material_de_apoio_roteiro_de_estudo_tmk_2_matematica_2012_2

2.210 visualizações

Publicada em

Material de apoio para prova de matemática

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.210
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
27
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

material_de_apoio_roteiro_de_estudo_tmk_2_matematica_2012_2

  1. 1. ROTEIRO DE ESTUDOCurso: TECS Período Letivo: 1º bimestre 2012/2Série 2° semestreDisciplina: MatemáticaProfessor EaD Ivonete Melo de Carvalho PONTOS IMPORTANTES ABORDADOS NA DISCIPLINA NO DECORRER DO BIMESTRE
  2. 2. Teoria dos Conjuntos:De acordo com Aurélio Buarque de Holanda Ferreira, “conjunto é qualquer coleção de seresmatemáticos” 1.Ampliaremos esta definição e diremos: conjunto é qualquer coleção de objetos bem definidos.A partir dessa última definição, podemos dizer que:  uma caixa de lápis de cor é um conjunto cujos elementos são lápis de cor;  Uma cesta de frutas é um conjunto cujos elementos são frutas;  Um álbum é um conjunto de fotografias.Dizemos que:  Conjuntos são formados por elementos. Exemplo: A = {a, e, i, o, u}  Elementos pertencem – ou não – a conjuntos. Exemplo: a  A (o elemento a pertence ao conjunto A) – b  A (o elemento b não pertence ao conjunto A).Conjuntos podem ser representados por figuras. Essas figuras chamam-se Diagramas de Venn(balões). Veja os exemplos:Podemos dar nomes aos conjuntos. Esses nomes podem ser aleatórios quando estudamosconjuntos sem rigor matemático: guarda-roupa, cômoda, baú, cesto, entre outros.Matematicamente falando, conjuntos serão sempre denominados por letras maiúsculas doalfabeto latino: A, B, C, etc..Da mesma forma, podemos denominar elementos por nomes comuns: peças de roupas,brinquedos, frutas; ou matematicamente: sempre utilizando letras minúsculas do alfabeto latino:a, b, c, etc..Para determinar um conjunto, podemos fazê-lo de duas maneiras diferentes:  Citando (ou enumerando) cada um de seus elementos. Exemplo: A  branco, negro, índio 1 HOLANDA FERREIRA, Aurélio Buarque. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 2. ed., Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986, p. 455.
  3. 3.  Descrevendo as características dos elementos que o compõe. Exemplo: A  três principais raças que formaram o povo brasileiro Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.Chamamos de conjunto universo ao conjunto formado pela totalidade dos elementos de umamesma categoria.Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.Conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Representamos o conjunto vazio por { } ou Dados dois conjuntos A e B, pode acontecer que todos os elementos de A sejam tambémelementos de B. Nesse caso, dizemos que A está contido em B ( A  B ) ou que B contém A( B  A ), ou seja, A é subconjunto de B.São propriedades dos conjuntos: 1. Todo conjunto está contido em si mesmo; 2. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto;Se A é subconjunto de B, podemos definir que:  Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que chamaremos complementar de A em relação a B e representaremos por: C BA ;  Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que também podemos designar como sendo a diferença B – A.Dados dois conjuntos quaisquer, podemos definir:  União como sendo o conjunto formado por todos os elementos que formam o conjunto A e formam o conjunto B;  Interseção como o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A e B.  Diferença: considerando B  A , diferença é o conjunto formado por todos os elementos que estão no conjunto A e não estão em B;  Complementar de A em relação a B: é o conjunto formado por todos os elementos que estão no conjunto A e não estão em B.Ao número de elementos de um conjunto A, chamaremos cardinal do conjunto Arepresentaremos por n(A).Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:
  4. 4. n ( A  B)  n ( A)  n ( B)  n ( A  B) .Conjuntos dos Números Naturais:Números naturais exprimem a idéia de quantidade e são representados por símbolos especiais.Os dez algarismos formam a base decimal de numeração.O conjunto dos naturais é ordenado do menor para o maior elemento. Podemos representá-loatravés de uma reta ordenada:Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. Oconjunto dos números naturais é ordenado do menor para o maior número.Operações com números naturais:As operações são: adição, subtração, multiplicação, potenciação e radiciação. Os operadoresespeciais são: parênteses, colchetes e chaves.Por convenção, resolvem-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves.Pela ordem das operações: primeiro resolvem-se potências e raízes (sempre da esquerda para adireita), depois multiplicações e divisões (sempre da esquerda para a direita) e, por último,adições e subtrações (sempre da esquerda para a direita).Decomposição em fatores primos:Decompor em fatores primos ou fatorar um número natural significa escrever o número dadoatravés de um produto onde todos os fatores são números primos.Divisores de um número natural:São números naturais que dividem exatamente o número dado. Definiremos o máximo divisorcomum de um conjunto de números naturais como sendo o maior entre os divisores comuns dosnúmeros tomados.Mínimo Múltiplo Comum:
  5. 5. Mínimo múltiplo comum (mmc) é o menor entre os múltiplos de dois, ou mais, númerosnaturais. Para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) basta decompor os números envolvidosem fatores primos. O mmc é formado pelo produto de todas as potências, com os maioresexpoentes, que compõem os números dados. Veja os exemplos:Dispositivo prático: decompor os números dados, simultaneamente: 120, 90, 80, 60 2 60, 45, 40, 30 2 30, 45, 20, 15 2 15, 45, 10, 15 2 15, 45, 5, 15 3 5, 15, 5, 5 3 5, 5, 5, 5 5 1, 1, 1, 1mmc (120, 90, 80 60) = 24.32.5 = 720Conjunto dos Números Inteiros:Números inteiros também exprimem a idéia de quantidade, mas vão mais, além disso, poisrelacionam a quantidade a um determinado referencial.Historicamente, podemos relacionar o surgimento do conjunto dos números inteiros relativosaos primeiros livros de registros contábeis; débitos e créditos são um excelente caminho paraesclarecer “negativo” e “positivo”.Ao conjunto formado pelos inteiros positivos, inteiros negativos e o zero, chamamos conjuntodos números inteiros e representamos pela letra Z.Tal qual o conjunto dos números naturais, Z também é ordenado do menor para o maiorelemento.Comparando o conjunto dos números naturais com o conjunto dos números inteiros, podemoconcluir que N  Z .Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:Z * - inteiros não nulos;Z  - inteiros não negativos;Z  - inteiros não positivos;
