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Ecuaciones Paramétricas

  1. 1. Alumno: Jesus Rosales C.I 28.576.500 Republica Bolivarina de Venezuela Ministerio del poder Popular para la Educacion Ecuaciones Paramétricas
  2. 2. INTRODUCTION En las siguientes diapositivas se va a estar hablando de las ecuaciones paramétricas como tema base de este presente trabajo en las cuales los sistemas de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Mediante este tema nos desglosaremos para hablar sobre las generalidades del algebra vectorial en las cuales son las que se encargan de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales también realizamos una presentación de su grafica utilizando las generalidades del algebra vectorial. En las diapositivas también se muestran lo que es una longitud de un arco en la cual también llamada rectificación de una curva. La longitud de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal y realizamos una breve explicación de como encontrar la longitud de una curva, mediante la transformación de las ecuaciones paramétricas a cartesiano
  3. 3. Generalidades de algebra Vectorial Un vector en R es una disposición ordenada de n números reales. Podemos escribir un vector como una lista de sus componentes: De manera equivalente, como columna 𝑣 = (𝑣1, … 𝑣 𝑛) 𝑣 = 𝑣 = 𝑣1 . 𝑣 𝑛 Podemos sumar dos vectores del mismo tamaño o podemos multiplicar un vector por un número. La suma en R2 se representa gráficamente:
  4. 4. El vector tiene una magnitud, una dirección positiva o negativa y un punto de aplicación. Sin embargo, siempre que se proporcione el tamaño del vector, el vector se puede especificar completamente Y tu dirección Por ejemplo: aplique una fuerza de 500 Newtons para mover el objeto 45 ° de este a norte.
  5. 5. PLANO CARTESIANO El plano cartesiano es un sistema de referencia bidimensional, es decir, tiene dos variables La ubicación de una ubicación específica. Consiste en dos líneas verticales llamadas ejes planos, La horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas, y la vertical se llama eje "y" o Ordenado. La intersección de estos dos ejes se llama origen (0,0), que es el centro del sistema cartesiano. Además, los números de cuadrante del plano son los siguientes:
  6. 6. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO Es importante señalar que un punto representa una trayectoria en el plano cartesiano, que es Consta de dos variables: una en el eje "x" y la otra en el eje "y", en este punto lo llamamos Par ordenado (x, y). Por ejemplo: Ubicar el par ordenado (4,5) en el plano cartesiano. 1. Encuentra el origen 2. Avance el número de veces indicado por la primera coordenada en movimiento horizontal, Si la coordenada "x" es positiva, muévase hacia la derecha; si la coordenada "x" es positiva, muévase hacia la izquierda negativo. 3. Finalmente, realice el movimiento vertical hacia adelante el número indicado por segunda vez Coordenadas, si la coordenada "y" es positiva, sube; si la coordenada "y" es positiva, baja negativo. Entonces, K representa el punto (4,5).
  7. 7. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO
  8. 8. Un vector es una herramienta geométrica que puede generar transformaciones en el plano cartesiano. De esta forma, los objetos que contiene se pueden mover a otras posiciones geométricas. Los vectores actúan sobre figuras o puntos y los mueven de acuerdo con sus coordenadas. Por ejemplo, para aplicar el vector de transformación (-2, -4) al ejemplo anterior, debemos Siga los pasos a continuación: 1. Estamos en la posición del vector de traducción de la aplicación. 2. Avanzamos el número de veces indicado por la primera coordenada moviéndonos horizontalmente, Si la primera coordenada "x" es positiva, vaya a la derecha; si la coordenada "x" está a la izquierda, vaya a la izquierda Es negativo. 3. Luego, avanzamos el número de veces indicado por segunda vez en el movimiento vertical Coordenadas, si la segunda coordenada es positiva, sube; si la segunda coordenada es positiva, baja Las coordenadas son negativas. Entonces, K representa el punto (4,5).
