equilibrio

2. CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS
“El equilibrio es la consideración más
importante de la posición de en guardia.”.
Bruce Lee
Mg. Ing. Sergio Herrera Ramírez – Facultad de Ingeniería Civil

3. AGENDA
1. Equilibrio de una partícula.
2. Equilibrio de sólidos rígidos.
3. Equilibrio de un sólido rígido de dos dimensiones.
4. Reacciones en los apoyos de una estructura bidimensional.
5. Tipos de apoyos.
6. Restricción isostática de un sólido bidimensional.
7. Vinculación hiperestática de un sólido bidimensional.
8. Problemas de cálculo de reacciones en los apoyos de una
estructura bidimensional.
9. Evaluación / actividad aplicativa

4. Al finalizar la sesión, el estudiante aplica las ecuaciones de equilibrio
estático para calcular las reacciones en los apoyos de una estructura,
mostrando orden y precisión en sus cálculos.
LOGRO DE LA SESIÓN

5.  …
 …
 …
 …
SABERES PREVIOS SOBRE EL TEMA
 …
 …
 …
 …
LOGRO CON RELACIÓN A LA INGENIERIA CIVIL

6. Condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio es:
0
0
0






z
F
y
F
x
F
0
k
)
F
(
J
)
F
(
i
)
F
(
0
)
k
F
J
F
i
(F
0
F
R
Z
Y
X
Z
Y
X

















Descomponiendo:
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula
es cero, la partícula está en equilibrio.

3.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

7. Un sólido rígido está en equilibrio cuando las fuerzas externas que
actúan sobre él forman un sistema equivalente a cero:
(Fuerza Nula y Par Nulo)
0
z
M
0
y
M
0
x
M
0
z
F
0
y
F
0
x
F
0
)
F
x
r
(
M
0
F o


















3.2 EQUILIBRIO DE SÓLIDOS RÍGIDOS

8. 3.3 EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO DE DOS DIMENSIONES

9.  0
o
M
0
y
F
0
x
F
o
M
z
M
:
si
0
y
M
x
M
,
0
z
F
:
plano
el
En











Y
X
J
i
o

10. Considerando equilibrio en una estructura bidimensional (la estructura y
las fuerzas aplicadas contenidas en un plano) las reacciones,
evidentemente, también estarán contenidas en el plano de la figura.
Una estructura bidimensional tiene 3 clases de movimientos
independientes, es decir, 3 grados de libertad:
Y
X
- Movimiento de translación en la dirección X.
- Movimiento de translación en la dirección Y.
- Movimiento de rotación alrededor del eje Z.
Todo movimiento que tenga ese cuerpo se
puede expresar en estos 3 grados de libertad.
Posición
Inicial
Posición
Final
3.4 REACCIONES EN LOS APOYOS DE UNA
ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL

11. Reacción
perpendicular
a la superficie
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
Reacción en
la dirección
de la barra
90º
R
Apoyo
móvil
GRADOS DE
LIBERTAD
Barra
R
Se anula sólo un
grado de libertad
(la translación en
la dirección de R)
1
3.5 TIPOS DE APOYOS

12. Ry
Apoyo
fijo
Reacción «R»
representada por
sus componentes
X e Y
GRADOS DE
LIBERTAD
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
2 Barras
Anula dos grados de
libertad (anula toda
translación, se fija en
un punto) pero no
evita que el sólido
gire alrededor de la
conexión.
2
Rx
R2
R1
R

13. GRADOS DE
LIBERTAD
NÚMERO DE
INCÓGNITAS
Anula tres grados de
libertad (se fija en
dos puntos, y el
cuerpo no se traslada
ni rota), inmoviliza
por completo el
cuerpo bidimensional.
3
Ry
Mo
RX
Empotramiento

14. F1
F2
F1
F2
F1
F2
F1
F2
Formas de anular los tres grados de libertad (anular todo
posible movimiento de un cuerpo).
3.6 RESTRICCIÓN ISOSTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL

15. F2
F1
NOTA:
Se debe evitar que las tres reacciones sean concurrentes en un
punto o paralelas; ya que esto permitiría el movimiento del cuerpo y
no se podría mantener el equilibrio del cuerpo.
F1
El cuerpo puede rotar
alrededor del punto
concurrente
F2
El cuerpo puede
trasladarse en la
dirección perpendicular
a las reacciones
Ejemplos:

16. Cuando se emplea un exceso de ligadura (apoyos) de los
necesarios y suficientes para la restricción isostática.
Hiperestática
1º Grado
(sobra una barra)
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
1º Grado
Hiperestática
2º Grado
Hiperestática
3º Grado
Hiperestática
2º Grado
Hiperestática
3º Grado
3.7 VINCULACIÓN HIPERESTÁTICA DE UN SÓLIDO BIDIMENSIONAL

17. ºHIP = GRADO HIPERESTÁTICO: Número de exceso de restricciones isostáticas.
Nº INCOG = NÚMERO DE INCOGNITAS: Número de reacciones a determinar.
Nº EC. EST. = NÚMERO DE ECUACIONES DE LA ESTÁTICA.
(Para estructuras bidimensionales = 3 : FX = 0, FY = 0, Mo = 0 ).
Nº EC. ESP. = NÚMERO DE ECUACIONES ESPECIALES.
Número de rotulas en la estructura ( Mrótula = 0).
ºHIP = Nº INCOG - [Nº EC. EST. + Nº EC. ESP.]
Nº INCOG: 4
Nº EC. EST: 3
Nº EC. ESP: 1
 ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0
 ISOSTÁTICO
Ejemplo:
Rótula Rótula
Rótula
VIGAS GERBER (PUENTES)
ºHIP = 5 – ( 3 + 2 ) = 0
 ISOSTÁTICO
ARCO TRIARTICULADO
ºHIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0
 ISOSTÁTICO
Grado Hiperestático

