TALLER II_APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

2. INDICE
 Introducción ……………………………………… 3
- Objetivos
 Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de ingeniería en
Telecomunicaciones …………………………………4
 Creación de dos funciones ………………… 6
- 3 polinómicas y determinación por Wronskiano
- 2 funciones compuestas, producto y determinación por wroskiano
 Conclusiones ……………………………10
- Bibliografía
TEMA: Aplicaciones de espacios
y
subespacios vectoriales en la carrera
de telecomunicaciones

3. INTRODUCCION
En este trabajo, se va a estudiar y conocer acerca de los espacios y
subespacios vectoriales, el cual, se observará la creación de las
funciones, y su determinación si es linealmente independiente o
linealmente dependiente a través del teorema Wroskiano.
OBJETIVO
Analizar y demostrar la creación de funciones tanto polinómicas como
compuestas, conociendo los elementos que lo conforman, y en desarrollo
de esto, determinar sus lineamientos.

4. APLICACIONESDELOSESPACIOSVSUBESPACIOSENLAINGENIERIA DE
TELEOMUNICACION
Dentro de la ingenieria, el algebra lineal proporciona la capacidad de poder llegar a resolver un sin
fin de problemas, estipulando al profesional herramientas logicas y matematicas necesarias para
desplegar alternativas de solution que se encuentran en la vida diaria.
La Teoria de Dubinsky y Mc Donald, 2003, citada en Artigue (2003) considera “comprender un
concepto matematico comienza con la manipulation de objetos fisicos o mentales III REPEM -
Memorias Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto (2010) 357 previamente construidos para formar
acciones, las acciones son luego interiorizadas para formar procesos que son despues encapsulados
para formar objetos. Los objetos pueden ser desencapsulados de nuevo a los procesos a partir de los
cuales fueron formados. Finalmente, las acciones, procesos y objetos pueden ser organizados en
esquemas”.
o Par trenzado (utilizado en redes de area local). o Par
de cobre bifilar (telefonia fija)
-I- Transmision por medio de fibra optica.
-I- Medios Inalambrico
Dentro del campo de la ingenieria en telecomunicacion, el algebra lineal tiene diversas
aplicaciones en practicamente todos sus aspectos, en esta haremos enfasis en el uso de espacios y
subespacios vectoriales, el cual, su practica se ve reflejada en el caso de la:
-I- Revision de ondas electromagnetica
o Cable coaxial (transmite una corriente, para poder trasmitir senales de television)
-I- Transmision de datos desde antenas
BTS -I- Tendido de cableado estructurado

5. o Infrarrojo: comunicaciones de corto alcance o Microondas: comunicaciones de mayor
alcance Cuando analizamos una onda electromagnetica plana que es transmitida por el
espacio esta compuesta por dos variables vectoriales, tales como el vector intensidad de
campo electrico £, y el vector de intensidad de campo magnetico H . La direction en que se
propaga la onda esta dada por un vector ortogonal a E y H, y se calcula simplemente
Como el producto entre £ y H.
Otro caso es en el sistema de television (colores en codificacion de imagenes), el cual se
implementa sistemas de coordenadas conocidos como espacios de color, entre ellos estan:
RGB, HSV, YCbCr, YUV. Este sistema logra formar colores, dado un componente de
Rojo(R), Verde(G), Azul(B), de esta manera las coordenadas donde va cada variable toma un
valor de numero entero.
Este procedimiento es empleado por el sistema YCrCb establecidos por la Union
Internacional de Telecomunicaciones (ITU).
Su uso se estableceria de la siguiente manera:
Pasaje de (R, G, B),(Y,U,V)
Y = 0,299 R + 0,587 G + 0,114 B U
= -0,147 R - 0,289 G + 0,436 B
V = 0,615 R - 0,515 G - 0,100 B
FUENTE BIBLIOGRAFICA: Gaitan (2010). Aportes para Aplicar Contenidos en el Algebra Lineal en la
Ingenieria. Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Recuperado:
http://repem.exactas.unlpam.edu.ar/cdrepem10/memorias/comunicaciones/Propuestas/CB%2001.pdf
La matriz de los coeficientes constantes se conoce como
matriz de transformation donde: CYuv= MT CYuv
Escrita de forma matricial
Trabajando con las formas matriciales, para
conocer el espacio vectorial se debe trabajar con
su matriz inversa CRGB = MT-1 CYUV

