CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO 
DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI 
ENGENHARIA CIVIL 
CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉRIC...
2 
CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO 
DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI 
ENGENHARIA CIVIL 
CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉ...
3 
ÍNDICE 
Método da Bissecção 
O que é? Definição...........................................................................
4 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção – O que é? Definição. 
Existe um grande número de métodos numéricos que são pr...
5 
Método da Bissecção – Como calcular. 
O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a 
raiz em u...
6 
푏−푎 
2푘 ≤ ε → k ≥ 
log(푏 −푎)−log(ε) 
log(2) 
Sendo assim, podemos esquematizar resumidamente este método num 
ciclo: 
I...
7 
ALGORITMO DO METODO DA BISSECÇAO; 
VAR x, a, b, precisao : real; 
// a E b SAO, RESPECTIVAMENTE, O PONTO INICIAL E O PO...
8 
REFERÊNCIAS 
Cavalcanti, Jorge. Resolução Numérica de Equações. Disponível em: 
<http://www.univasf.edu.br/~jorge.caval...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Método da Bissecção

533 visualizações

Publicada em

Publicada em: Engenharia
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
533
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
3
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Método da Bissecção

  1. 1. CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI ENGENHARIA CIVIL CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS PROF. FERNANDO ANDRADE BASTOS ALUNAS: JENNIFER LUIENE MACHADO THAYSE PERINI APARICIO MÉTODO DA BISSECÇÃO RIO DO SUL, 31 DE AGOSTO DE 2014
  2. 2. 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO PARA O DESENVOLVIMENTO DO ALTO VALE DO ITAJAÍ – UNIDAVI ENGENHARIA CIVIL CÁLCULO E MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS PROF. FERNANDO ANDRADE BASTOS ALUNAS: JENNIFER LUIENE MACHADO THAYSE PERINI APARICIO MÉTODO DA BISSECÇÃO Trabalho para a disciplina de Cálculos e Métodos Numéricos Computacionais apresentado ao curso de Engenharia Civil da Área de Ciências Naturais, da Computação e Engenharias do Centro Universitário para o Desenvolvimento do Alto Vale do Itajaí. Prof. Fernando Andrade Bastos. RIO DO SUL, 31 DE AGOSTO DE 2014
  3. 3. 3 ÍNDICE Método da Bissecção O que é? Definição..........................................................................................................4 Como calcular..................................................................................................................5 Algoritmo do Método da Bissecção ...............................................................................7 Referências ....................................................................................................................8
  4. 4. 4 Método da Bissecção Método da Bissecção – O que é? Definição. Existe um grande número de métodos numéricos que são processos iterativos. Como o próprio nome já diz, esses processos se caracterizam pela repetição de uma determinada operação. A idéia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultado mais preciso que aquele obtido na iteração anterior. E, a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte. Este tipo de método, na maioria das vezes, não obtém solução exata para as raízes, mas sim uma solução aproximada dentro de uma faixa de erro considerada aceitável. Um desses Métodos que se caracterizam pela repetição de uma operação é o da Bissecção, sendo que este determina uma raiz x de uma função f(x) num intervalo [x1, x2] Є Ɍ onde f(x1)*f(x2)<0. A idéia como já dita é diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao meio do intervalo [x1, x2], de tal forma que o valor de x1 tenda ao valor de x2, ou seja, que a raiz x ≈ x1 ≈ x2 e que a função f(x) seja aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância. O Método da Bissecção tem a propriedade de sempre convergir para uma solução, além de ter a vantagem de ser muito claro e simples de ser implementado. Entretanto, tem a convergência muito lenta e uma aproximação intermediária boa pode ser descartada. Por estas razões, o Método da Bissecção é muito usado no início da aplicação de outros métodos mais eficientes.
  5. 5. 5 Método da Bissecção – Como calcular. O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será (x1 + x2)/2 ou (a+b)/2. Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos ter f(x1)* f(x2) < 0. Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade da amplitude do intervalo [x1, x2]. Sendo assim: erro= ε <lx2-x1l >. Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2. A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1)*f((x1+x2)/2) < 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2]. A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz. Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma aproximação com erro inferior ao solicitado. Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bissecção consiste em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo. Considerando o intervalo [a, b]: 푎 + 푏 2 • Se f(a)*f ( ) <0, o novo intervalo é [a, (a + b)/2] 푎+푏 2 • Se f(b)*f ( ) < 0, o novo intervalo é [(a + b)/2, b] Tendo em vista esses passos, também temos que:
  6. 6. 6 푏−푎 2푘 ≤ ε → k ≥ log(푏 −푎)−log(ε) log(2) Sendo assim, podemos esquematizar resumidamente este método num ciclo: Intervalo Inicial : [ a0, b0 ] = [ a, b ] Repetir : 1) xn+1 = ( an + bn) / 2 2) Se f (xn+1) f(an) < 0 Então an+1 = an; bn+1 = xn+1 Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn Até que : f(xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < ε Podemos perceber que a convergência é lenta, sendo um método de quebra, onde esses são os mais intuitivos geometricamente. Esses métodos são assim chamados porque a partir de um intervalo que contenha uma raiz da função, vai-se particionando este intervalo em outros menores, que ainda contenham a raiz. O método númerico da bisseção pode ser utilizado com o uso apenas de uma calculadora e temos controle sobre a precisão desejada para a aproximação obtida. Entretanto, para ser aplicado requer o conhecimento prévio de um intervalo contendo um zero. Um gráfico da função pode apontar este intervalo.
  7. 7. 7 ALGORITMO DO METODO DA BISSECÇAO; VAR x, a, b, precisao : real; // a E b SAO, RESPECTIVAMENTE, O PONTO INICIAL E O PONTO FINAL DO INTERVALO, f É A FUNÇÃO DEFINIDA E precisao É A PRECISAO FORNECIDA. INICIO SE f(a) * f(b) < 0 ENTAO; INICIO x ← ( a + b ) / 2; ENQUANTO | f( x ) | > precisao FAÇA INICIO SE f(a) * f(b) < 0 ENTAO a ← x; SENAO b ← x; x ← ( a + b ) / 2; FIM; ESCREVA (‘A RAIZ DO INTERVALO DADO É ’, x ); FIM; SENÃO ESCREVA (‘NÃO HA RAIZES NO INTERVALO’); FIM.
  8. 8. 8 REFERÊNCIAS Cavalcanti, Jorge. Resolução Numérica de Equações. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/4CN_Parte2.1_Metodos.pdf> Acesso: Agosto de 2014 Andretta, Marina. Determinação de raízes de funções: Método da Bissecção. Disponível em: < http://www.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0100-2- 12/aula8-bisseccao.pdf> Acesso: Agosto de 2014. Autor Desconhecido. Resolução Numérica de Equações. Disponível em: <http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/bissec.pdf> Acesso: Agosto de 2014.

×