  9. 9. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO
  10. 10. VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO Vector es una herramienta geométrica que puede generar transformaciones en planos cartesianos De esta forma, los objetos que contiene se pueden mover a otras posiciones geométricas. Los vectores actúan sobre figuras o puntos y los mueven de acuerdo con sus coordenadas. Por ejemplo, para aplicar el vector de transformación (-2, -4) al ejemplo anterior, debemos Seguir los pasos a continuación: 1. Estamos en la posición del vector de traducción de la aplicación. 2. Avanzamos el número de veces indicado por la primera coordenada moviéndonos horizontalmente, Si la primera coordenada "x" es positiva, vaya a la derecha; si la coordenada "x" está a la izquierda, vaya a la izquierda Es negativo. 3. Luego, avanzamos el número de veces indicado por segunda vez en el movimiento vertical Coordenadas, si la segunda coordenada es positiva, sube; si la segunda coordenada es negativa.
  11. 11. cuando el vector de traslación de (-2, -4) se aplica al punto K (4,5), se encontrará un nuevo punto En M (2,1): Puede encontrar el punto en movimiento fácil y rápidamente. Solo agrega coordenadas (4,5) + (- 2, -4) = (4-2,5-4) = (2,1) del punto y su vector de traslación. Por tanto, el nuevo El punto será (2,1). No olvide que el vector también se puede aplicar a los gráficos, porque debe usarse solo El proceso anterior se aplica a cada punto del gráfico.
  12. 12. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Una combinación lineal de n vectores: n R es un vector que se puede escribir de la forma: Donde r1, r2…son escalares reales. Un ejemplo sencillo de combinación lineal de dos vectores es
  13. 13. Un vector unitario es un vector de tamaño 1, sin unidad. Su único propósito es Dirección, que describe la dirección espacial. El vector unitario proporciona una Notación conveniente para muchas expresiones que contienen componentes vectoriales. Siempre incluiremos un símbolo de intercalación o "sombrero" en el símbolo del vector unitario para Distinguirlo de los vectores ordinarios cuyo tamaño puede ser 1 o no. En el sistema de coordenadas x-y, podemos definir un vector unitario apuntando en la dirección Las coordenadas del eje 1x y el vector unitario apuntando en la dirección del eje 1y. Por lo tanto, expresamos la relación entre los vectores y los componentes de la siguiente manera:
  14. 14. Los signos igual y más en negrita indican la suma de la ecuación del vector. Cuando representamos dos vectores y sus componentes, podemos representar El resultado de usar el vector unitario es el siguiente:
  15. 15. El producto cruzado de Gibbs o producto cruzado es una operación binaria entre dos vectores Un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular al vector Multiplica, de manera perpendicular al plano que los contiene. Debido a su Un vector perpendicular a los otros dos vectores, cuya dirección cambia según el ángulo entre ellos Estos dos vectores, esta operación se usa a menudo para resolver problemas Matemáticas, física o ingeniería.
  16. 16. Las Ecuaciones Paramétricas
  17. 17. Las Ecuaciones Paramétricas Las ecuaciones paramétricas pueden representar curvas o superficies en un plano o superficie del Espacio a través de los valores espaciados por números reales, Las variables, llamadas parámetros, tratan cada coordenada de un punto como una función Depende de los parámetros. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si (Utilizando 2D o 3D respectivamente) se consideran variables independientes, el resto son variables dependientes, cuyo valor es Cuando los valores restantes son sus valores iguales a la gráfica de la función parámetro. Entonces, por ejemplo, la expresión en cualquier punto {(x, y)} es igual a La expresión {(x, f (x))}. La limitación de esta representación es que la curva debe ser una función de {x} en {y}, En otras palabras, todos los valores {x} tienen un valor {y}, y solo hay un valor correspondiente en {y}. No Todas las curvas cumplen esta condición. Para poder trabajar así Esta será una característica, lo que debe hacer es seleccionar un dominio e imagen diferentes, donde Si es una función, es lo mismo. Por esta razón, trate tanto x como y como variables Dependiente, el resultado proviene de la tercera variable (sin representación gráfica) Estos se denominan "parámetros".
  18. 18. En algunos casos, ayuda a simplificar las operaciones de derivación e integración en lugar de {y = f (x)} o Desde {z = F (x, y)}. En una situación típica, la cicloide se expresa mediante una ecuación parámetro. Ejemplo N ° 1: Sea {3x-2y-5 = 0} la ecuación general de una línea recta, entonces la ecuación se ajusta al parámetro Ejemplo N°2: Dada la ecuación {y=x^{2},} una parametrización tendrá la forma:
  19. 19. Una parametrización posible sería. CURVA NOTABLES CIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que Una expresión paramétrica es Ecuación paramétrica de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).
