1. Plano Numérico
José Mauricio Chávez
C.I: 29.868.259
Sección “0102”
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR
Universidad Politécnica Territorial de Lara
Andrés Eloy Blanco
BARQUISIMETO EDO-LARA

2. Plano Numérico
¿Qué es un Plano cartesiano?
 Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o
sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares,
una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
 La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o
ubicación de un punto en el plano, la cual está representada
por el sistema de coordenadas.
 El plano cartesiano también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.

3. Partes del Plano Numérico
 Los elementos y características que conforman el plano
cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los
cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te
explicamos cada uno.
 Ejes coordenados
 Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares
que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas
reciben el nombre de abscisa y ordenada.
 Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera
horizontal y se identifica con la letra “x”.
 Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado
verticalmente y se representa con la letra “y”.
 Origen o punto 0 Se llama origen al punto en el que se
intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el
valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como
punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala
numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su
dirección respecto del origen.

4. Distancia y Punto Medio
Distancia:
 En las matemáticas, la distancia entre dos puntos equivale
a la longitud del segmento de la recta que los une,
expresado numéricamente. Es el «camino más corto» entre
dos puntos es un segmento recto
Punto medio:
 Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a
la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos
de un segmento.
 Más generalmente punto equidistante en matemática, es
el punto que se encuentra a la misma distancia de dos
elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas,
etc.
 Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos
partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y
equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta
última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

5. La Circunferencia y su Ecuación
 La circunferencia se define como el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo C (a, b)
que llamamos centro.
 Por lo tanto, cada punto P (x, y) de la circunferencia
satisface
 D (C, P) = r
 Donde la distancia r se llama radio. Así, tenemos la
siguiente
 Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
 La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de
la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos
desarrollar los binomios al cuadrado:

6. La Circunferencia y su Ecuación
 Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
 Consideramos los siguientes cambios:
 Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir
de la siguiente manera:
 la cual se conoce como la ecuación general de la
circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
 y el radio satisface que:
 Es importante notar que la ecuación

7. La Circunferencia y su Ecuación
 debe satisfacer lo siguiente para que describa una
circunferencia:
 1 Se cumple la siguiente desigualdad
 2 No hay ningún término XY (es decir, X y Y no se
multiplican).
 3 X² y Y² tienen coeficiente 1.
 Nota: que en caso de que X² y Y² tengan coeficiente
distinto a 1, entonces ambos deben tener el mismo
coeficiente. De esta forma, podemos dividir la ecuación por
este coeficiente para obtener la ecuación general de la
circunferencia.
 Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el
origen de las coordenadas, entonces la ecuación de la
circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a
 la cual se conoce como ecuación canónica de la
circunferencia.

8. Parábolas
 La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija
llamada directriz.
Elementos de la parábola:
 1-Foco: Es el punto fijo F.
 2-Directriz: Es la recta fija d.
 3-Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se
designa por la letra p.
 4-Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por
el foco.
 5-Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con
su eje.
 6-Radio vector: Es un segmento que une un punto
cualquiera de la parábola con el foco.

9. Parábolas
 1 El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el
vértice con el origen de coordenadas
Ecuación reducida de la parábola:
 Si:
 Si:
 2 El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el
vértice con el origen de coordenadas
 Si:
 Si:

10. Elipses
 La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elementos de la elipse:
 1Focos: Son los puntos fijos F y F'.
 2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
 3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
 4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la
elipse a los focos: PF y PF'.
 6Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor
de la semidistancia focal.
 7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes:
A, A', B y B'.
 8Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor
del semieje mayor.
 9Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del
semieje menor
 10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al
eje menor.
 11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el
punto de intersección de los ejes de simetría.

11. Elipses
 Si el centro de la elipse y el eje principal es
paralelo al eje de las abscisas (eje X), los focos tienen
de coordenadas y
 0Y la ecuación canónica de la elipse será
 en donde a y b son los semiejes mayor y menor
respectivamente.
 Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general,
una ecuación de la forma:
 Donde A y B tienen el mismo signo. A esta última fórmula se
le conoce como ecuación general de la elipse.

12. Elipses
Ecuación reducida de la elipse
 Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas
y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las
coordenadas de los focos son:
 y A demás cualquier punto sobre la
elipse cumple que
 Notemos que dicha expresión es equivalente a
 Al desarrollar esta última expresión y resolviendo, tenemos
que es equivalente a
en donde
 Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

13. Elipses
 Si el eje principal está sobre el eje de las ordenadas, se
obtendrá la siguiente ecuación:
 En donde las coordenadas de los focos son y
 Ecuación de eje vertical de la elipse
 En general, si el centro de la elipse es (puede ser el
origen o no) y el eje principal es paralelo al eje de las
ordenadas entonces los focos tienen
coordenadas y y la ecuación de la
elipse será:
 Excentricidad
 Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de
la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y
su semieje mayor.

