CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ALGEBRA LINEAL
PARCIALIII
TALLER Nro. 3
TEMA: Transformaciones lineales
Nombres:
1. Pillajo Josue
2. Taipicaña Johan
3. Vinueza Mateo
NRC: 4261
Fecha: jueves 04 de Marzo 2021
Período: Noviembre 2020 _Abril 2021

TEMA: Transformaciones lineales
1. Introducción
En este trabajo se desarrollará los ejercicios propuestos en el contenido del aula
virtual. Entender, dominar y resolver los ejercicios de transformaciones lineales de una
manera fácil y sencilla.
2. Objetivo
Resolver los ejercicios planteados en la actividad con su respectivo procedimiento, y
así comprender el tema de transformaciones lineales.
3. Fundamentación teórica
En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene
su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios
vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va
de VV a WW. O sea una regla de asignación que transforma vectores de VV en
vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores
de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:
F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:
1. F(u+v) = F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v) = k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈
Propiedades de una transformación lineal
Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio 0V0V es el vector nulo del codominio 0w0w:
T(0V) = 0wT(0V) = 0w
Demostración:
T(0V) = T(0.v) = 0.T(v) = 0.w = 0WT(0V) =T(0.v) = 0.T(v) = 0.w = 0W
Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector
del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una
transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios
vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.
1

Propiedad 2
La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv:
T(–v) = –T(v)T(–v) = –T(v)
Demostración:
T(–v) = T(–1.v) = – 1.T(v) = –T(v)T(–v) = T(–1.v) = –1.T(v) = –T(v)
La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.
Propiedad 3
Consideremos rr vectores del espacio vectorial VV:
v1,v2,…,vr∈V
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde αi ∈R
Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las
propiedades enunciadas en la definición, resulta:
F(α1v1 + α2v2 + α3v3 +...+αrvr) = α1F(v1) + α2F (v2) +…+αrF (vr)
Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales
de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.
Ejemplo:
Analizar si la siguiente función es una transformación lineal:
2

Resolución
Controlemos primero que el transformado del 0V0V sea el 0W0W. Ésta es una
condición necesaria: si no se cumpliera, no sería transformación lineal.
Como T((0,0,0)) = (0,0) la función dada es «candidata» a ser transformación lineal.
Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las
condiciones dadas en la definición.
Condición 1: T(u+v) = T(u) + T(v) ∀u ,v∈V
Tomemos dos vectores de R3R3
u= (u1,u2,u3)
v= (v1,v2,v3)
Veamos si
T(u+v)=T(u)+T(v)
Primero hacemos la suma de u y v:
Y ahora aplicamos TT:
T(u+v) = (u1+v1+u3+v3,u2+v2–2u3–2v3)
T(u+v) = T(u)+T(v)
En conclusión: se cumple la primera de las condiciones.
Condición 2: T(k.v)=k.T(v) ∀v∈V, ∀k∈R
T(k.v) = T((kv1,kv2,kv3)) = (kv1+kv3,kv2–2kv3) =(kv1+kv3,kv2–2kv3)=
k.(v1+v3,v2–2v3) = k.T(v)
Como TT cumple las dos condiciones, es una transformación lineal.
3

Ejemplo 2.
Sea la función lineal de
Verifiquemos si f es transformación lineal:
, ¿ es f una transformación lineal ?
i)
A pesar de que la función f es lineal, no es una transformación lineal. Sólo las
funciones lineales cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen son
transformaciones lineales.
4. Desarrollo
Determinar cual de las siguientes funciones, define una transformación lineal.
𝟏) f((x, y)) = 3(x − y, x + y)
𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Sea 𝑢 =
𝑥1
) ; 𝑣 =
𝑥2
)
(𝑦1
(𝑦2
𝑦1 𝑦2 𝛼𝑌1 + 𝛽𝑌2 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
𝑥1 𝑥2 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2
𝑇(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝑇 (𝛼 ( ) + 𝛽 ( )) = 𝑇 ( ) = 3 ( )
𝑍
𝑥1 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑦2
( 𝛼 ∗ 3 (𝑥1 + 𝑦1
) + 𝛽 ∗ 3 (𝑥2 + 𝑦2
)) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣)
Si es T.L .
𝟐) f((x, y, z)) = (x, y, z2)
𝑇:𝑅3 → 𝑅3
𝑋 𝑋
𝑇 ( 𝑌) = ( 2𝑌 )
−3𝑍
𝑋1 𝑋2
𝑆𝑒𝑎 𝑈 = ( 𝑌
1 ) ;𝑉 = ( 𝑌2 )
𝑍1 𝑍2
4

