El documento presenta dos problemas de cálculo numérico. El primero involucra calcular el error absoluto y relativo entre el número estimado y real de personas que asistieron a un concierto. El segundo utiliza el método de bisección para aproximar la raíz de una ecuación polinómica entre 1 y 3.2 en múltiples iteraciones.

1. Universidad Tecnológica de México
PROGRAMAS DE INGENIERÍA
METODOS NUMERICOS

2. 1. Se asumió que 2300 personas asistirían a un concierto de Rock, sin embargo, el número de personas exactas que fue al concierto fueron 1500.
Calcula el error absoluto y el error relativo de este evento
 Calculando error absoluto
𝐸𝑝 = |𝑝 − 𝑝̂|
Sustituyendo valores y simplificando
𝐸𝑝 = |2300 − 1500|
𝐸𝑝 = |800| = 800
Error absoluto = 800
𝐸𝑝 =
|𝑝 − 𝑝̂|
|𝑝|
∗ 100
Sustituyendo valores y simplificando
 Calculando error relativo
𝐸𝑝 =
|2300 − 1500|
|1500|
∗ 100
𝐸𝑝 =
|800|
|1500|
∗ 100 =
800
1500
∗ 100
𝐸𝑝 = 0.5333 ∗ 100 = 53.33%
Error relativo = 53.33%
2. Resuelve por los métodos de bisección la ecuación

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 7𝑥2
+ 14𝑥 − 6 en un intervalo [1, 3.2]
n (an) límite inferior (bn) límite superior (cn) punto medio f(an) f(bn) f(cn) f(an) * f(cn) f(bn) * f(cn)
0 1.000000000000 3.200000000000 2.100000000000 2.00000000000
-
0.11200000000 1.79100000000 3.582 -0.200592
1 2.100000000000 3.200000000000 2.650000000000 1.79100000000
-
0.11200000000 0.55212500000 0.988855875 -0.061838
2 2.650000000000 3.200000000000 2.925000000000 0.55212500000
-
0.11200000000 0.08582812500 0.047387854 -0.00961275
3 2.925000000000 3.200000000000 3.062500000000 0.08582812500
-
0.11200000000
-
0.05444335938
-
0.004672771 0.006097656
4 2.925000000000 3.062500000000 2.993750000000 0.08582812500
-
0.05444335938 0.00632788086 0.00054311
-
0.000344511
5 2.993750000000 3.062500000000 3.028125000000 0.00632788086
-
0.05444335938
-
0.02652072144 -0.00016782 0.001443877
6 2.993750000000 3.028125000000 3.010937500000 0.00632788086
-
0.02652072144
-
0.01069693375 -6.76889E-05 0.00028369
7 2.993750000000 3.010937500000 3.002343750000 0.00632788086
-
0.01069693375
-
0.00233275080 -1.47614E-05 2.49533E-05
8 2.993750000000 3.002343750000 2.998046875000 0.00632788086
-
0.00233275080 0.00196074694 1.24074E-05 -4.57393E-06
9 2.998046875000 3.002343750000 3.000195312500 0.00196074694
-
0.00233275080
-
0.00019523620 -3.82809E-07 4.55437E-07
10 2.998046875000 3.000195312500 2.999121093750 0.00196074694
-
0.00019523620 0.00088045052 1.72634E-06 -1.71896E-07
11 2.999121093750 3.000195312500 2.999658203125 0.00088045052
-
0.00019523620 0.00034203049 3.01141E-07 -6.67767E-08
12 2.999658203125 3.000195312500 2.999926757813 0.00034203049
-
0.00019523620 0.00007325292 2.50547E-08 -1.43016E-08
13 2.999926757813 3.000195312500 3.000061035156 0.00007325292
-
0.00019523620
-
0.00006102771 -4.47046E-09 1.19148E-08