18. NOTA 1:
Sentido de las reacciones: se debe suponer un sentido arbitrario para la
fuerza o par, el signo de la respuesta obtenida indicará si la suposición fue
correcta o no.
NOTA 2:
La elección de las ecuaciones de equilibrio a emplear, no debe estar
influenciada por el significado físico de esas ecuaciones. Es deseable
elegir ecuaciones de equilibrio que contengan una sola incógnita, ya que
esto elimina la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones.
NOTA 3:
Las reacciones hiperestáticas se pueden determinar considerando las
deformaciones producidas y ello pertenece al estudio de la “Resistencia
de Materiales”. Estáticamente son indeterminadas.
3.8 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE REACCIONES EN LOS APOYOS
DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL

19. PROBLEMA 1:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
A
B
4 tn-m
6 tn
30º
3 tn
2 m 2 m 2 m 2 m

20. AX
6 cos 30º
3 tn
6 sen 30º
AY BY
4 tn - m
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
- Asumimos como sentidos positivos:
Y
X
+
Estáticamente se pueden
determinar las reacciones
2 m 2 m 2 m 2 m
 AY = 3,13 tn
+  MA = 0 :  By = 5,06 tn
- 6 cos 30º (2) + 4 + By (6) – 3 (8) = 0
+  FX = 0 : AX – 6 sen 30º = 0  AX = 3,00 tn
+  FY = 0 : AY – 6 cos 30º + BY – 3 = 0

21. 3 m
3 m
3 m 3 m 3 m 3 m
4 m
2 m
10 tn
20 tn
30 tn
40 tn
A
B
PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:

22. AX
Bx
BY
3m
3m
3m 3m 3m 3m
4m
2m
10 tn
20 tn
30 tn
40 tn
A
B
Significa, solamente, que el sentido
asumido no es correcto, la reacción BX
es hacía la izquierda ( )
+  MB = 0 :
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
 BX = - 100 tn
- AX (3) + 40 (6) + 30 (3) + 20 (0) – 10 (3) = 0
 AX = 100 tn
+  FX = 0 :
AX + BX = 0
BY - 40 - 30 – 20 – 10 = 0  By = 100 tn
+  FY = 0 :

23. PROBLEMA 2:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos.
3 m
3 m
A C
F
D
G
E
30º
30º 30º
30º
25 tn
B
50 tn

24. +  MC = 0 :
30º 30º
25 tn
B
50 tn
30º
30º 60º
60º
60º
A C
AX
AY CY
CX
3m 3m 3m
3
2
3
4
9
4
9
4
9
4
9
º HIP = 4 – ( 3 + 1 ) = 0 : Isostático
Rótula en “B”
 CY = 31,25 tn
- AY (9) + 50 (27/4) + 25 (9/4) = 0  AY = 43,75 tn
+  MA = 0 : + CY (9) - 50 (9/4) - 25 (27/4) = 0

25. Cuando se tiene una rótula, la condición de equilibrio debe ser aplicada en un
subsistema de manera independiente (en la parte izquierda o derecha de la rótula).
AX
AY
CX
CY
50 tn 25 tn
BX
BX
BY
BY
0
)
4
9
(
50
)
2
9
(
A
)
3
2
3
(
A Y
X 



+  FX = 0 :
+  MB
izquierda = 0 :  AX = 32,48 tn
AX – CX = 0  CX = 32,48 tn
Ahora, regresando al sistema completo:

26. PROBLEMA PARA LOS GRUPOS DE TRABAJO:
Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
5 tn
2m
3 tn
1
3

2m 2m 2m
2m
2m
2m
A
B

27. PROBLEMA 3:
Para la viga mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:
A B
1m 1m
1m 3m
0.5 tn/m
0.5 tn 0.5 tn

28. RBY
A B
RBX
RA
1m 1m
1m 3m
0.5 tn/m
0.5 tn 0.5 tn
1.5 m 1.5 m
P = (0.5 tn/m)(3m) = 1.5 tn
º HIP = 3 – ( 3 + 0 ) = 0 : Isostático
Para el cálculo de reacciones cuando se tiene una carga repartida por unidad de longitud,
puede emplearse, en su lugar, una carga equivalente “puntual”, de magnitud igual al área de la
carga repartida y aplicada en el centro de gravedad de dicha carga.
 RBY = 0,75 tn
+  MB = 0 : + 0,5 (6) – RA (5) + 1,5 (3,5) + 0,5 (1) = 0  RA = 1,75 tn
+  FX = 0 : RBX = 0
+  FY = 0 : - 0,5 + RA – 1,5 – 0,5 + RBY = 0

29.  …
 …
 …
 …
CONCLUSIONES - ¿QUÉ APRENDIÓ HOY?
 …
 …
 …
 …
¿QUÉ TEMAS VAMOS A DESARROLLAR LA SIGUIENTE CLASE?

30.  Beer, F., Johnston, R. , Mazurek, D. y Eisenberg, E. (2010). Mecánica
vectorial para ingenieros – Estática. Novena Edición, McGraw-
Hill/Interamericana Editores, S.A. ISBN-13: 978-607-15-0277-3. México.
 Hibbeler, R.C. (2010). Mecánica para ingenieros – Estática.
Decimosegunda edición. Pearson Educación, Inc. ISBN: 978-607-442-561-
1. México.
 Herrera, S. (2019). Curso de Estática – Apuntes de clase. Universidad
Nacional de Ingeniería. Perú.
REFERENCIAS