 0,5 Kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários se forem utilizados 2 kg de farinha? 48 128 3 x f 32 36 8 x e 30 2 105 x d 21 18 7 x c 52 91 4 x b 6 10 3 x a       ) ) ) ) ) ) 5 8 90 ) 42 49 6 ) 1 17 5 ) 12 18 2 ) 42 3 112 ) 15 35 3 )       x m x l x j x i x h x g 7 0 5 2 ) 1 3 3 7 ) 3 5 2 4 ) 8 1 5 2 ) 5 4 2 3 )                  x x r x x q x x p x x o x x n
  • 6. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 6 P2 - Soma ou subtração dos antecedentes e conseqüentes Ex.14 - X + y = 21. Ex.15 - X/6 = y/5 e X – y = 15 X/y = 2/5 Exercícios 7. Resolva os sistemas: Ex.16 - A soma de dois números é 24 e eles são proporcionais a 7 e 5. Quais são estes números? Ex.17 - Resolva a proporção X / 2 = Y / 3 =Z / 5, sabendo que x + y + z = 70. Ex.18 - A mistura de tinta branca com tinta preta está na razão 2 para 3. Precisando de 30L dessa mistura, quantos litros de cada cor devemos ter: Ex.19 - O perímetro de um retângulo é 28cm. A razão é de 3 para 4. Calcule as dimensões desse retângulo. Exercícios 8. A diferença entre dois números é 20. Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e 3, determinar esses números. 9. A soma entre dois números é 30. Sabendo-se que eles são proporcionais a 3 e 2 , determinar esses números. 10. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele precisar de 24 L dessa mistura, quantos litros de cada cor ele irá utilizar? 11. Dois números serão entre si como 2 está para 1. Sabendo-se que a diferença entre eles é 40, calcule os dois números. 12. Para fazer uma limonada misturamos suco de limão com água na proporção de 2 para 5. Quantos litros de suco de limão e de água serão necessários para fazer 21 litros de limonada? 13. A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de alumínio é igual a 7/ 8. Calcule as massas de alumínio e de oxigênio, necessárias para formar 51g de óxido de alumínio. 14. Determine dois números que têm por soma 51 e que estão na razão 9 8 . 15. Determine dois números cuja razão é 3 1 e cuja diferença é -12. 16. Em junho de 2006, Francis e Melissa pesam juntas 135 kg. Se o peso da Melissa é 14 13 do peso de Francis, quanto pesa cada uma? 17. Determine as dimensões de um retângulo que tem perímetro 156 cm, sabendo que a razão entre comprimento e a largura é 5 8 .                                                                                                   6 2 3 ) 5 6 11 ) 9 8 20 ) 9 7 18 ) 2 7 75 ) 3 8 70 ) 3 7 50 ) 8 9 68 ) 7 6 39 ) 3 5 16 ) 5 8 234 ) 4 7 143 ) y x y x m y x y x l P B P B j B A B A i B A B A h y x y x g y x y x f y x y x e y x y x d y x y x c y x y x b y x y x a
  • 7. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 7 18. Quando Francis, filha do Prof. Mário, nasceu, Vânia, também sua filha, tinha 6 anos. Em 2006, a razão da idade de Francis para a idade de Vânia é 0,75. Qual a idade de Francis? 19. Calcule a área de um retângulo que tem perímetro 102 m, sabendo que a razão entre sua largura e seu comprimento é 9 8 . 20. Quando Francis nasceu, Melissa tinha 7 anos. Em 2006, a razão da idade de Francis para a idade de Melissa é 0,72. Qual a idade de Francis? P3 - Multiplicação dos antecedentes e conseqüentes Ex. 20 – Resolva:        180 xy 5 y 4 x a)         1008 C B A 3 C 7 B 6 A b . . ) Ex.21 - Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 6:5 e que a área desse retângulo é 270 m ². Exercícios 21. Resolva:        60 b a 5 b 3 a a . )        224 xy 7 y 2 x b)        2560 B A 5 B 8 A c . )         3000 z y x 4 z 3 y 2 x d . . )         30870 C B A 6 C 3 B 5 A e . . ) 22. Determine: a) A e B na proporção A / 4 = B / 5, sabendo-se que A. B = 180. b) Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 4:3 e que a área desse retângulo é 48m². 23. O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m3. Calcular as arestas, sabendo-se que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5. 