4. 14 2.999926757813 3.000061035156 2.999993896484 0.00007325292
-
0.00006102771 0.00000610359 4.47106E-10 -3.72488E-10
15 2.999993896484 3.000061035156 3.000027465820 0.00000610359
-
0.00006102771
-
0.00002746431 -1.67631E-10 1.67608E-09
16 2.999993896484 3.000027465820 3.000010681152 0.00000610359
-
0.00002746431
-
0.00001068092 -6.5192E-11 2.93344E-10
17 2.999993896484 3.000010681152 3.000002288818 0.00000610359
-
0.00001068092
-
0.00000228881 -1.39699E-11 2.44466E-11
18 2.999993896484 3.000002288818 2.999998092651 0.00000610359
-
0.00000228881 0.00000190736 1.16417E-11 -4.36557E-12
19 2.999998092651 3.000002288818 3.000000190735 0.00000190736
-
0.00000228881
-
0.00000019073 -3.63799E-13 4.36555E-13
20 2.999998092651 3.000000190735 2.999999141693 0.00000190736
-
0.00000019073 0.00000085831 1.6371E-12 -1.63709E-13
21 2.999999141693 3.000000190735 2.999999666214 0.00000085831
-
0.00000019073 0.00000033379 2.86492E-13 -6.36646E-14
22 2.999999666214 3.000000190735 2.999999928474 0.00000033379
-
0.00000019073 0.00000007153 2.38743E-14 -1.36424E-14
23 2.999999928474 3.000000190735 3.000000059605 0.00000007153
-
0.00000019073
-
0.00000005960 -4.26326E-15 1.13687E-14
24 2.999999928474 3.000000059605 2.999999994040 0.00000007153
-
0.00000005960 0.00000000596 4.26326E-16 -3.55272E-16
25 2.999999994040 3.000000059605 3.000000026822 0.00000000596
-
0.00000005960
-
0.00000002682 -1.59872E-16 1.59872E-15
26 2.999999994040 3.000000026822 3.000000010431 0.00000000596
-
0.00000002682
-
0.00000001043 -6.21726E-17 2.79776E-16
27 2.999999994040 3.000000010431 3.000000002235 0.00000000596
-
0.00000001043
-
0.00000000224 -1.33227E-17 2.33148E-17
28 2.999999994040 3.000000002235 2.999999998137 0.00000000596
-
0.00000000224 0.00000000186 1.11022E-17 -4.16334E-18
29 2.999999998137 3.000000002235 3.000000000186 0.00000000186
-
0.00000000224
-
0.00000000019 -3.46951E-19 4.16345E-19

5. 30 2.999999998137 3.000000000186 2.999999999162 0.00000000186
-
0.00000000019 0.00000000084 1.56126E-18 -1.5613E-19
31 2.999999999162 3.000000000186 2.999999999674 0.00000000084
-
0.00000000019 0.00000000033 2.73215E-19 -6.07151E-20
32 2.999999999674 3.000000000186 2.999999999930 0.00000000033
-
0.00000000019 0.00000000007 2.2769E-20 -1.30115E-20
33 2.999999999930 3.000000000186 3.000000000058 0.00000000007
-
0.00000000019
-
0.00000000006 -4.06601E-21 1.08423E-20
34 2.999999999930 3.000000000058 2.999999999994 0.00000000007
-
0.00000000006 0.00000000001 4.06005E-22 -3.38317E-22
35 2.999999999994 3.000000000058 3.000000000026 0.00000000001
-
0.00000000006
-
0.00000000003 -1.52267E-22 1.52491E-21
36 2.999999999994 3.000000000026 3.000000000010 0.00000000001
-
0.00000000003
-
0.00000000001 -5.91807E-23 2.66747E-22
37 2.999999999994 3.000000000010 3.000000000002 0.00000000001
-
0.00000000001 0.00000000000 -1.26373E-23 2.21385E-23
38 2.999999999994 3.000000000002 2.999999999998 0.00000000001 0.00000000000 0.00000000000 1.05311E-23 -3.93951E-24
39 2.999999999998 3.000000000002 3.000000000000 0.00000000000 0.00000000000 0.00000000000 -3.21855E-25 3.86226E-25
40 2.999999999998 3.000000000000 2.999999999999 0.00000000000 0.00000000000 0.00000000000 1.46766E-24 -1.43888E-25
41 2.999999999999 3.000000000000 3.000000000000 0.00000000000 0.00000000000 0.00000000000 2.64754E-25 -5.80602E-26
42 3.000000000000 3.000000000000 3.000000000000 0.00000000000 0.00000000000 0.00000000000 2.32241E-26 -1.26218E-26
Aproximación de raíz es 3 con una exactitud de 0.00000
3. Utilizando el método de Newton-Raphson (comúnmente llamado Newton), aproximar la solución de la ecuación considerando los siguientes