𝑋1 𝑋2 𝛼𝑋1 + 𝛽𝑋2
𝑇(𝛼𝑈 + 𝛽𝑉) = 𝑇 ( 𝛼 ( 𝑌1 ) + 𝛽 ( 𝑌2 ) ) = 𝑇 ( 𝛼𝑌
1 + 𝛽𝑌2 )
𝑍1 𝑍2 𝛼𝑍1 + 𝛽𝑍2
= (
𝛼𝑋1 + 𝛽𝑋2
𝛼𝑌1 + 𝛽𝑌2 )
= (
(𝛼𝑍1 + 𝛽𝑍2)2
𝛼𝑋1 + 𝛽𝑋2
)
𝛼𝑌1+ 𝛽𝑌2
(𝛼𝑍1)2 + 2𝛼𝑍1𝛽𝑍2 + (𝛽𝑍2)2
No es T.L.
𝑍
3. f((x, y, z))=(x+2y-3z,3x-y+5z,x-y-z)
𝑇: 𝑅3 → 𝑅3
𝑋 𝑋
𝑇 ( 𝑌) = ( 2𝑌 )
𝑍1
−3𝑍
𝑋1 𝑋2
𝑆𝑒𝑎 𝑈 = ( 𝑌1 ) ; 𝑉 = ( 𝑌2 )
𝑍2
𝑋1 𝑋2
𝑇(𝛼𝑈 + 𝛽𝑉) = 𝑇 ( 𝛼 ( 𝑌1 ) + 𝛽 ( 𝑌2 ) )
𝑍1 𝑍2
𝛼𝑋1 + 𝛽𝑋2
= 𝑇 ( 𝛼𝑌1 + 𝛽𝑌2 )
𝛼𝑍1 + 𝛽𝑍2
−3𝛼𝑍1 − 3𝛽𝑍2
𝑋
reemplazo con los valores de: ( 2𝑌 )
−3𝑍
𝛼𝑋1 + 𝛽𝑋2 𝑋1 𝑋2
( 2𝛼𝑌1 + 2𝛽𝑌2 ) = 𝛼𝑇 ( 2𝑌1 ) + 𝛽𝑇 ( 2𝑌2 )
−3𝑍1 −3𝑍2
= 𝑎𝑻(𝑼) + 𝖰𝑻 ,,
5

y f((2, 1,
6.- Sea f una transformación lineal de 𝑅3en 𝑅3, suponga que f((1, 0, 1))=(1, -1, 3)
0))=(0, 2, 1), determine f((-1, -2 ,3)).
𝑇: 𝑅3 → 𝑅3
𝑍
𝑋 1 2
( 𝑌) = 𝛼 (0) + 𝛽 (1)
1 0
𝑋 = 𝛼 + 2𝛽
𝑌 = 𝛽
𝑍 = 𝛼
𝑋 1 2
𝑇 ( 𝑌) = (𝑍 (−1) + 𝑌 ( 1 ) )
𝑍 3 0
𝑋 𝑍
𝑇 ( 𝑌) = (−𝑍 + 𝑌)
𝑍
𝑋
3𝑍 + 𝑌
3
𝑇 ( 𝑌) = ( −3 + (−2) )
𝑍
𝑿
3(3) + (−2)
𝟑
𝑻 ( 𝒀) = ( −𝟓) ,,
𝒁 𝟕
7. Sea f una transformación lineal de 𝑅3 en 𝑃2 tal que f ((1,1,1)) =1-2t+𝑡2
f((2,0,0))=3+t-𝑡2, f((0,4,5))=2+3t+3𝑡2; Determine f((2,-3,1)).
𝑓 = 𝑅3 → 𝑃2
𝑥
𝑧
1 2 0
1 0 5
(𝑦) = 𝛼 (1) + 𝛽 (0) + 𝛿 (4)
𝑇[𝛼4 + 𝛽𝑦 + 𝛿𝑤 ] = 𝛼 𝑇(4) + 𝛽(𝑦) + 𝛿(𝑤)
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
{ 𝛼
𝛼
4𝛿 = 𝑦
5𝛿 = 𝑧
6

1 2 0 𝑥
𝑓2 − 𝑓1 → 𝑓2
(1 0 4|𝑦) 𝑓3 − 𝑓1 → 𝑓3 (0 −2
1 0 5 𝑧 0 −2
1 2 2 𝑥
4|𝑦 − 𝑥) 𝑓3 − 𝑓2 → 𝑓3
5 𝑧 − 𝑥
1 2 0
(0 −2
0 0
𝑥
4|𝑦 − 𝑥)
1 𝑧 − 𝑦
𝛿 = 𝑧 − 𝑦
−2𝛽 + 4𝛿 = 𝑦 − 𝑥
−2𝛽 + 4𝑧 − 4𝑦 = 𝑦 − 𝑥
−2𝛽 = −𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧
𝛽 =
𝑥−5𝑦+4
𝑧 2
𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
𝛼 + 2 (𝑥−5𝑦+4𝑧
) = 𝑥
2
𝛼 + 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 𝑥
𝛼 = 5𝑦 − 4𝑧
𝑥
𝑇 (𝑦) = 𝑇(𝛼4 + 𝛽4 + 𝛿𝑤) = 𝛼𝑇(4) + 𝛽 𝑇(4) + 𝛿 𝑇(𝑤)
𝑧
𝑥
𝑧
1
1
𝑇 (𝑦) = 5𝑦 − 2𝑧 (−2) +
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
3 2
−1 3
( 1 ) + 𝑧 − 𝑦 (3)
𝑥
𝑇 ( 𝑦) =
𝑧
𝗁
I
l
3𝑥 − 9𝑦 + 12𝑧
2
𝑥 − 31𝑦 + 18𝑧
2
−𝑥 + 9𝑦 − 2𝑧
2 )
I
𝟐
𝒙 𝟑𝒙 − 𝟗𝒚 + 𝟏𝟐𝒛
𝒛 −𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟐𝒛
𝑻 ( 𝒚) = 𝟏
( 𝒙 − 𝟑𝟏𝒚 + 𝟏𝟖𝒛) ,,
7

5. Conclusiones
- Mediante la teoría que hemos abarcado sobre las transformaciones lineales,
logramos resolver ejercicios relacionados a este tema.
- Finalizamos con éxito los problemas propuestos en esta actividad sin ningún
problema.
6. Enlace a slideshare
7. Bibliografía
https://aga.frba.utn.edu.ar/blog/2016/11/08/definicion-y-propiedades-de-las-
transformaciones-lineales/
http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/V%20Transformaciones%20Linea
les/01%20transformaciones%20lineales.htm
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