Este documento trata sobre integrales definidas y sumas de Riemann. Explica que una integral definida representa el área delimitada por una curva, el eje x y los límites a y b. Luego introduce las sumas de Riemann como una forma de aproximar el área total dividiendo el intervalo en subdivisiones más pequeñas. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo para relacionar integrales definidas con antiderivadas.

1. Calculo Diferencial e
Integral II
Integrales Definidas
Ciclo escolar 2013-2014

2. Integrales Definidas
• La siguiente notación
se lee:
La Integral definida de
“𝒂” a “𝒃” de 𝒇(𝒙).
Y representa el área
con signo de la región
limitada por el eje 𝑋,
la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
y las rectas
𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.

3. Ejemplos
2𝑥 − 1 𝑑𝑥
3
1
2 − 𝑥 𝑑𝑥
6
2
𝑥
2
+ 1 𝑑𝑥
5
1
𝑥
3
− 1 𝑑𝑥
5
−1

4. Sumas de Riemann

5. Sumas de Riemann
• Si hacemos 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 = 𝑏, una
partición del segmento 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, y Δ𝑥𝑗 = 𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗,
entonces
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥 𝑘 Δ𝑥 𝑘
𝑛−1
𝑘=0
= lim
𝑛→∞
𝑓 𝑥 𝑘 Δ𝑥 𝑘−1
𝑛
𝑘=1
• A esta expresión se le conoce como sumas de
Riemann.

6. Sumas de Riemann
x fx dx fxdx
0 0.000 0.1
0.1 0.095 0.1 0.0095
0.2 0.180 0.1 0.0180
0.3 0.255 0.1 0.0255
0.4 0.320 0.1 0.0320
0.5 0.375 0.1 0.0375
0.6 0.420 0.1 0.0420
0.7 0.455 0.1 0.0455
0.8 0.480 0.1 0.0480
0.9 0.495 0.1 0.0495
1 0.500 0.1 0.0500
1.1 0.495 0.1 0.0495
1.2 0.480 0.1 0.0480
1.3 0.455 0.1 0.0455
1.4 0.420 0.1 0.0420
1.5 0.375 0.1 0.0375
1.6 0.320 0.1 0.0320
1.7 0.255 0.1 0.0255
1.8 0.180 0.1 0.0180
1.9 0.095 0.1 0.0095
2 0.000 0.1
0.665

7. Sumas de Riemann
𝑥3
𝑑𝑥
2
1
2𝑥2
− 10 𝑑𝑥
4
2

8. Teorema Fundamental del Calculo
• Si 𝑓 𝑥 es continua en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
y 𝐹 𝑥 es una antiderivada de 𝑓 𝑥 , entonces
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑥
𝑎
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
• teorema

9. Ejemplos
𝑥2
𝑑𝑥
4
1
=
𝑥3
3 1
4
=
43
3
−
13
3
=
64
3
−
1
3
=
63
3
= 21
𝑥4
− 2𝑥 + 1 𝑑𝑥
4
2
=
𝑥5
5
− 𝑥2
+ 𝑥
2
4
=
4 5
5
− 4 2
+ 4
−
2 5
5
− 2 2
+ 2
=
964
5
−
22
5
=
942
5

10. Ejemplos
2𝑥 − 3 4 𝑑𝑥
4
0
=
1
2
⋅
2𝑥 − 3 5
5 0
4
=
2𝑥 − 3 5
10 0
4
=
2 4 − 3 5
10
−
2 0 − 3 5
10
=
5 5
10
−
−3 5
10
=
3125
10
−
−243
10
=
3368
10
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
= 𝑥 sen 𝑥 + cos 𝑥
0
𝜋/2
=
𝜋
2
⋅ sen
𝜋
2
+ cos
𝜋
2
− 0 ⋅ sen 0 + cos 0
=
𝜋
2
⋅ 1 + 0 − 0 ⋅ 0 + 1
=
𝜋
2
− 1 =
𝜋
2
− 1