6. 𝑥0 = 0, 𝑥0 =2, 𝑥0 = 4 (son 3 casos diferentes, para encontrar tres raíces diferentes)
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 7𝑥2
+ 14𝑥 − 6
Calculando derivada
𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 14𝑥 + 14
Para 𝑥0 = 0
n Xn ƒ(Xn) ƒ'(Xn) Xn+1
0 0.000000000000 -6.00000000000 206.00000000000 0.02912621359
1 0.029126213592 -5.59814665511 186.39179108797 0.05916051190
2 0.059160511897 -5.19604553683 167.74130517788 0.09013705361
3 0.090137053610 -4.79422173302 150.07279033824 0.12208302944
4 0.122083029441 -4.39334789242 133.41138760519 0.15501386069
5 0.155013860694 -3.99428615524 117.78297184321 0.18892611552
6 0.188926115519 -3.59814256820 103.21388577799 0.22378714745
7 0.223787147454 -3.20633733304 89.73051994229 0.25952011027
8 0.259520110275 -2.82069441173 77.35867265725 0.29598265953
9 0.295982659526 -2.44355313146 66.12259955933 0.33293754557
10 0.332937545567 -2.07790096243 56.04363070313 0.37001403287
11 0.370014032874 -1.72751746791 47.13819435646 0.40666196756
12 0.406661967559 -1.39709884692 39.41503942104 0.44210779908
13 0.442107799085 -1.09229187130 32.87139079458 0.47533705544
14 0.475337055435 -0.81949825647 27.48770776769 0.50515031827
15 0.505150318272 -0.58523078855 23.22071626737 0.53035327850
16 0.530353278500 -0.39480139483 19.99482395170 0.55009845834
17 0.550098458342 -0.25041541336 17.69393942481 0.56425106774
18 0.564251067738 -0.14949408217 16.15996259217 0.57350196057
19 0.573501960574 -0.08467666855 15.20698377423 0.57907023564

7. 20 0.579070235638 -0.04609788052 14.65174537099 0.58221647381
21 0.582216473806 -0.02444409886 14.34400992600 0.58392060668
22 0.583920606680 -0.01275894848 14.17911365099 0.58482044773
23 0.584820447728 -0.00660108463 14.09254590779 0.58528885739
24 0.585288857387 -0.00339898853 14.04762049884 0.58553081926
25 0.585530819258 -0.00174581398 14.02445053932 0.58565530285
26 0.585655302850 -0.00089553442 14.01253988789 0.58571921235
27 0.585719212350 -0.00045906659 14.00642756455 0.58575198777
28 0.585751987774 -0.00023524453 14.00329358948 0.58576878700
29 0.585768787003 -0.00012052763 14.00168743047 0.58577739508
30 0.585777395082 -0.00006174679 14.00086446648 0.58578180529
31 0.585781805294 -0.00003163166 14.00044284620 0.58578406463
32 0.585784064627 -0.00001620389 14.00022685519 0.58578522203
33 0.585785222029 -0.00000830063 14.00011620904 0.58578581493
34 0.585785814926 -0.00000425207 14.00005952903 0.58578611864
Raíz es -0.000004
Para 𝑥0 = 2
n Xn ƒ(Xn) ƒ'(Xn) Xn+1
0 2.000000000000 2.00000000000 -2.00000000000 3.00000000000
1 3.000000000000 0.00000000000 14.00000000000 3.00000000000
2 3.000000000000 0.00000000000 14.00000000000 3.00000000000
3 3.000000000000 0.00000000000 14.00000000000 3.00000000000
Raíz es -0.000000
Para 𝑥0 = 2