  6. 6. Z * - inteiros positivos; Z * - inteiros negativos; Representação geométricaQuanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. Oconjunto dos números inteiros é ordenado do menor para o maior número.Módulo de um número inteiro:Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número inteiro, a distância entre esse número e aorigem (o zero).Representamos o módulo por duas barras verticais. a , a  0Propriedade: a    a , a  0Números opostos ou simétricos:Dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando possuem o mesmo módulo.Comparação de dois números inteiros:Com relação ao conjunto dos números inteiros, podemos dizer que:  todo número positivo (representado à direita do número zero) é maior do que zero;  todo número negativo (representado à esquerda do número zero) é menor do que zero;  todo número positivo é maior do que qualquer número negativo;  entre dois números inteiros positivos, o menor deles é o que apresenta o menor módulo ou valor absoluto;  entre dois números inteiros negativos, o menor deles é o que apresenta o maior módulo ou valor absoluto;Conjunto dos Números Racionais:
  7. 7. pUm número é dito racional quando é da forma , p e q  Z, q  0 . qTal qual o conjunto dos números naturais e inteiros, Q também é ordenado do menor para omaior elemento.Comparando o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros com o conjuntodos números racionais, podemos concluir que N  Z  Q .Destacamos os seguintes subconjuntos de Q:Q * - racionais não nulos;Q  - racionais não negativos;Q  - racionais não positivos;Q * - racionais positivos; Q * - racionais negativos; Representação geométricaQuanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o número. Oconjunto dos números racionais é ordenado do menor para o maior número.Operações com números racionais:Adição: se os números estiverem em forma de fração, calcular o mmc. Se os números estiveremna forma decimal, colocar vírgula embaixo de vírgula.Subtração: mesmo que a adição.Multiplicação: para multiplicar duas frações, multiplicamos numerador por numerador edenominador por denominado. Para multiplicar dois decimais, multiplicamos os números,depois contamos as casas decimais dos fatores e aplicamos ao produto.Divisão: para dividir duas frações, devemos conservar a primeira e multiplicar pelo inverso dasegunda. Para dividir números decimais, primeiro igualamos as casas décimas do divisor e dodividendo, “cortamos” as vírgulas e dividimos normalmente..Conjunto dos Números Irracionais:
  8. 8. Chamamos de conjunto de números irracionais ao conjunto formado por todos os números cujarepresentação decimal é infinita e não periódica.Nesse nível de aprendizado, não discutiremos as operações dentro do conjunto dos númerosirracionais.Conjunto dos Números Reais:Chamamos de conjunto dos números reais à união do conjunto dos números racionais com oconjunto dos números irracionais.Propriedades de potenciação e radiciaçãoPotenciação: é o produto de fatores iguais. Propriedades: 1 a a a0  1 a m .a n  a m  n a m : a n  a m n (a m ) n  a mn (a.b) n  a n .b n n a an m a n  1    n n m b b a an anRadiciação: é a operação inversa da potenciação. Propriedades: n a  b  bn  a n a na a.b  n a .n b n  b nb nm a  n.m a n n.m a  am n a .m a  n.m a m  nFunções Antes de introduzirmos o conceito formal de funções, falaremos sobre asestruturas matemáticas que suportam tal teoria. Vamos, antes, construir oconceito de produto cartesiano e relação binária entre os elementos de doisconjuntos. Quando tomamos, ao acaso, um elemento de cada um dos conjuntosestudados, dizemos que formamos um par. Par é todo conjunto formado por dois
  9. 9. elementos. A representação gráfica do par ordenado dá-se através do PlanoCartesiano. Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si, noponto 0. (Lembre-se: duas retas paralelas ou concorrentes determinam um plano). Veja a figura: Entre o conjunto dos pontos P do plano  e o conjunto de paresordenados (x P, yP), existe uma correspondência biunívoca, isto é, cada pontocorresponde a um único par e cada par corresponde a um único ponto.Produto Cartesiano: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chamamos de produto cartesianode A por B ( e indicaremos A x B) ao conjunto formado por todos os paresordenados (a, b) onde a  A e b  B. A x B  {(a , b), a  A e b  B} Se A ou B forem vazios o produto A x B também será vazio. Propriedades: Se A  B  A x B  B x A Se n(A) = n e n(B)= m  n(A x B) = nm Se A ou B for infinito e nenhum deles vazio  A x B é infinito.Relações binárias: Uma relação binária é um subconjunto do produto cartesiano.Representamos por R: “R é uma relação binária de A em B se, e somente se,
  10. 10. R  A x B .” Conforme IEZZI e MURAKAMI, “utilizaremos as seguintes nomenclaturasjá consagradas: A = conjunto de partida ou domínio da relação R. B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R. Quando o par (x, y) pertence à relação R, escrevemos xRy (lê-se: ‘x errey’). ( x , y)  R  xRy e se o par (x, y) não pertence à relação R, escrevemos xRy (lê-se: ‘x nãoerre y’) ( x , y)  R  xRyFunções: Função é uma relação binária onde todo elemento do primeiro conjunto(domínio) deve formar par, mas cada elemento deve formar um único par. Para indicar uma função, utilizaremos uma entre as seguintes notações: f :AB f f : A  B t.q. A B ou ou x  f (x ) x  f (x) y  f (x )Domínio e Imagem Chamamos de domínio ao conjunto D dos elementos x  A para os quaisexiste y  B tal que ( x , y)  f . Domínio = conjunto de partida. Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y  B para os quaisexiste x  A tal que (x , y)  f , portanto. Imagem é o conjunto de chegada. Em outras palavras: Domínio (D) é o conjunto das abscissas dos postostais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f,isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f;Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontaisconduzidas por esses pontos interceptem o gráfico de f, isto é, é o conjunto
  11. 11. formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.Zeros ou Raízes de uma função Zero de uma função real (ou raiz da função) é todo número x cujaimagem é nula, isto é, x é o zero de y  f(x) = 0.Crescimento e decrescimento de funções: Seja f :A  B x  y  f ( x) Diremos que f é crescente se: Sendo x1 , x 2  A teremos x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) Gráfico inclinado para cima (a curva sobe da esquerda para a direita). Diremos que f é decrescente se: Sendo x1 , x 2  A teremos x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) Gráfico inclinado para baixo (a curva desce da esquerda para a direita).Composição de funções: De acordo com SCIPIONE (1979, p. 129) “Sejam A, B e C conjuntos não vazios dados e mais as funções f :A  B e g:B  C.