6. b. Crear dos funciones
Funciones 1.
Tres polinómicas y determinar si son linealmente independiente o dependiente con el
teorema del Wronskiano
𝑷𝟑 = {(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕); (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏); (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 +𝟑)}
|𝑷𝟑| = |
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕
𝟐𝒙 + 𝟏
𝟐
𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 +𝟏
𝟔𝒙 − 𝟗
𝟔
𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑
𝟐𝟎𝒙 − 𝟏
𝟐𝟎
|
Utilizamos el método de determinantes por cofactores
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕) |𝟔𝒙− 𝟗 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏| − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏) |𝟐𝒙 + 𝟏
𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟐𝟎
𝟐𝟎𝒙 −𝟏|
𝟐𝒙 + 𝟏 𝟔𝒙 −𝟗
+(𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑) | |
𝟐 𝟔
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 − (𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟔)) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏)(𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 − (𝟒𝟎𝒙 − 𝟐)) + (𝟏𝟎𝒙𝟐 −𝒙
+ 𝟑)(𝟏𝟐𝒙 + 𝟔 − (𝟏𝟐𝒙 −𝟏𝟖))
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟔) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏)(𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟐) + (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑)(𝟏𝟐𝒙
+ 𝟔 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖)
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟔) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏)(𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟐) + (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 +𝟑)(𝟏𝟐𝒙
+ 𝟔 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖)
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(−𝟏𝟖𝟎 + 𝟔) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏)(𝟐𝟎 + 𝟐) + (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑)(𝟔 + 𝟏𝟖)
|𝑷𝟑| = (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(−𝟏𝟕𝟒) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏)(𝟐𝟐) + (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑)(𝟐𝟒)
|𝑷𝟑| = (−𝟏𝟕𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝟏𝟖) − (𝟔𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝒙 + 𝟐𝟐) + (𝟐𝟒𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟕𝟐)
|𝑷𝟑| = −𝟏𝟕𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝟏𝟖 − 𝟔𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝟖𝒙 − 𝟐𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟕𝟐
|𝑷𝟑| = −𝟏𝟏𝟔𝟖 𝟎 ≠ −𝟏𝟏𝟔𝟖 Linealmente Independiente.
+ - +
- + -
+ - +

7. Funciones 2.
Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas, exponenciales,
hiperbólicas, polinómicas y determinar si son linealmente independiente o dependiente
con el teorema del Wronskiano.
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)
𝑭 = { 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) ; }
𝐠′ (𝐱) =
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙))′ (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)) − (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)) (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙))′
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐
𝐠 ′ (𝐱) =
−𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)) − (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐱)) 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐
𝐠 ′ (𝐱) =
−𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐱)
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐
𝐠 ′ (𝐱) =
−𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐱)
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)
𝐠 ′ (𝐱) = −
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐
𝐟 (𝐱) = 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝐟 ′ (𝐱) = (𝒆−𝟐𝒙) ′ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))′
𝐟 ′ (𝐱) = (𝒆−𝟐𝒙(−𝟐)) 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙 (𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)(𝟑))
𝐟 ′ (𝐱) = −𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)
𝐠(𝐱) =
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)
𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐡(𝒙)
−𝟐 𝒆−𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) −
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐

8. ( 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))(−
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)
(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙))𝟐 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙)
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝒙)
) − (−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) ( )
(
= − ( 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))
𝟐 ×
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
𝟐
(𝟏 + (
𝒆𝒙 +𝒆−𝒙
𝟐
))
)
𝟏 −
− (
𝒆𝒙 +𝒆−𝒙
𝟐
𝟐
𝟏 +
𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
𝟐
)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
= − ( 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))(
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
𝟐
(𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
)
𝟐 ) − (
𝟐 − (𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙)
𝟐
𝒙 −𝒙
𝟐 + 𝒆 +𝒆
𝟐
)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
= − ( 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))(
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
𝟐
(𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
)
𝟐 ) − (
𝟐 − (𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙)
𝟐
𝟐 + 𝒆 +𝒆
𝒙 −𝒙
𝟐
)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
= − ( 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))(
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
(
𝟐
)
) − (
𝟐 − 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
= − ( 𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))( ) − (
(𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙)𝟒 𝟐 − 𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
(𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙)𝟐 𝟐 + 𝒆𝒙 +𝒆−𝒙
)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
= − ( 𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))( ) −
(𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙)𝟒 (𝟐 − 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙)(−𝟐 𝒆−𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑 𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
(𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙)𝟐 𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
= −
−𝟐𝒙
𝟒(𝒆 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))( 𝒙
𝒆 +
𝟏
)
𝒆 (
𝟐 + 𝒆𝒙
+𝒆−𝒙
)𝟐
−
𝒙 −𝟒𝒆𝒙−𝟐
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝟐𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐𝒆−𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟑𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝟑𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)))
𝟐𝒆𝒙
+ 𝒆𝟐𝒙
+ 𝟏
𝒆𝒙
= −
−𝟐𝒙 𝒙 𝟏
𝟒(𝒆 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) (𝒆 + )𝒆 (
𝟐 + 𝒆𝒙
+𝒆−𝒙
)𝟐
−
𝒙 (−𝟒𝒆−𝟐𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝟐𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐𝒆−𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟑𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝟑𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)))𝒆𝒙
𝟐𝒆𝒙
+ 𝒆𝟐𝒙
+ 𝟏
= −
−𝟐𝒙 𝒙 𝟏
𝒙
𝟒(𝒆 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) (𝒆 + )
𝒆
(𝟐 + 𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙)𝟐
−
(−𝟒𝒆−𝟐𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝟐𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐𝒆−𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟑𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒆−𝟑𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)))𝒆𝒙
𝟐𝒆𝒙
+ 𝒆𝟐𝒙
+ 𝟏
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒔𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙) =
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙
𝟐
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒔𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙)=
𝒆𝒙 +𝒆−𝒙
𝟐
𝟏
𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙 𝟐

