1. CONSTRUYENDO CURVAS FRACTALES
ESTRELLA JR - KOCH
ARTÍCULO
PRESENTADO POR
JORGE LUIS ROJAS PAZ
JOSÉ
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO
CARRIÓN
SÁNCHEZ CARRIÓN
CICLO 2011-II
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2. “En matemática, plantear y resolver un problema es
matemática,
obsesivamente bello; pero construir un nuevo conocimiento, no es sino la
bello construir conocimiento,
experimentar“
mayor exitación que la mente humana puede experimentar“
Jorge Luis Rojas Paz
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3. CONSTRUYENDO LA CURVA DE KOCH
Niels Fabian Helge Von Koch
(Estocolmo, 25 de enero de 1870 -
ibidem, 11 de marzo de 1924) fue un
matemático sueco, cuyo nombre le
ha sido asignado a la famosa curva
que estudiaremos en este artículo.
La curva de koch que se muestra
Es realizada de la siguiente manera:
1.-Considere por ejemplo un segmento de longitud igual a la unidad.
2.- Divida este segmento en otros tres de igual longitud, es decir cada uno de ellos de
longitud 1/3 y retire el segmento central, sustituyéndolo por otros dos; que junto con
el suprimido formarían un triangulo equilátero de lado 1/3.
De esta forma la curva de koch es el resultado de repetir el procedimiento antes
indicado, infinitas veces sobre cada uno de los segmentos así obtenidos.
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4. USO DE WINLOGO PARA OBTENER LA CURVA DE KOCH
Utilizando el lenguaje de programación Winlogo podemos obtener la curva de koch
siguiendo el programa
para koch :paso :lado
si :paso = 0 [av :lado alto]
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3 gd 120
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3
fin
el mismo que trabaja con dos variables :paso y :lado, es decir que para ejecutarlo
debes digitar (después de fin) por ejemplo:
koch 5 200
obteniendo la curva de koch conforme se muestra a continuacion
USO DEL SOFWARE VON KOCH CURVE PARA OBTENER LA CURVA DE KOCH
También existe en la página
www.efg2.com/Lab/
un completo laboratorio de software entre ellos von koch curve de libre acceso que
puede ayudarnos a construir la curva de koch
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5. En este software modifique las entradas
Maxlevel escribiendo 0
Special case escribiendo 2
Rotation(deg) escribiendo 0
Obteniendo la ventana:
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6. A continuación modifique maxlevel por ejemplo hasta el valor 6 obteniendo la curva
de koch
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE KOCH
Una de las características más saltantes de la curva de koch es que esta posee longitud
infinita y si consideramos el área bajo dicha curva, ésta es finita.
En efecto, consideremos el caso en que tomamos un segmento de longitud unitaria.
L=1
después de la primera iteración observamos que obtenemos 4 segmentos de longitud
1/3 cada uno y cuya longitud total será ahora igual a 4/3
L=4/3
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7. En la segunda iteración, se obtienen 16 segmentos cada uno de longitud 1/9, lo que
nos indica que la longitud total de la curva es ahora 16/9
L=16/9
En la tercera iteración, se obtienen 64 segmentos cada uno de longitud 1/27, lo que
nos indica que la longitud total de la curva es ahora 64/27
L=64/27
De este modo en la n-ésima iteración se obtendrían 4n segmentos, cada uno de
n n n
1 1 n =4
longitud   , es decir la curva tendría por longitud L =   . 4  
3 3 3
n
4
L= 
3
Puesto que la curva de Koch es el resultado de iterar sobre los segmentos resultantes
infinitas veces, entonces su longitud se calcularía en la forma
n
4
L = lim   = ∞
 
n→∞ 3
Lo que indica que su longitud tiende a infinito a medida que el número de iteraciones
se aproxima al infinito.
¿Y QUÉ SUCEDE CON EL ÁREA BAJO LA CURVA?
Para dar respuesta a ello observemos el área bajo la curva en la primera iteración
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8. la cual se calcula, aplicando la fórmula para el área de un triangulo equilátero
L2 3
A= , y que en este caso particular seria
4
2
1 3
A =  .
1 3 4
Para la segunda iteración los lados de los triángulos tienen longitud 1/9 y su área seria
2 2
1 3 1 3
A =  . .4 +   .
2 9 4 3 4
Para la tercera iteración los lados de los triángulos tienen longitud 1/27 y su área seria
2 2 2
 1  3 1 3 1 3
A3 =   . .16 +   . .4 +   .
 27  4 9 4 3 4
De esta forma el área para la n-ésima iteración puede ser escrita como la siguiente
sumatoria
2
n  1  3
An = ∑   4 i- 1
i= 1  3 i  4
i
3 n  4 
An = ∑  
1 6 i= 1  3 2 
De este modo a medida que el número de iteraciones se aproxima al infinito esto es
n → ∞ , el área estaría dada por
i
3 n  4 
A∞ = lim ∑  
1 6 n → ∞ i=1  3 2 
i
n  4  4
y como lim ∑  2  =
n → ∞ i=1  3  5
Se concluye que
3
A∞ =
20
Lo que nos indica que el área bajo la curva de koch es finita.
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9. Utilizando el lenguaje de programación Winlogo, es posible generar el famoso copo de
nieve y también lo podemos hacer con el software von koch curve.
Utilizando el programa para winlogo
para koch :paso :lado
si :paso = 0 [av :lado alto]
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3 gd 120
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3
fin
para isla :paso :lado
repite 3 [koch :paso :lado gd 120 ]
fin
isla 5 200
Obtienes el copo de nieve
Que no es otra cosa que el resultado de la aplicación del proceso utilizado para
construir la curva de koch, sobre cada uno de los lados de un triangulo equilátero y si
suponemos que la longitud de cada lado es igual a la unidad, igualmente llegamos a la
conclusión que el copo de nieve tiene perímetro infinito pero su área seria finita pues
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10. de acuerdo con al análisis hecho líneas arriba para calcular el área bajo la curva de
3
koch, sólo tendríamos que multiplicar el área A ∞ = por tres y adicionarle a
20
este resultado el área del triangulo equilátero de lado igual a la unidad esto es:
3 3 2 3
A COPO = ( )(3) + =
20 4 5
De esta forma el área del copo de nieve es efectivamente finita.
La curva generada en la portada de este artículo denominada curca estrella jr_koch ha
sido concebida por el autor mediante el siguiente programa para Winlogo
para koch :paso :lado
si :paso = 0 [av :lado alto]
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3 gd 120
koch :paso-1 :lado/3 gi 60
koch :paso-1 :lado/3
fin
para isla :paso :lado
repite 2 [koch :paso :lado gd 180 koch :paso :lado]
gd 90
repite 2 [koch :paso :lado gd 180 koch :paso :lado]
fin
isla 5 100
BIBLIOGRAFIA
[1] Tom Apóstol. Análisis Matemático. Editorial Reverté, Barcelona España, 1972.
[ 2 ] B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, 1992.
[3] M. Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988.
[ 4 ] S. Sabogal & G. Arenas. Una Introducción a la Geometría Fractal. Bucaramanga,
2011.
[5] Software Von Koch curve en
www.efg2.com/Lab/
[ 6] Demo gratis de winlogo y demás recursos de logo en:
http://neoparaiso.com/logo/winlogo.html
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