  12. 12. A cada elemento x  A está associado um único elemento y  B pela função f, isto é, y  f ( x ) ; a cada elemento y  B está associado um único elemento z  C pela aplicação g, isto é, z  g ( y) . Desse modo, a cada elemento x  A está associado um único elemento z  C , z  g ( y)  g (f (x )) ; temos, pois uma função h de A em C. A nova função h : A  C será indicada por g  f (leia-se ‘g círculo f ’), isto é, h:A C h : x  (g  f )(x )  g (f ( x )) ”Função Inversa: Segundo IEZZI e MURAKAMI (1993, p. 235) “Definição Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f 1 . Observações: 1ª) Os pares ordenados que formam f 1 podem ser obtidos dos pares ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é ( x , y)  f  ( y, x )  f 1 2ª) Pela definição anterior, temos ( x , y)  f  ( y, x )  f 1 . Agora, se considerarmos a função inversa de f 1 , teremos: ( y, x )  f 1  (x, y)  (f 1) 1 , isto é, a inversa de f 1 é a própria função f: (f 1 ) 1  f 1 Podemos assim afirmar que f e f são inversas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra. 3ª) O domínio da função f 1 é B, que é a imagem da função f. A imagem da função f 1 é A, que é o domínio da função f. [...] D(f 1)  B  Im(f ) ” 1 Im(f )  A  D (f ) Propriedades: Os gráficos de duas funções inversas entre si sãosimétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.Classificação de funções:
  13. 13. De acordo com sua lei de formação, podemos classificar funções como: cons tan te linear  Função de primeiro grau:  identidade afim  Função quadrática ou do segundo grau; Função modular; Função exponencial; Função logarítmica; Funções trigonométricas, entre outras.Função do Primeiro Grau Chamamos de função do primeiro grau a toda expressão da formay  ax  b com a , b  R . São exemplos de funções do primeiro grau: y  3x  4; y  2 x  8; y   x  3; y  0 ,5 x  3; 3 y x; y4 4 As funções de primeiro grau são classificadas de acordo com os valoresde a e b: Se a e b são ambos diferentes de zero, dizemos função afim; Se a é diferente de zero e b igual a zero, dizemos função linear; Se a é igual a 1 e b igual a zero, dizemos função identidade; Se a é igual a zero e b diferente de zero, dizemos função constante.Domínio, Contradomínio e Imagem da função do primeiro grau: A função do primeiro grau não apresenta restrições naturais, tanto odomínio como o contradomínio são representados pelo conjunto dos númerosreais, ou seja, D  CD  R . Como para todo valor real de x, da função de primeirograu, existirá um correspondente y também real, dizemos que a imagem da função
  14. 14. de primeiro grau também é real, ou seja, Im  R . Importante: no caso da função constante embora o domínio seja real aimagem será dada por Im  b .Gráfico: O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta. Quando o coeficiente a = 0  reta horizontal (paralela ao eixo x)passando por y  b . Quando o coeficiente a for positivo (a  0)  reta inclinada para cima. Quando o coeficiente a for negativo (a  0)  reta inclinada para baixo. Veja os exemplos: Construir o gráfico da função y  3x  2 . Construindo a tabela: x y 0 2 1 5 Observe, o coeficiente a = 3, ou seja, (a  0)  reta inclinada paracima. Construir o gráfico da função y   x  1 . Construindo a tabela: x y 0 1 1 0 Observe que o coeficiente a = –1, ou seja, (a  0)  reta inclinada paraa esquerda.
  15. 15. Construir o gráfico da função y = 3. Observe que escrever y = 3 é omesmo que escrever y = 0x + 3. Construindo a tabela: x y 0 3 1 3 Note que o coeficiente a = 0, ou seja, reta horizontal passando por y =3.Zeros ou raízes da função de primeiro grau: Chamaremos de zero ou raiz da função de primeiro grau ao valor de xque torna y = 0 (f ( x )  0) . Assim teremos: b f ( x)  0  ax  b  0  ax  b  x a Exemplo: determine a raiz da função y  2 x  6 6 2x  6  0  2 x  6  x  x  3 2
  16. 16. Função do segundo grau Chamamos de função do segundo grau ou função quadrática a todaexpressão do tipo y  ax 2  bx  c, com a , b, c  R e a  0 . Exemplos: y  x 2  3x  4 ; y  0,5x 2  x Uma função do segundo grau pode ser completa ou incompleta: Será completa quando os coeficientes a, b e c forem todos diferentes dezero. Será incompleta quando os coeficientes b e/ou c forem iguais a zero.Domínio, Contradomínio e Imagem: Por não possuir nenhuma restrição, o domínio e o contradomínio dafunção quadrática são dados pelo conjunto dos números reais: D  CD  R . Já o conjunto imagem da função do segundo grau depende docoeficiente a da expressão que a define. Se a > 0, teremos Im  {y  R | y  y V } Se a < 0, teremos Im  {y  R | y  yV } y V indica o valor de y onde a função inverte o sinal de crescimento.Gráfico da função de segundo grau: Ao gráfico da função quadrática, chamamos parábola. Uma parábola éuma curva que pode estar voltada para cima (no sentido de crescimento do eixo y)ou para baixo (no sentido de decrescimento do eixo y). Quem determina o tipo deconcavidade (curva voltada para cima ou curva voltada para baixo) é o valor docoeficiente a: Se a > 0 a curva é côncava para cima; Se a < 0 a curva é côncava para baixo;