9. = −
(
𝟒( 𝒆
𝟐𝒙
− 𝟏 )𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)
𝒆𝟑𝒙 )
(𝟐 + 𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙)𝟐
−
−𝟒𝒆−𝒙
(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙
(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
(𝒆𝒙
+ 𝟏)𝟐
= −
𝟒(𝒆𝟐𝒙 − 𝟏)𝐜𝐨 𝐬(𝟑𝒙)
𝒆𝟑𝒙 (
𝒆𝒙 )
𝟐𝒆𝒙 + 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐
−
−𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
(𝒆𝒙 +𝟏)𝟐
𝟒(𝒆𝟐𝒙 −𝟏)𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) −𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)− 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
= −
𝒆𝟐𝒙 (𝟐𝒆𝒙 + 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 −
(𝒆𝒙 +𝟏)𝟐
= − −
𝟒(𝒆𝟐𝒙 −𝟏)𝐜𝐨 𝐬(𝟑𝒙) −𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒆𝒙((𝒆𝒙 + 𝟏)𝟐)𝟐 (𝒆𝒙 + 𝟏)𝟐
= − −
𝟒(𝒆𝟐𝒙 −𝟏)𝐜𝐨 𝐬(𝟑𝒙) −𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒆𝒙(𝒆𝒙 + 𝟏)𝟒 (𝒆𝒙 + 𝟏)𝟐
= −
𝟒(𝒆𝒙 − 𝟏)𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)
𝒆𝒙(𝒆𝒙 +𝟏)𝟑
−
−𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
(𝒆𝒙 +𝟏)𝟐
= −
𝟒(𝒆𝒙 − 𝟏)𝐜𝐨 𝐬(𝟑𝒙) + (𝒆𝟐𝒙 + 𝟏)(−𝟒𝒆−𝒙(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟔𝒆−𝒙(𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)) + 𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)) − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙))
𝒆𝒙(𝒆𝒙 + 𝟏)𝟑
= −
𝟒(𝒆𝒙 − 𝟏)𝐜𝐨 𝐬(𝟑𝒙) − 𝟐𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) − 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) + 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝟐𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙) − 𝟑𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)
𝒆𝒙(𝒆𝒙 +𝟏)𝟑
≠ 𝟎 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐈𝐧𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞.

10. CONCLUSION
En este trabajo en primer punto analizamos el uso de los espacios y subespacios
vectoriales utilizados en la carrera de ingenieria en Telecomunicacion, no obstante
mencionar que su uso se implementa en muchas carreras ya que facilita el calculo en
diversos problemas.
Se ejecuto el desarrollo de dos funciones implementando el uso del metodo de
wroskiano que permitio determinar si nuestras funciones que hemos plantado pertenecen
a un espacio vectorial linealmente dependiente como independiente, este proceso es
implementando el uso de las derivadas logrando obtener una forma matricial
proporcionando su determinante, y asi saber a que grupo llegan a pertenecer.
Este metodo es facil de ejecutar, si se sabe derivar, ya que este es el punto clave de
este proceso, a pesar de tener este tipo de calculo, la obtencion de resultado es mas
practico que otros sistemas.
BIBILIOGRAFIA
• [1] Gaitan (2010). Aportes para Aplicar Contenidos en el Algebra Lineal en la Ingenieria.
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Recuperado:
http://repem.exactas.unlpam.edu.ar/cdrepem10/memorias/comunicaciones/Propuestas/CB%
2001.pdf