  20. 20. ELIPSE Toma (X0 , YO ), que es el mismo que el eje X de (X0 ± α, 0) y (0, y0 ± b), verificar: Una expresión paramétrica es
  21. 21. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA La representación de parámetros de una curva en un espacio n-dimensional contiene n funciones La variable t, en este caso la variable o parámetro independiente (generalmente Piensa que t es un número real y representa un punto en el espacio n-dimensional A través de n coordenadas reales) en la forma donde xi representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo: para representar una curva en el espacio, usamos 3 funciones x = x (t), y = y (t), z = z (t) Por lo general, se requiere el intervalo [a, b] para que cada punto a≤t <b corresponda a un Punto fuera de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son El punto correspondiente a t = b se llama curva.
  22. 22. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA Representación paramétrica de la curva Si se cumplen las siguientes condiciones, el punto de la curva correspondiente al valor t en el intervalo se denomina punto ordinario La derivada de la función paramétrica existe en este punto y es continua en este punto, al menos Uno es diferente de 0. Si el arco de la curva consta solo de puntos ordinarios, Llamado suave. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial dónde Representa el vector unitario correspondiente a la k-ésima coordenada. P.ej, La función paramétrica del círculo unitario centrado en el origen es x = cos t y y = sin t. Podemos combinar estas ecuaciones en una sola ecuación de la forma
  23. 23. ¿Cómo convertir una curva paramétrica y polar a una rectangular o cartesiana?
  24. 24. Es un sistema de coordenadas bidimensional, en el que cada punto del plano consta de un ángulo y Algo de distancia. Más precisamente, son: un punto O (llamado origen o polo) del plano y una línea La dirección que pasa por O (o rayo o segmento de línea OL) se llama eje polar (equivalente al eje x del sistema) Descartes) como sistema de referencia. Utilice este sistema de referencia y unidad de medida (para poder asignar cada Cada par de puntos en el plano), cada punto P en el plano corresponde a un par ordenado (r, θ), donde r es La distancia de P al origen, θ es el ángulo formado entre el eje polar y la línea recta OP de O a P. El valor θ aumenta en sentido antihorario y disminuye en sentido horario. La distancia r (r≥0) se llama "Coordenada radial" o "vector de radio", y el ángulo es "coordenada de ángulo" o "ángulo polar".
  25. 25. En el caso del origen O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es incierto. a veces La convención de usar (0,0º) para indicar el origen. En el plano del eje xy con el centro de coordenadas en el punto O, La coordenada polar del punto M en el plano, definida por la distancia r desde el centro de coordenadas El ángulo del vector de posición alrededor del eje x. Convertir coordenadas polares en coordenadas rectangulares Defina un punto por el ángulo θ del punto en coordenadas polares con respecto al eje xy la distancia r desde el punto central Coordenadas, tenemos: X = r cos θ Y = r sen θ
  26. 26. Definir un punto en el plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), tenemos la coordenada polar r como: Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos: Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe restringirse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, Los intervalos utilizados son [0, 2π) y (-π, π]. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), la siguiente fórmula (que representa Función tangente):
  27. 27. Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
  28. 28. o equivalentemente Muchos lenguajes de programación modernos evitan almacenar símbolos moleculares y El denominador se beneficia de la realización de la función atan2, que es Numerador y denominador. En idiomas que permiten parámetros opcionales, la función atan puede Recibe la coordenada x como parámetro
  29. 29. Conclusión Se da una ventana, que da diferentes curvas cartesianas Las ecuaciones en forma de sus parámetros no solo son suficientes para construir conceptos matemáticos Representación única de las actividades laborales en el sistema, pero las tareas deben realizarse Conversión entre diferentes representaciones. Son estas tareas las que promoverán la construcción de la Organización Mundial de la Salud. Los conceptos matemáticos también provocan la conversión de registros algebraicos a registros gráficos. más lejos, Grafique para que SE pueda encontrar la ecuación cartesiana correspondiente de la siguiente lista La ecuación propuesta se convierte en sentido contrario, es decir, del registro gráfico a Algebraico
  30. 30. Bibliografía •Kong Requena. Cálculo Diferencial. 2002 •"Geometría Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223 •Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de física (4 volúmenes). Monytex •Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley & Sons •Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmulas y tablas de matemática aplicada
  31. 31. Anexo https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g&t=23s https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg https://www.youtube.com/watch?v=9c_Auawm-6o

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