  17. 17. Veja os exemplos: Determinar o gráfico da função y  x 2  3x  4 . Observe que ocoeficiente a = 1, logo a > 0, portanto teremos parábola côncava para cima. Determinar o gráfico da função y  0,5x 2  x Observe que o coeficiente a =  0,5 , logo a < 0, portanto teremosparábola côncava para baixo. Tanto quanto para a função de primeiro grau, para obter o gráfico dafunção quadrática podemos utilizar o recurso da construção de tabelas, porém,para que possamos melhor escolher os valores da tabela é indicado, antes, calcularo vértice da parábola (vértice é o ponto onde a curva inverte o sentido decrescimento). b O vértice da parábola é dado por: Vértice: x V   e yV  f ( x V ) . 2a Para obter as coordenadas do vértice é necessário relembrar como secalculam as raízes da função de segundo grau através da fórmula de Báskara:  b  b 2  4acx 2a
  18. 18. Lembre-se: “a” é o número que multiplica x 2. “b” é o número que multiplica x. “c” é o termo independente. Exemplo: Em x 2  5 x  6  0 , teremos: a = 1; b = –5 e c = 6. Na Fórmulade Báskara, os valores de x seriam calculados assim:  5 1 6 x   3  ( 5)  ( 5) 2  4.1.6 5  25  24 5  1 5  1  1  2 2 x     2.1 2 2 2 x  5 1 4  2  2  2 2 Outro exemplo:  2 x 2  4 x  0 Neste caso, temos: a = –2; b = 4; c = 0.  4  42  4.(2).0  4  16  0  4  0 x     Resolvendo: 2.( 2) 4 4 40 4   1 4 4 Observe que, nesse caso, somar zero ou subtrair zero não altera o valordo numerador. A expressão b 2  4ac da Fórmula de Báskara é chamada discriminanteda equação e é representada pela letra grega delta:  . Propriedade: Se   0 então a equação possui duas raízes diferentes  Se   0 então a equação possui uma raiz Se   0 então a equação não possui raízes  O gráfico da função de segundo grau é uma curva chamada parábola,que pode ser uma curva voltada para cima ou voltada para baixo, dependendo dovalor “a” (do número que multiplica x2). Se a > 0, o gráfico será uma curva voltadapara cima. Se a < 0, o gráfico será uma curva voltada para baixo.
  19. 19. Não existe gráfico para a = 0 (não existe sequer a função, nesse caso). Para desenhar o gráfico, sugerimos que também seja elaborada umatabela. Todavia, ao contrário do gráfico da função do primeiro grau não vamosescolher valores aleatórios para x. Antes de construir a tabela vamos calcular ascoordenadas do vértice da parábola. Vértice é o ponto onde a curva muda osentido de crescimento. É o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Na parábolacôncava para cima, dizemos que a função é decrescente até o vértice e crescentea partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva). Na parábola côncava para baixo, dizemos que a função é crescente até ovértice e decrescente a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva). Lembre-se: inclinação à direita indica crescimento – inclinação àesquerda indica decrescimento. Para calcular as coordenadas do vértice utilizamos a seguinte fórmula: bxV   e yV  f (x V ) . 2a Exemplo: Em y  x 2  5x  6 , teremos:
  20. 20.  (5) 5 xV    2,5 2 2 y V  (2,5)2  5.2,5  6  6,25  12,5  6  6,25  6  0,25 Para elaborar a tabela, utilizaremos, pelo menos, 5 pares ordenados,sendo que o vértice, necessariamente, deverá ser o centro da tabela. Veja oexemplo: x y  x 2  5x  6 Cálculo do valor de y 2 1 2 y  1  5.1  6  1  5  6  4  6  2 2 0 y  2 2  5.2  6  4  10  6  6  6  0 2,5 -0,25 Já mostrado acima 3 0 y  3 2  5.3  6  9  15  6  6  6  0 4 2 y  4 2  5.4  6  16  20  6  4  6  2 Observe que, para valores diferentes de x, encontramos valores iguaispara y ( se x = 1 ou se x = 4 então y = 2). Essa característica das funções desegundo grau chama-se simetria, ou seja, os dois “braços” da parábola sãoabsolutamente idênticos entre si. Graficamente: a figura esperada é voltada para cima, pois a = 1. Os pontos em destaque são os da tabela. A curva é idêntica em ambos os“lados”. Veja também que a função decresce até o vértice e cresce a partir dele(veja a inclinação das partes da curva!). Matematicamente, escrevemos:crescente: x > 2,5 e decrescente: x < 2,5. No outro exemplo, teríamos: y  2x 2  4x Neste caso, o gráfico esperado é côncavo para baixo, a = –2.
