Teoremas y fundamentos acerca de Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada; Concavidad y criterio de la Segunda derivada.

1. Universidad Técnica
Particular de Loja
Estudiante : Jean Paul Mosquera A
Materia: Cálculo

2. Extremos de un intervalo,
funciones crecientes y
decrecientes y el criterio de
la primera derivada.

3. Extremos de un intervalo
• Sea f definida sobre un intervalo I que contiene a c:
• f(c) es el máximo de f en I si f(c)≤f(x) para toda x en I.
• f(c) es el mínimo de f en I si f(c)≥f(x) para toda x en I.
• Los mínimos y máximos también son conocidos como valores
extremos o extremos, o bien como máximo absoluto o mínimo
absoluto.
TEOREMA DEL VALOR ABSOLUTO
Si una función (f) es continua en el intervalo cerrado [a,b]
entonces tiene un mínimo y un máximo en dicho intervalo

4. Extremos relativos
• Si existe un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es :
• UN MÁXIMO, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o bien la
función tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
• UN MÍNIMO, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o bien la
función tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

5. Punto critico
• Consideremos una función (f) definida en un punto (c), si f’(c)=0
entonces se concluye que c es un punto critico de la función (f)
TEOREMA
Si una función f tiene un mínimo o un máximo relativo
cuando x=c, entonces decimos que c es un punto critico de
f. Concluyendo que los extremos relativos solo ocurren en
puntos críticos.

6. Estrategias para determinar los extremos en
un intervalo cerrado
• Se encuentra los puntos críticos de la función f en el intervalo abierto
(a,b).
• Se evalúa f en cada punto critico en (a,b).
• Se evalúa f en cada punto extremo del intervalo cerrado [a,b].
• El mas grande de estos valores encontrados es el máximo y el mas
pequeño es el mínimo

7. Teorema de Rolle
• Proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor
extremo en el interior de un intervalo cerrado, propuesto por Michel
Rolle en 1961.
• Teorema
• Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo (a,b).
Si f(a)=f(b) entonces existe al menos un número c en (a,b) tal que f’(c)=0

8. Teorema del valor medio
• Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], y derivable en el intervalo
abierto (a,b), entonces existe un número c en (a,b) tal que
𝑓′
𝑐 =
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

9. Funciones crecientes y Decrecientes
Una función f es creciente sobre un
intervalo, si para x1 y x2 en un intervalo,
x1<x2 implica f(x1)<f(x2), es decir una
función es creciente si su grafica asciende
cuando x se mueve hacia la derecha.
Una función f es decreciente sobre un
intervalo, si para x1 y x2 en un intervalo,
x1<x2 implica f(x1)>f(x2), es decir una
función es decreciente si su grafica
desciende cuando x se mueve hacia la
derecha

10. Teorema : CRITERIO PARA LAS FUNCIONES
CRECIENTES Y DECRECIENTES
• Consideremos que f es una función continua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo
(a,b).
1. Si f’(x)>0 para todo x en
(a,b), entonces f es creciente
en [a,b].
2. Si f’(x)<0 para todo x
en (a,b), entonces f es
decreciente en [a,b].
3. Si f’(x)=0 para todo x
en (a,b), entonces f es
constante en [a,b].

11. Estrategias para determinar los intervalos en los
que una función es creciente y decreciente.
Sea f continua en el intervalo (a,b). Para encontrar los intervalos en que
la función es creciente y decreciente debemos.
1. Localizar los puntos críticos de la función en (a,b) y emplearlos para
determinar el intervalo de prueba
2. Determinar el signo de f’(x) en un valor de prueba en cada uno de los
intervalos,
3. Emplear el teorema para determinar si la función es creciente o
decreciente en dicho intervalo

13. Criterio de la primera derivada
• Consideremos que c es un punto critico de una función f que es continua en el
intervalo abierto I que contiene a c. Si es f es derivable en el intervalo, excepto
posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse :
• Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en
(c, f(c)).
• Si f’(x) cambia de positiva a negativa, entonces f tiene un máximo relativo en (c,
f(c)).
• Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces
f(c) no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.

14. Concavidad y criterio de
la Segunda derivada.

15. Concavidad
• Sea f derivable en un intervalo abierto I, la grafica de f es cóncava hacia arriba sobre I
si f’ es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en el
intervalo.
Sea f una función derivable en el punto p del intervalo I, diremos que f es cóncava
hacia arriba en ese punto p si f''(p)>0, es decir, la tangente a la gráfica en ese
punto está por debajo de ella. La función será cóncava hacia arriba en todo el
intervalo si lo es en todo punto p de I.
Sea f una función derivable en el punto p del intervalo I, diremos que f es cóncava
hacia abajo en ese punto p si f''(p)<0, es decir, la tangente a la gráfica en ese
punto está por encima de ella. La función será cóncava hacia abajo en todo el
intervalo si lo es en todo punto p de I

16. Teorema : CRITERIO DE CONCAVIDAD
• Sea f una función cuya segunda derivadaexiste en un intervalo abierto
I.
• Si f’’(x)>0 para todo x en I, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba en I.
• Si f’’(x)<0 para todo x en I, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo en I.

17. Puntos de inflexión
• Sea f una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un
punto en ese intervalo. Si la grafica de f tiene y una recta tangente en
este punto (c, f(c)) entonces este punto es un punto de inflexión de la
grafica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a
cóncava hacia abajo ( o viceversa) en dicho punto

18. Teorema : PUNTO DE INFLEXIÓN
• Si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la grafica de f, entonces f’’(c)=0
o f’’(c) no existe cuando x=c

19. Criterio de segunda derivada
• Sea f una función tal que f’(c)=0 y la segunda derivada de f existe en un
intervalo abierto que contiene a c :
• Si f’’(c)>0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c))
• Si f’’(c)<0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c))
• Si f’’(c)=0, el criterio falla, f quizás tenga un máximo relativo o un mínimo
relativo o ninguno de los dos, en estos casos se puede emplear el criterio de
la primera derivada.