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Trabajo vectores en el plano y el espacio

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En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es
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  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio Popular de Educación Superior Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Bachiller: Jonathan Villarroel C.I: 26.256.106 Tecnol. Mecánica Mtto. Puerto. La Cruz, Octubre 2.015
  2. 2. INTRODUCCIÓN El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. En física, un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas. En informática, se lo conoce también como arreglo en una dimensión. En biología, se dice del elemento portador del agente infeccioso, como podría ser el mosquito Anopheles infectado con Plasmodium, causante de la malaria. En genética, un vector es un agente, que puede ser un virus o un pequeño fragmento de ADN llamado plásmido, que porta un gen extraño o modificado. Cuando se usa en terapia génica, el vector pasa el gen deseado a una célula objetivo En esta oportunidad se desarrollará su estudio en el campo de las matemáticas. Vectores en el plano y el espacio, su definición. Características (magnitud, dirección y sentido) tanto en el plano como en el espacio.
  3. 3. VECTOR: En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio . Así pues, en el plano, un vector no es más que un trozo de recta, en el que se diferencia claramente su origen y su extremo Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta. Esquema de un vector como un segmento de recta entre dos puntos A y B
  4. 4. Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano). Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como: (left) , donde Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ). Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:  Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura )  Módulo: Es el tamaño que tiene el segmento orientado. La longitud del segmento. Corresponde al tamaño del vector, se simboliza como valor absoluto  Dirección: Es la inclinación que tiene el vector respecto al eje de abcisas (eje de las X). esta inclinación se mide a travs del angulo menor que forma el vector con eje 0X o un eje paralelo. Es la orientación de la recta. corresponde a la línea recta en la cual el vector está contenido, también se llama línea de acción o recta soporte.  Sentido: Es la orientación que adopta el vector. Se puede diferenciar entre Norte, Sur, Este, Oeste, Noreste, Sureste, Suroeste. Indica cual es el origen y cuál es el extremo final de la recta. es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo derecha o izquierda, arriba o abajo) Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.
  5. 5. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Coordenadas cartesianas. Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa: siendo sus coordenadas: Si se considera el triángulo formado por las componentes (como catetos) y (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando por elcosα (siendo α el ángulo formado por y ) o multiplicando por el senβ (siendo β el ángulo formado por y ). De igual forma se puede calcular multiplicando por el senα o multiplicando por el cosβ (considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente). Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
  6. 6. Coordenadas tridimensionales. Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar: siendo sus coordenadas: Si se representa el vector gráficamente se puede diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector. El módulo, magnitud o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector. El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
  7. 7. El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector. El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector. Por lo tanto en un vector se puede diferenciar: Nombre – Dirección – Sentido – Módulo -Punto de aplicación MAGNITUD O MÓDULO DE UN VECTOR La magnitud de un vector en el plano es la medida de su longitud. Para calcular la magnitud de un vector , llamada también módulo de , conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente fórmula:
  8. 8. Módulo de : Esta fórmula es una aplicación del Teorema de Pitágoras, El triángulo es rectángulo y es la hipotenusa. Por lo tanto, . Es decir, ó Ejemplo: El módulo del vector es , pues
  9. 9. VECTOR EN EL ESPACIO: Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Se debe recordar que: Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector. Todo vector se caracteriza por: Módulo: que es la distancia del punto P al Q. Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela). Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q. (cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido). Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores:  PQ y  RS cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él. Todos ellos son representantes de un único vector. Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula:  u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima:  PQ A partir de los vectores, se construirá, un sistema de referencia que va a permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras espaciales. Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores (que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).  Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen.
