1.
Continuidad
X
Y
a b
𝑓
La función 𝒇 es continua en [a ;
b]
X
Y
a b
𝑓
X0
La función 𝒇 es discontinua en [a ; b]

2.
Continuidad de una función en un punto
Definición 1
Se dice que 𝒇 en una función continua en 𝒙𝟎 si y solo si.
)
(
)
(
lim 0
0
x
f
x
f
x
x


Definición 2
Se dice que 𝒇 en una función continua en X0 si y solo si,
cumple las tres condiciones siguientes:
está bien definida
Existe ; es decir
1. es decir
)
( 0
x
f
)
(
lim
0
x
f
x
x
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x 




)
(
)
(
0
0 x
f
Lim
x
f
x
x

1)
2)
3)
real
número
un
es
)
( 0
x
f
)
(
lim
)
(
lim
)
(
0
0
0 x
f
x
f
x
f
x
x
x
x 






3.
X
Y
a b
𝑓
X0
L
X
Y
a b
𝑓
X0
L
L1
X
Y
a b
𝑓
X0
L
X
Y
a b
𝑓
X0
L
L1
L2
f es continua en X0 f es discontinua en X0
f es discontinua en X0 f es discontinua en X0

4.
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad evitable o removible
Un punto X0 se dice que es de discontinuidad evitable si alguna
de las condiciones se cumple :
1) y existe pero
2) y existe
)
(
lim
0
x
f
x
x
)
(
)
(
lim 0
0
x
f
x
f
x
x


f
D
x 
0
f
D
x 
0
)
(
lim
0
x
f
x
x
X
Y
𝑓
X0
L
X
Y
𝑓
X0
L
f(x0)

5.
Discontinuidad no evitable o no removible
Un punto X0 se dice que es de discontinuidad no evitable si
alguna de las condiciones se cumple :
1) y no existe limite
2) y
f
D
x 
0
f
D
x 
0 


)
(
lim
0
x
f
x
x
X
Y 𝑓
X0
L1
L2
+∞
+∞
-∞
f(x0)
X
+∞
-∞ +∞
-∞
X0
𝑓
f(x0)
Y
X

6.
Derivada
Tambien estudiar la derivada de una función, nos conduce a
estudiar la pendiente de la recta tangente a una curva en un
punto que pertenece al dominio de la función.
Estudiar la derivada de una función, nos conduce a
estudiar los siguientes problemas:
1. El problema de la velocidad y aceleración
2. El problema de máximos y mínimos
3. El problema de razón de cambio
Notación:
o )
(x
f
dx
d

)
(x
f 

7.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0
VEAMOS GRAFICAMENTE

8.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0
∆Y

9.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0
∆Y

10.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0
∆Y

11.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0

12.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0

13.
X0
f(x0)

14.
∆Y
∆X
X0+∆X
X0

15.
¿Por que se utiliza la derivada?
◦
Para conocer la variación de una magnitud en función de otra.
La derivada nos permite conocer por ejemplo:
1. La variación del espacio en función del tiempo.
2. El crecimiento de una bacteria en función del tiempo

16.
Para conocer la variación de una
magnitud en función de otra.
La derivada nos permite conocer por ejemplo:
 El desgaste de un neumático en función del
tiempo
 Los beneficios en función del tiempo.

17.
¿Pero la variación de una magnitud va ser siempre
en función del tiempo?.
La respuesta en no:
Si calculamos la derivada de una
función, calculamos la variación
de “y” en función de “x”.

18.
La derivada se puede utilizar en cualquier situación
de la viada real.
Pero en este tema nos centraremos en:
 Aplicación a la Contabilidad
 Aplicación a la Física
 Aplicación a la Medicina
 Aplicación a la Ingeniería
 Aplicación a la Economía

19.
En el ámbito de la Física:
La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo
La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo,
o la 2º derivada del espacio respecto al tiempo.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = 𝑎𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2

20.
En el ámbito de la Ingeniería:
En la Termodinámica:
Cuando se estudia la transmisión de los fenómenos del
calor.

21.
En la Electricidad:
Cuando se estudia el consumo eléctrico de un país en un
determinado instante.

22.
En la Electricidad:
Cuando se quiere estudiar la dinámica de los fluidos,
para conseguir una mejor aerodinámica

23.
En la Medicina:
Estudiar el crecimiento de un tumor cancerígeno.
La velocidad del contagio de una pandemia.

24.
En la Economía:
En este campo existen muchas aplicaciones, ya que el objetivo de
cualquier empresa es minimizar los costes y maximizar los
beneficios.
Estudiar máximos y mínimos, es el objetivo de un problema de
optimización, en este problema se determina el máximo y el mínimo
sujeto a ciertas condiciones.
Estudiar máximo y mínimo implica también utilizar derivada para
funciones reales.