8. n Xn ƒ(Xn) ƒ'(Xn) Xn+1
0 4.000000000000 2.00000000000 -2.00000000000 5.00000000000
1 5.000000000000 14.00000000000 406.00000000000 4.96551724138
2 4.965517241379 13.35429906925 362.05172392358 4.92863218273
3 4.928632182735 12.68439489232 319.10009286075 4.88888166189
4 4.888881661892 11.98615784666 277.19772992171 4.84564120011
5 4.845641200110 11.25411806350 236.40786727256 4.79803653199
6 4.798036531986 10.48077011017 196.80884476432 4.74478297967
7 4.744782979673 9.65533868723 158.50195387407 4.68386676728
8 4.683866767278 8.76139591985 121.62663251501 4.61183159095
9 4.611831590947 7.77171077435 86.39451423942 4.52187552322
10 4.521875523217 6.63515836644 53.18376251305 4.39711642283
11 4.397116422828 5.23383164037 22.90533795404 4.16861808542
12 4.168618085416 3.15866296545 -0.28982632839 15.06708608511
13 15.067086085109 2036.30555731785 12411126.69048820000 15.06692201414
14 15.066922014142 2036.22612961500 12410157.38696600000 15.06675793676
Raíz es -0.28982632839
4. Utiliza el método de regula falsi (falsa posición o punto falso) para aproximar un cero de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 7𝑥2
+ 14𝑥 − 6. En el
intervalo [1,3.2]
n (an) límite inferior
(bn) límite
superior
(cn) f(an) f(bn) f(cn) f(an) * f(cn)
0 1.0000000 7.0000000 4.6250000 2.9000000 -1.9000000 0.8609375 2.4967188
1 4.6250000 7.0000000 5.3655914 0.8609375 -1.9000000 0.1210429 0.1042104
2 5.3655914 7.0000000 5.4634783 0.1210429 -1.9000000 0.0150405 0.0018205
3 5.4634783 7.0000000 5.4755459 0.0150405 -1.9000000 0.0018397 0.0000277

9. 4 5.4755459 7.0000000 5.4770206 0.0018397 -1.9000000 0.0002246 0.0000004
5 5.4770206 7.0000000 5.4772006 0.0002246 -1.9000000 0.0000274 0.0000000
6 5.4772006 7.0000000 5.4772225 0.0000274 -1.9000000 0.0000033 0.0000000
7 5.4772225 7.0000000 5.4772252 0.0000033 -1.9000000 0.0000004 0.0000000
8 5.4772252 7.0000000 5.4772255 0.0000004 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
9 5.4772255 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
10 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
11 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
12 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
13 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
14 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
15 5.4772256 7.0000000 5.4772256 0.0000000 -1.9000000 0.0000000 0.0000000
Raíz es 0.0000000
Conclusión.
 El método de bisección es un método numérico iterativo que utiliza el teorema del valor intermedio para encontrar raíces de una función
en un intervalo dado. Es un método simple y fácil de implementar, pero puede ser lento para encontrar raíces muy precisas.
 El método del punto falso, también conocido como el método de la secante, es similar al método de bisección, pero en lugar de dividir el
intervalo de búsqueda en dos, utiliza una línea recta para aproximar la función y encontrar la raíz. Es más rápido que el método de
bisección, pero puede ser menos preciso.

10.  El método de Newton, también conocido como el método de Newton-Raphson, es un método iterativo que utiliza el concepto de
tangente para encontrar raíces de una función. Es un método rápido y preciso, pero requiere que se conozca la derivada de la función y
puede ser sensible a los valores iniciales.
En conclusión, cada uno de estos métodos tiene sus propias ventajas y desventajas y la elección del mejor método dependerá de la situación
específica y de las necesidades de precisión.

11. Referencias:
Jazmin Lopez Leon
Bisección o interpolación.
[Video]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=UWXuqEvAx7o&ab_channel=JazminLopezLeon
Jazmin Lopez Leon
03 Newton
[Video]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=Yb0S8TWaynM&ab_channel=JazminLopezLeon
Jazmin Lopez Leon
03 Newton
[Video]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=UPGvsEexSdc&ab_channel=JazminLopezLeon
Soporte en Excel
SoporteForo1.xlsx