  21. 21. b 4 4 Calculando o vértice: x V     1 . Na tabela: 2 a 2 ( 2 )  4 x y  2 x 2  4 x Cálculo dos valores de y –1 –6 y  2( 1) 2  4( 1)  2.1  4  2  4  6 0 0 y   2 . 0 2  4 .0   2 .0  0  0  0  0 1 2 y  2.12  4.1  2.1  4  2  4  2 2 0 y  2.2 2  4.2  2.4  8  8  8  0 3 –6 y  2.3 2  4.3  2.9  12  18  12  6 Os pontos em destaque são os da tabela. Veja também que a funçãocresce até o vértice e decresce a partir dele (veja a inclinação das partes dacurva!). Matematicamente, escrevemos: crescente: x < 1 e decrescente: x > 1. No gráfico: Aplicações de funções As aplicações mais comuns da teoria de funções para o Curso deAdministração e áreas afins são o estudo de: demanda, oferta, custo, receita,lucro ou prejuízo e ponto (preço e quantidade) de equilíbrio.Demanda de mercado: Por definição, demanda ou procura de mercado de uma utilidade (bemou serviço) a um determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos
  22. 22. os compradores do mercado estão dispostos (e aptos) a comprar, num determinadoperíodo de tempo. A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que omercado pode absorver é chamada de função demanda de mercado. Arepresentação gráfica desta função é chamada curva de demanda. Observação importante: como estamos falando de preços equantidades, não faz sentido trabalharmos com valores negativos ou com o zero,logo, preço e quantidade são grandezas estritamente positivas. Para estudarmos afunção demanda, devemos Ter em mente que tanto domínio quanto imagemdevem ser sempre positivos. Veja o exemplo: Suponhamos que a demanda de um produto (vendido em pacotes de 1arroba cada um) seja da por y  4000  50x , onde y representa a demanda e x opreço de venda. Nestas condições, vamos determinar: o intervalo de variação dopreço desse produto; o intervalo de variação da quantidade demandada. Vamos,também, elaborar a curva de demanda deste produto e, por fim, determinar ademanda para um preço igual a R$ 40,00 o pacote e verificar qual o melhor preçopara que sejam vendidos 3500 pacotes do produto. Respondendo o problema poretapas, teremos:  intervalo de variação do preço desse produto: lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos, podemos afirmar que 4000  50x  0  4000  50x  80  x , ou seja, o preço não pode ultrapassar R$ 80,00, portanto o intervalo de variação do preço é dado por: 0  x  80 ;  intervalo de variação da quantidade demandada: lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos e 4000  y invertendo a função demanda, teremos x  , lembrando, 50 ainda, que o preço máximo não deve exceder R$ 80,00 (item anterior), podemos afirmar que
  23. 23. 4000  y 0  80  0  4000  y  4000 (1)  0  y  4000  4000 50  4000  y  0 , ou seja a quantidade não pode ultrapassar 4000 unidades do produto, portanto o intervalo de variação é dado por: 0  y  4000 ;  elaborar a curva de demanda: passo para y: 1000 em 1000, passo para x: 10 em 10  a demanda para um preço igual a R$ 40,00: y  4000  50.40  4000  2000  2000 A demanda é de 2000 unidades de produto se o preço for R$ 40,00.  o preço para que sejam vendidos 3500 pacotes do produto 3500  4000  50x  50 x  500  x  10 Para que sejam vendidas 3500 unidades do produto, o preço deve ser igual a R$ 10,00.Oferta de mercado: Por definição, oferta de mercado de uma utilidade (bem ou serviço) aum determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos os produtoresdo mercado estão dispostos (e aptos) a vender, num determinado período detempo. A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que omercado deseja oferecer é chamada de função oferta de mercado. Arepresentação gráfica desta função é chamada curva de oferta. Tanto quanto preço e demanda, a oferta, por tratar-se de quantidade,também é função cujo domínio e cuja imagem serão, sempre, positivos.
  24. 24. Ponto (preço e quantidade) de equilíbrio Preço e quantidade de equilíbrio são aqueles para os quais demanda eoferta coincidem. Graficamente, observamos que o ponto de equilíbrio é ponto deintersecção entre a curva de oferta e a curva de demanda.Receita total: Por definição, receita total é a função dada por RT  qx , onde: RT =receita total, x = preço de venda, q = quantidade vendida.Custo total A função custo total é definida pela soma do preço fixo de produção deuma determinada mercadoria (ou bem) ao custo variável de sua produção, ou seja,CT  CF  CV , onde, CT = custo total, CF = custo fixo e CV = custo variável.Lucro total: A função lucro total é definida pela diferença entre as funções receitatotal e custo total. Se essa diferença for positiva, dizemos tratar-se de lucropropriamente dito. Caso contrário, recebe o nome de prejuízo.Ponto de nivelamento: É aquele para o qual receita total e custo total são iguais entre si.Função Exponencial: É toda expressão do tipo y  a f ( x ) , a  0
  25. 25. Resumidamente: D = depende de f(x) Im = depende de f(x) Gráfico: sem nome especial Antes de tratarmos sobre funções exponenciais será útil relembrar o conceito depotência. Chamamos de potência de um número ao resultado da potenciação. Calcular uma potência significada multiplicar um mesmo número uma quantidadedeterminada de vezes. Por exemplo: 2 3  2.2.2  8 . O número 2 (que está “embaixo” do 3) é chamadode base da potência e indica quem será multiplicado. O número 3 (que está “acima” do 2) échamado expoente e indica quantas vezes a base comparece na multiplicação. Observe queem 23 o número 2 aparece três vezes na multiplicação. Neste caso dizemos que 8 é potênciade 2. Relembrando as propriedades da potenciação: 1. a n  a.a.a..a     6. (a m ) n  a m.n n vezes 2. a 0  1 7. (a.b) n  a n .b n n a an 3. a 1  1 8.    b bn n 1 4. a m .a n  a m  n 9. a  n    a m 5. a m n :a  a mn 10. a n  n a m Recomendamos que em caso de persistência de dúvidas, os leitoresprocurem apoio em livros de matemática referentes à 7ª e 8ª séries do ensinofundamental para que possam realizar um maior número de exercícios no sentidode treinar propriedades operatórias. Existe material disponível na Biblioteca. Para obter o gráfico da função exponencial é necessário compor umatabela com, no mínimo, cinco (5) pares ordenados.
  26. 26. Veja os exemplos:1. Faça a representação gráfica de y  2 x . x y  2x Cálculo do valor de y 2  1 12 1 –2 0,25 y  2 2     2   0,25 2 2 4 1  1 11 1 –1 0,5 y  2 1     1   0,5 2 2 2 0 0 1 y 2 1 1 2 y  21  2 2 4 y  22  4No gráfico:A função é crescente – o gráfico é inclinado para a direita. x  12. Faça a representação gráfica de y  2    . 2 x x  1 Cálculo do valor de y y  2  2 2  1 –2 –2 y  2   2  2 2  2  4  2 2 1  1 –1 0 y  2   2  21  2  2  0 2 0 0 1  1 y  2     2 1 1  2
  27. 27. 1 1 1,5  1 1 4 1 3 y  2   2    1,5 2 2 2 2 2 2 1,75  1 1 8 1 7 y  2   2    175 , 2 4 4 4 Graficamente: Logaritmos: Dado um número real a > 0, o logaritmo de um número x > 0 na base a éo expoente y a que se deve elevar a de tal modo que a y  x . Escreve-se y  loga xe lê-se y é o logaritmo de x na base a. Vamos usar o sinal  para exprimir que as duas afirmações sãoequivalentes (isto é, têm o mesmo significado). Podemos escrever, então: loga x  y  a y  x . Ou seja, dizer que y  log a x é o mesmo que afirmar que a y  x .Desta definição ocorre imediatamente a propriedade fundamental dos logaritmos, que é aseguinte: log a (ux )  loga u  loga x .Propriedades de logaritmos: Com base na definição acima, as demais propriedades operatórias do
  28. 28. logaritmo: a (a) log b a  log b c  log b   c (b) log b a n  n log b a 1 (c) log b n a  log b a n log b a (d)  logc a (mudança de base) log b cExemplo de utilização das propriedades de logaritmos: Com base no que foi estudado a respeito de logaritmos, discuta osproblemas:  Uma pessoa deposita R$ 5000,00 a 4% de juros. Quanto ela terá (principal + juros) após 10 anos: (i) se os juros são pagáveis anualmente, e (ii) se os juros são pagáveis trimestralmente? (i) y  x(1  i) n  5000(1  0,04)10 log y  log 5000  10 log1,04  3,6690  (10)(0,0170)  3,8690 y  R $7.396,67 i 0,04 40 (ii) y  x (1  ) nK  5000(1  ) k 4 log y  log 5000  10 log 1,01  3,6690  (40)(0,0043)  3,8710 y  R $7.430,00  Com base nas vendas esperadas e em dados para companhias similares, o Diretor de Pessoal das Indústrias Nacionais predisse que o número de empregados pode ser descrito pela equação t N  200(0,04) 0,5 onde N é o número de empregados após t anos. Admitindo que ele está correto, quantos empregados as Indústrias Nacionais terão após 3 anos? Quantos empregados a companhia empregou inicialmente? Quantos empregará quando atingir seu desenvolvimento máximo?