04.3 – Números Diretamente Proporcionais As sucessões ...) , , , ( 1 1 1 c b a e ...) , , , ( 2 2 2 c b a são diretamente proporcionais se e somente se, k ... c c b b a a 2 1 2 1 2 1     Onde: k é fator de proporcionalidade (Constante) Ex.22 - Verificar se as seqüências (3,4,11) e (6,8,22) são dir. proporcionais. Ex.23 - Os números 3,5, e 2 são diretamente proporcionais aos números 4,20 e 10? Ex.24 - Os números a, b, 13 e 4 são diretamente proporcionais aos números 40, 24, 104 e c . Nessas condições, determine os valores de a, b e c. Ex.25 – A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a 2, 5, 3 e o fator de proporcionalidade é 5. Calcule x, y e z. Exercícios 24. Verificar se os números 4, 9 e 7 são diretamente proporcionais aos números 16, 36 e 28. 25. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72 e 128. Determine os números x e y. 26. Os números 78, 39 e 117 são proporcionais aos números 6, 3 e 9? 27. Os números da sucessão 36, x, y são diretamente proporcionais aos números da sucessão 4,5,6. Calcule x e y.
  • 8. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 8 28. Os números A, 9 e 3 são proporcionais aos números 2, B e 5. Quais são os valores de A e B? 29. A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e o fator de proporcionalidade é 12. Calcule x, y e z. 04.3.1 – Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Ex.26 – Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 8. Ex.27 - Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4. Ex.28 - Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 10,15 e 30 e que x + y = 180, qual o valor de z? Exercícios 30. Vamos repartir 420 em três parcelas, que são diretamente proporcionais aos números 3,7 e 4. Quais são as três parcelas? 31. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos números 7 e 3. Quantos kg de cobre e quantos kg de zinco são necessários para obter 40 kg de latão? 32. Divida 252 em partes diretamente proporcionais a 6,7 e 8. 33. Repartir 720 em duas partes tais que a razão entre elas seja 0,6. 34. Decomponha 56 numa soma de duas parcelas de modo que a metade da primeira seja igual a um quinto da segunda parcela. 35. Sabendo-se que A, B e C são diretamente proporcionais a 3,8 e 1 e que A + B = 165, qual o valor de C? 36. Reparta 50 em três parcelas tais que sejam proporcionais a 2, 5 e 3. 37. Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 06, 03 e 09 e que x + y = 117, qual o valor de z? 38. A diferença entre dois números é 12 e guardam entre si a proporção 6 para 4. Quais são esses números? 39. Em 2006 o Prof. Mário precisa repartir R$ 603,00 entre suas filhas Melissa, 25 anos, Vânia, 24 anos e Francis, 18 anos, de modo que cada uma receba uma quantia proporcional à sua idade. Como será feita a divisão? 40. Samara e David formaram uma sociedade. Samara entra com R$ 3.000,00 e David com R$ 2.000,00. Conseguem obter na sociedade um lucro de R$ 6000,00. Quanto deve receber cada um de lucro? 41. Dividir o número 270 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente. 04.4 – Números Inversamente Proporcionais As sucessões ...) , , , ( 1 1 1 c b a e ...) , , , ( 2 2 2 c b a são inversamente proporcionais se e somente se, k(Cte) ... ) c (c ) b (b ) a (a k ... c 1 c b 1 b a 1 a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1               Ex.29 - Verificar se os números 3, 5 e 6 são inversamente proporcionais aos números 20, 12 e 10. Ex.30 - Os números 6, 12 e 18 são inversamente proporcionais aos números 14, 7 e 4 ? Ex.31 - Os números 4, 14, e 10, são inversamente proporcionais aos números x, y e 25. Nessas condições, encontre x e y.