14. Elipses
 Ecuación reducida
 Si el eje principal está en el de abscisas se obtendrá la
siguiente ecuación:
 Las coordenadas de los focos son:
 F'(−c, 0) y F(c, 0)
 Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen
 Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es
paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0)
y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:
 Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se
obtiene, en general, una ecuación de la forma:
 Donde A y B tienen el mismo signo

15. Hipérbola
 La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados
focos es constante en valor absoluto.
 En la gráfica anterior, esto significa que
para cualquier punto P de la hipérbola.
Elementos de la hipérbola:
 1 Focos: Son los puntos fijos y .
 2 Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los
focos.
 3 Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del
segmento
 4 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 5 Vértices: Los puntos y son los puntos de
intersección de la hipérbola con el eje focal.
 6 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos: y

16. Hipérbola
 7 Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
 8 Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
 9 Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
 Los puntos y se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de
los vértices y de radio c.
 10 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real
o al eje imaginario.
 11 Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
 12 Relación entre los semiejes:
 Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen
con eje real vertical
 En este caso consideraremos el eje real sobre el eje de las
ordenadas.
 por la definición de distancia euclideana entre dos puntos,
tenemos que esto es igual a

17. Hipérbola
 Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir
la igualdad anterior de la siguiente manera
 esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de
la hipérbola con eje vertical.
 Ecuación reducida de la hipérbola no centrada en el
origen con eje real horizontal
 En este caso el centro de la hipérbola no es el origen y su eje
real es horizontal, paralelo al eje de las abscisas.
 Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la
imagen y algunas propiedades:
 1 El centro es el origen El centro siempre será el
punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide
con el punto medio de los focos.
 2 Vértices: Los vértices están dados por los
puntos y . Cada vértice está a la
misma distancia del centro, a unidades.
 3 Focos: Los focos está dados por los puntos
y . Cada foco está a la misma distancia del
centro, c unidades.
 4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices,
esto es , su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje es
paralelo al eje de las abscisas.

18. Hipérbola
 5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los
puntos y , esto es , su valor (longitud) es igual
a 2b. Este eje es paralelo al eje de las ordenadas.
 6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une
los focos, esto es , su valor (longitud) es igual a 2c.
 7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la
hipérbola, satisfacen que
 8 La excentricidad de la hipérbola está dada por
 Cada punto sobre la hipérbola debe cumplir que
 por la definición de distancia euclideana entre dos puntos,
tenemos que esto es igual a
 Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos
escribir la igualdad anterior de la siguiente manera
 esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida
de la hipérbola con eje horizontal y con centro distinto al
origen.

19. Hipérbola
 Ecuación reducida de la hipérbola no centrada en el
origen con eje real vertical
 En este caso el centro de la hipérbola no es el origen y su
eje real es vertical, paralelo al eje de las ordenadas.
 Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la
imagen y algunas propiedades:
 1 El centro es el origen El centro siempre será el
punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide con
el punto medio de los focos.
 2 Vértices: Los vértices están dados por los
puntos y . Cada vértice está a la
misma distancia del centro, a unidades.
 3 Focos: Los focos está dados por los
puntos y . Cada foco está a la
misma distancia del centro, c unidades.
 4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto
es , su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje es
paralelo al eje de las ordenadas.
 5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los
puntos y , esto es su valor (longitud) es igual
a 2b. Este eje es paralelo al eje de las abscisas.

20. Hipérbola
 6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que
une los focos, esto es , su valor (longitud) es igual
a 2c.
 7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la
hipérbola, satisfacen que
 8 La excentricidad de la hipérbola está dada por
 Cada punto sobre la hipérbola debe cumplir que
 por la definición de distancia euclideana entre dos puntos,
tenemos que esto es igual a
 Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir
la igualdad anterior de la siguiente manera
 esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de
la hipérbola con eje vertical y con centro distinto al origen.

21. Bibliografía
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/
analitica/conica/resumen-de-ecuacion-de-la-
circunferencia.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/
analitica/conica/ecuacion-de-la-elipse-2.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/
analitica/conica/hiperbola.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematica
s/analitica/conica/resumen-de-elipse.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematica
s/analitica/conica/excentricidad-de-la-hiperbola.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematica
s/analitica/conica/parabola.html