  29. 29. Resolução: A companhia emprega (200)(0,04) = 8 pessoas inicialmente e 200 quando tiver atingido seu tamanho máximo. Após 3 anos ela empregará: 3 N  (200)(0,04)0,5 log N  log 200  0,53 log 0,04  2,3010  (0,0125)(1,3979)  2,1263 N  133,75 ou aproximadamente 134 pessoas.Logaritmo – reforçando o conceito Por definição, logaritmo de um número a (positivo) na base b (positiva e diferentede 1) é o número c, se, e somente se, o número b elevado a c é igual a a. Simbolicamente: a  0 log b a  c  b c  a , para  b  0 e b  1 Veja o significado da definição: log 2 8  3  2 3  8 1 1 log100 10   100 2  100  10 2 Na verdade, um logaritmo é um expoente em condições muito especiais: tantobase quanto potência devem ser números necessariamente positivos e a base necessariamentediferente de 1. A mesma definição nos propicia calcular dados. Veja: log 4 16  x  4 x  16  4 x  4 2  x  2 log 5 x  3  53  x  125  x log x 256  2  x 2  256  x  256  x  16 Para resolver expressões que envolvem logaritmos, podemos utilizar as seguintespropriedades: log b a  log b c  log b (ac)
  30. 30. a log b a  log b c  log b   b log b a n  n log b a 1 log b n a  log b a n log b a  log c a log b c Veja os exemplos: Calcule o valor de P em: 1 log 2 P  log 2 5  2 log 2 4  3 log 2 3 2 1 log 2 P  log 2 5 2  log 2 4 2  log 2 33 log 2 P  log 2 5  log 2 16  log 2 27  log 2 P  log 2 5  (log 2 (16.27)) log 2 P  log 2 5  log 2 432  5 5 log 2 P  log 2    432   P  432  Função Logarítmica: Função logarítmica é toda expressão do tipo: b  0, b  1 y  logb f ( x ), onde  f ( x )  0, x  D(f ) Resumidamente: D = depende de f(x) Im = depende de f(x) Gráfico: sem nome especial Uma das maneiras de trabalhar com função logarítmica supõe que primeirodevemos transformá-la em função exponencial. Para isso, basta isolar x. Veja em exemplo:
  31. 31. y  log2 ( x  2)  log2 ( x  2)  y  2y  x  2  x  2 y  2 No caso da função logarítmica, ao invés de escolhermos o valor de x ecalcularmos y, fazemos o contrário: escolhemos y e calculamos x. y x  2y  2 Cálculo do valor de x 1 1 8  7 –2 –1,75 x  2 2  2   2    1,75 4 2 4 1 1 4  3 –1 –1,5 x  2 1  2   2    1,5 2 2 2 0 –1 x  2 0  2  1  2  1 1 0 x  21  2  2  2  0 2 2 x  22  2  4  2  2 Graficamente: Função crescente, pois o gráfico é inclinado para cima. Outros exemplos: (lembre-se de construir uma tabela para conferir asfiguras) Construir o gráfico de y  log( x  3) Construir o gráfico de y = log3(2 – x)
  32. 32. Derivadas Observe a figura abaixo, que representa o gráfico da função y = f (x),definida num intervalo real: Na figura podemos observar que o coeficiente angular da reta secante àcurva nos pontos A e B, tem coeficiente angular dado por: y f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h )  f ( x ) m  tg    . x (x  h)  x h f ( x  h)  f (x ) À expressão m  , chamamos razão incremental. h
  33. 33. A bem da verdade, podemos observar que a razão incremental mede avariação da função entre dois de seus pontos. Na mesma figura, quando o incremento h tende a zero, o ponto B tendea coincidir com o ponto A, ou seja, a reta que era secante à curva tende, agora, atangenciá-la. Nessa situação, poderíamos dizer, sem perda de generalidades, queestaríamos mediante a variação imediata da função. Nestas condições, podemos definir a derivada da função y = f(x) comosendo o limite da razão incremental, quando h tende a zero, ou seja, a derivada dafunção é determinada pela sua variação instantânea, isto é, f (x  h )  f ( x)f ( x )  lim . h 0 h Geometricamente, dizemos que a derivada de uma função determina ocoeficiente angular da reta tangente a uma curva em cada um dos seus pontos. Exemplo: Calcular a equação da reta tangente à curva y  x 2 , no pontode abscissa x = 1. Solução: Para determinar a equação de uma reta é necessário conhecermos doisde seus pontos ou um de seus pontos e o coeficiente angular da reta. Vamos optarpela segunda possibilidade:  ponto de tangência é dado por: se x = 1 então y = 12 = 1, logo Pt = (1, 1)  para determinar o coeficiente angular vamos utilizar o limite da razão incremental: f ( x  h)  f ( x ) ( x  h)2  x 2 mt  f (x )  lim  lim h 0 h h 0 h 2 2 2 x  2 xh  h  x h(2 x  h) mt  lim  lim  lim (2 x  h)  2 x h 0 h h 0 h h 0 como o ponto de tangência tem abscissa igual a 1, temos: m t  .1  2  logo, a equação procurada é dada por: y  1  2( x  1)  y  2x  1 O exemplo acima nada mais é do que a mais elementar entre as
  34. 34. aplicações do cálculo de derivadas.Regras de derivação Embora o cálculo apresentado não seja difícil de ser efetuado, porvezes, pode ser muito trabalhoso. Para evitar trabalho braçal em excesso,estudaremos as chamadas regras de derivação.1. Derivada da função constante: Se f ( x )  K , temos : f (k )  02. Derivada da constante multiplicada por uma função qualquer: Se f ( x )  Kg( x), temos : f ( x )  k * g (x )3. Derivada da soma de duas funções: A derivada da soma é a soma das derivadas.4. Derivada da diferença de duas funções: A derivada da diferença é a diferença das derivadas.5. Derivada do produto de duas funções: Se f ( x)  g( x ) * p( x ), temos : f ( x )  g( x ) * p ( x )  p( x ) * g ( x )6. Derivada do quociente de duas funções:
  35. 35. g( x ) Se f ( x)  p( x ) g ( x ) * p( x )  g( x ) * p (x ) f (x )  g2 (x ) Portanto, a derivada do quociente de duas funções resulta no produto daderivada primeira função vezes a segunda função do qual subtraímos o produto daprimeira função pela derivada da Segunda, em seguida, dividimos o resultadoobtido pela Segunda função elevada ao quadrado.7. Derivada da potência de x: Se f ( x )  x n , então f ( x )  nx n 108. Derivada da função composta: Sejam y  f (g( x )) . y  f (g( x )) * g ( x )10. Derivada de f(x) = log(f(x): y  log(f ( x ) f (x) y  f (x)11. Derivada de f(x) = exp(x) = ex: Se: y  e f ( x ) , então: y  e f ( x ) * f (x )12. Derivada de f(x) = ax:
  36. 36. Se: y  af ( x ) , então: y  af ( x ) * f ( x ) * ln aTabela resumo de regras de derivação: Função Derivada K Zero K.f K.f f g f g f .g f .g  f .g f f .g  f .g g g2 xn n.x n 1 f (g ) f (g ).g eu e u .u au ln a. a u .u 1 log u ou ln u .u uDerivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeirade f (ou de ordem 1). Se a derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivadasegunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante. Máximos e mínimos de função: Os pontos em destaque na figura são chamados pontos extremos dafunção. Os pontos marcados como x1 e x3 são pontos de máximo relativos (oulocais), enquanto que f(x1) e f(x 3) são valores máximos relativos. Já os pontos x 2 ex4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou locais), enquanto que f(x 2) e f(x4)são os valores mínimos relativos.
  37. 37. Observando bem a figura, é fácil compreender f é crescente para: x < x1, x  ]x 2, x3[ e x > x4. Da mesma forma, observa-se que a função é decrescente para: x  ]x1, x 2[e x  ]x 3, x4[. Os pontos extremos da função também podem ser chamados de pontoscríticos. Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x = c (do domínio def) para o qual f (c) = 0. Teorema de Fermat: “Se uma função f possui um extremo (máximo ou mínimo) local em x = ce a função f é derivável neste ponto, então x = c é um ponto crítico, isto é, f (c) =0”. Regra da primeira derivada: seja f uma função derivável sobre umconjunto S, possuindo um ponto crítico x = c no interior de S, isto é, f (c) = 0. Se aderivada de f é positiva à esquerda de x = c e é negativa à direita de x = c, então x= c é um ponto de máximo para f. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x =c e é positiva à direita de x = c, então x = c é um ponto de mínimo para f. Exemplo: dada a função definida por y = 1 – x², definida em D = R, sabe-se que sua derivada primeira é y = –2x; anulando a derivada, o único ponto críticoocorre em x = 0. Então y > 0 se x < 0 e y < 0 se x > 0, nesse caso, x = 0 é um pontode máximo local para a função f. Regra da segunda derivada: Para verificar se um ponto (que anula aprimeira de uma função) representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-seo teste da segunda derivada de segunda, isto é: a) deriva-se a função; b) iguala-se a derivada primeira a zero; c) a regra em si: Seja a função f duas vezes diferenciável no intervaloaberto I. Então, (i) se y’’ (segunda derivada) > 0 para todo x em I (intervalo),então f possui mínimo. (ii) se y’’ < 0 para todo x em I, então f possui máximo.Cálculo de diferenciais:
  38. 38. Definição: Se a função f é definida por y = f(x), então a diferencial de y,no ponto x 0, denotada por dy ou df é dada por df = f’(x0)*∆x onde x0 pertence aodomínio de f’ e ∆x é um incremento de x0. Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcularaproximadamente as variações de f, para pequenos valores de ∆x. Considere a função: f (x )  3 x 2 , x 0  1 e x 0  x  1,01 . Calcular ∆f e df. Resolução: x  1,01  1  0,01 . f  f ( x 0  x )  f (x 0 ) f  f (1,01)  f (1) f  3 * 1,012  3 * 12 f  3 * 1,0201  3 * 1 f  3,0603  3 f  0 ,0603 Para calcularmos a diferencial de f no ponto x0 = 1 e ∆x = 0,01, teremos f ( x )  6 x e f (1)  6 * 1  6 Assim, df  f ( x 0 ) * x  f (1) * 0,01  6 * 0,01  0,06 Portanto, f  0,0603 e df  0,06 .Funções marginais: Em Administração e Economia, dada uma função f(x), costuma-seutilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) poruma pequena variação de x. Chama-se função marginal de f(x) à função derivadade f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a funçãoreceita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.Função custo marginal Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certoproduto, com x ≥ 0 e C(x) ≥ 0. A função C é chamada de função custo total e temos