  • 9. ___________________________________________________________ _ Prof. Mário Razão e Proporção 9 Exercícios 42. Os números 6, 12 e 18 são inversamente proporcionais aos números 14, 7 e 4? 43. Os números 1,5; 2 e 2,4 são inversamente proporcionais aos números 4 ; 3 e 2,5? 44. Quais devem ser os valores dos números x e y para que os números 3, 12 e y sejam inversamente proporcionais aos números x , 30 e 10? 45. Sabendo-se que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos da sucessão 15, 6, 5, calcule x e y. 46. Os números a, b e 6 são inversamente proporcionais aos números 3, 2 e 5. Quanto vale a e b? 04.4.1 – Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Ex.32 - Repartir o número 144 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. Ex.33 - Repartir o valor 33 em partes inversamente proporcionais aos números 1/3 e 1/8. Ex.34 - Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4, e inversamente proporcionais a 2 e 3. Exercícios 47. Vamos repartir 380 em parcelas que são inversamente proporcionais aos números 2,5 e 4. Quais são essas parcelas? 48. Divida 31 em partes inversamente proporcionais a 3, 2 e 5. 49. Divida 222 em parcelas que sejam diretamente proporcionais a 2, 1 e 7, e inversamente proporcionais a 3, 5 e 9 respectivamente. 50. Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente. Gabarito: 01- a) sim, b) não, c) sim, d) sim, e) sim, f) sim, g) não, h) não, i) não j) sim l) sim m) sim. 02- de a até f resposta 12. 03- a) 72, b) 36, c) 18, d) 9, e) 48, f) 24, g) 1, h) 125, i) 64. 04- a) 7, b) 21, c) 66, d) 18, e) 18, f) 16, g) 7, h) 180, i) 4, j) 90, l) 5, m) 84. 05- a) 5, b) 7, c) 6, d) 7, e)9, f) 8, g) 7, h) 8, i) 3, j) 85, l) 7, m) 144, n) –7, o) 3, p) –1, q) 4, r) –2. 06- a) 465, b) 15, c) 8. 07- a) x =91, y =52, b) x =144, y =90, c) x =10, y =6, d) x =18, y =21, e) x =36, y =32, f) x =35, y =15, g) x =112, y =42, h) A =105, B =30, i) A =63, B =81, j) B =160, P =180, l) x =66, y =55, m) x =18, y =12. 08- 80 e 60. 09- 18 e 12. 10- B =15 l e C =9 l. 11- 80 e 40. 12- 6 l de suco de limão e 15 l de H2O. 13- 23,8g de Al e 27,2g de O. 14- 24 e 27. 15- 6 e 18. 16- Melissa tem 65 kg e Francis 70 kg. 17- 48 cm por 30 cm. 18- 18 anos. 19- 648 m2. 20- 18 anos. 21- a) a =6, b =10 b) x =8, y =28 c) A = 64, B =40 d) x =10, y =15, z =20 e) A =35, B =21, C = 42. 22- a) A=12, B=15 b) 8m e 6m. 23- 15,12 e 9. 24- sim. 25- x=10, y=18. 26- sim. 27- x=45, y=54. 28- 6 e 3. 29- x=72, y=84,z=96. 30- 90, 210 e 120. 31- Cu = 28kg, Zn = 12 kg. 32- 72, 84, 96. 33- 270 e 450. 34- 16 e 40. 35- 15. 36- 10, 25 e 15. 37- 117. 38- 36 e 24. 39- M=225,00; V=216,00 e F 162,00. 40- Sâmara R$ 3600,00 e David R$ 2400,00 41- 80,90 e 100 42- não. 43- sim. 44- x =120,y =36. 45- x=5, y=6. 46- 10 e 15 respectivamente. 47- 200, 80 e 100. 48- 10, 15 e 6. 49- 90, 27 e 105 50- 180, 240 e 270.