2. Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio
geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto, constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
Sistema de coordenadas
3. Coordenadas polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un
punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una
función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas
funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En
dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede
simplificarnos la vida.
4. Conversión de coordenadas polares
Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano
o el espacio, se puede hacer mediante
diferentes sistemas de coordenadas. En estos
momentos nos ocupan los sistemas de
coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una
equivalencia entre los diferentes sistemas,
en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y
viceversa.
En este tópico se incluyen algunas
gráficas para mostrar la ubicación de un
punto en cada uno de los sistemas
respectivos.
5. Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ)
es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f
(θ). En otros términos, la gráfica de una
ecuación polar es una gráfica en el plano xy
de todos los puntos cuyas coordenadas
polares satisfacen la ecuación dada
Esto son algunos ejemplos
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de
cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una
figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:
6. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa
de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de
la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es
parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en
su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero
ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en
la siguiente función graficada
7. CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se
sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos
un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
8. Interseccion de graficas de coordenadas polares
las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las mismas, el
próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de
intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de
buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en
coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos
de intersección de dos gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo
de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una
región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos
gráficas polares con el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en
órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto
lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).