  39. 39. a seguinte definição: Se C(x) é o custo total de produção de x unidades de umproduto, então o custo marginal quando x = x0, é dado por C’(x0), caso exista. Afunção C’(x) é chamada função custo marginal. Suponhamos que C(x) seja o custo total de fabricação de x pares decalçados da marca “Só no sapatinho” dado pela equação C(x) = 110 + 4x + 0,02x2.Determinar o custo marginal quando x = 50. 1°) calcular a derivada da função C( x )  110  4 x  0,02x 2 : C ( x)  4  0,04 x e fazer x = 50: C (50)  4  0,04 * 50  6 . A taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados sãofabricados, é R$ 6,00 por par fabricado. O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é C (50)  C  C(51)  C(50) C(51)  C(50)  (110  4 * 51  0,02 * 512 )  (110  4 * 50  0,02 * 50 2 ) C(51)  C(50)  366,02  360 C(51)  C(50)  6,02 Logo, C (50) é o custo aproximado da produção do qüinquagésimoprimeiro par de calçado. Portanto, o custo marginal quando x  50 é C (50)  6 .Função receita marginal Suponha que R ( x ) seja a receita total obtida pela venda de x unidadesde um produto. Se R ( x ) é a receita obtida quando x unidades de um produto sãodemandadas, então a receita marginal, quando x  x 0 , é dada por R ( x 0 ) , casoexista. A função R ( x ) é chamada função receita marginal. R ( x 0 ) pode serpositiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação dareceita total quanto x  x 0 unidades são demandadas. Assim, teremos, R ( x 0 )  R  R ( x 0  1)  R ( x 0 ) . Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da
  40. 40. receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x0 unidades. Seja R ( x ) a receita total recebida na venda de x cadeiras, eR ( x )  4 x 2  2000 x . Calcular a receita marginal para x = 40. 1°) a derivada da função R ( x )  4 x 2  2000x , R ( x )  8 x  2000 e aplicar ponto de abscissa x = 40: R (40)  8 * 40  2000  1680 Como, R (40)  R (41)  R (40) R (40)  4 * 412  2000 * 41  (4 * 402  2000 * 40) R (40)  75.276  73.600 R (40)  1.676 R (40) é a receita efetiva da venda da quadragésima primeiracarteira.Portanto, a receita marginal quando x  40 é R (40)  1.680Função produtividade marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidadex de um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal dofator à derivada da função P em relação a x. Seja P a quantidade (em toneladas) produzida por mês de certo produtoe x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela funçãoprodução P( x )  1016 x . Determinar a produtividade marginal quando x = 64. Calcula-se a derivada da função P( x )  1016 x 1 P( x )  1016 x  1016 x 2  1016x 0 ,5 então 508 508 P (x )  1016 * 0,5 * x (0 ,5 1)  508x  0 ,5   x 0 ,5 x Calculando a produtividade marginal quando x = 64, teremos: 508 508 P (64)    63,5 64 8
  41. 41. Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento naprodução mensal será, aproximadamente, 63,5 toneladas. Portanto, a produtividade marginal da função produçãoP( x )  1016 x quando x = 64 é 63,5 toneladas.Elasticidade De forma geral, elasticidade é o tamanho do impacto que a alteraçãoem uma variável (ex.: preço) exerce sobre outra variável (ex.: demanda). Aelasticidade pode ser compreendida como sendo a alteração percentual de umavariável, dada a alteração percentual em outra; elasticidade, então, se tornasinônimo de “sensibilidade, resposta, reação” de uma variável, em face demudanças em outras variáveis. Os economistas dizem que ma variável elástica responde bastante apequenas mudanças de outras variáveis. Já a variável inelástica não responde amudanças em outras variáveis.Elasticidade da demanda: A Elasticidade-Preço da demanda mede o aumento ou diminuição, emporcenta- gem, da quantidade demandada devido a uma mudança percentual nospreços, ou seja, mede o quanto a quantidade demandada por um bem muda devidoa uma mudança no preço daquele bem. dq p Para calcular a elasticidade, deve-se fazer: E  * . dp qReferências Bibliográficas:ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 1 – Funções de uma variável. 6. ed., Rio de Janeiro:LTC, 1994.BIANCHINI, Edwaldo e PACOOLA, Herval. Matemática 1. São Paulo: Moderna, 1989.
  42. 42. BUSHAW, Donald (et. al.) Aplicações da matemática escolar. (trad.: Hygino H.Domingues). São Paulo: Atual, 1997. (p. 214-5)HUGHES-HALLETT, Deborah (et. al.). Cálculo e Aplicações. (trad.: Elza F. Gomide)São Paulo: Edgard Blücher, 1999.IEZZI, Gelson (et. al.) Matemática, 1ª série, 2º grau. , 14. ed., São Paulo: Moderna, 1991.IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1:conjuntos e funções. 7. ed., São Paulo: Atual, 1993.LIMA. Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1985. MARQUES, Paulo. [www.terra.com.br/educacão/matemática]NETTO, Scipione di Pierro (et. al.). Elementos de Matemática – 1ª e 2ª séries –núcleo comum, 2º grau. São Paulo: Scipione, 1979.NETTO, Scipione di Pierro e ORSI Filho, Sérgio. Quanta – matemática para o ensinomédio. Volume 1 . 1. ed., São Paulo: Saraiva, 1999.WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. ed., São Paulo:Harbra, 1986.Sites Relacionadoswww.exatas.hpg.ig.com.br – o site apresenta diversos trabalhos de vários cursinhospré-vestibulares em funcionamento no Estado de São Paulo.www.inep.gov.br – exercícios do ENEM (exame nacional do ensino médio) – o siteapresenta gabarito.www.terra.com.br/educação/matemática – o site apresenta trabalho do ProfessorPaulo Marques que, há alguns anos, inovou a discussão de testes de vestibularatravés de página pessoal.MÍDIA RELACIONADACD – Vestibulando – Editora Abril – Acompanha a revista de mesmo nome.Ática Multimídia – Disquetes 3,5” – acompanham a Coleção: Matemática para osegundo grau da Editora Ática.Prova Simulada de Matemática - Disquetes 3,5” – acompanham a Coleção: De Olho
  43. 43. no Vestibular da Editora FTD.

×