  10. 10.  A los vectores de la base:         kjiB ,, (en adelante, supondremos que la base utilizada es siempre ortonormal).               kjiOR ,,, A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo P        OP que tiene unas coordenadas,  cba ,, , en la base         kjiB ,, del sistema de referencia dado. Se dice que  cba ,, son las coordenadas del punto P en la referencia R . Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto. Ejemplo.- Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:  3,2,5P  5,2,3 Q  0,4,1R  4,0,0S  3,6,0T
  11. 11. Sol.- Componentes de un vector en el espacio Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
  12. 12. Módulo de un vector El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. Cálculo del módulo conociendo sus componentes Ejemplo: Dados los vectores y , hallar los módulos de y · Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
  13. 13. EJERCICIOS 1. Calcule el magnitud de los vectores UV donde U (2,1), V (-3,2) UV = √(𝒗𝒙 − 𝒖𝒙) 𝟐 + (𝒗𝒚 − 𝒖𝒚) 𝟐 UV = √(−𝟑 − 𝟐) 𝟐 + (𝟐 − 𝟏) 𝟐 UV = √(−𝟓) 𝟐 + (𝟏) 𝟐 UV = √ 𝟐𝟓 + 𝟏 UV = √ 𝟐𝟔 = 5, 09 2 Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas componentes Vy = 8 rectangulares son Vx = −12 Como se conocen las componentes cartesianas del vector V es posible aplicar en forma inmediata la ecuación que define el módulo de un vector, es decir: V = √(𝒗𝒙) 𝟐 + (𝒗𝒚) 𝟐 = √(−𝟏𝟐) 𝟐 + (𝟖) 𝟐 = √ 𝟏𝟒𝟒 + 𝟔𝟒 = √ 𝟐𝟎𝟖 = 14,422, es decir, la magnitud del vector V es 14,422. Como Vx es negativa y Vy es positiva, el vector se encuentra en el segundo cuadrante, y por lo tanto la dirección queda determinada por α = 180º− β β = tg-1 𝑉𝑦 𝑉𝑥 β = tg-1 8 12 β = 33,69º Por lo tanto la dirección es: α = 180º−33,69º = 146,31 dirección de V y
  14. 14. 3. Encontrar las componentes cartesianas de un vector V  cuya magnitud vale 80 y su dirección es de 230º Como las componentes de un vector quedan determinadas con las ecuaciones Vx = v * cos α Vy = v * sen α Vx = 80* cos 230 = − 51,42 Vx = 80* sen 230 = − 61,28 x 8 -12 α = 146,31 β = 33,69º
  15. 15. Vectores en el Espacio 1. Determinar magnitud y dirección del vector V = 5 i − 8 j + 10 k UV = √𝒊 𝟐 + 𝒋 𝟐 + 𝒌 𝟐 UV = √ 𝟓 𝟐 + (−𝟖) 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 UV = √ 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒 + 𝟏𝟎𝟎 UV = √ 𝟏𝟖𝟗 = 13,75 (Magnitud del vector V) La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores, es decir: Cos βx = 𝑽𝒙 𝑽 Cos βy = 𝑽𝒚 𝑽 Cos βz = 𝑽𝒛 𝑽 βx = cos-1 𝑉𝑥 𝑉 βy = cos-1 𝑉𝑦 𝑉 βz = cos-1 𝑉𝑧 𝑉 βx = cos-1 5 13,75 βy = cos-1 −8 13,75 βz = cos-1 10 13,75 βx = 68,673º βy = 125,584º βz = 43,333º
  16. 16. 2- Dados los vectores F1 = −5 i + 8 j – 15 k, F2 = −7 i - 12 j + 3 k, F3 = 6 i + 9 j + 2 k, obtener magnitud y dirección de la resultante R = F1 + F2 + F3 La resultante R se obtiene simplemente sumando los términos semejantes, es decir: R = (−5 i + 8 j – 15 k) + (−7 i - 12 j + 3 k) + (6 i + 9 j + 2 k) R = (−5 −7 +6) i + (8 – 12 + 9) j + (-15 + 3 + 2) k R = -6 i + 5 j – 10 k La magnitud de R es R = √𝒊 𝟐 + 𝒋 𝟐 + 𝒌 𝟐 R = √(−𝟔) 𝟐 + 𝟓 𝟐 + (−𝟏𝟎) 𝟐 R = √ 𝟑𝟔 + 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎𝟎 R = √ 𝟏𝟔𝟏 = 12,69 La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores, es decir: Cos βx = 𝑽𝒙 𝑽 Cos βy = 𝑽𝒚 𝑽 Cos βz = 𝑽𝒛 𝑽 βx = cos-1 𝑉𝑥 𝑉 βy = cos-1 𝑉𝑦 𝑉 βz = cos-1 𝑉𝑧 𝑉 βx = cos-1 −6 12,69 βy = cos-1 5 12,69 βz = cos-1 −10 12,69 βx = 118,22º βy = 66,79º βz = 142,00º

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