Máquina universal de Turing http://ivanvladimir.github.io/content/teach/curso_lfya_2016I.html

1. Máquinas que comen máquinas
Toiterateishuman,torecursedivine.—
L.PeterDeutsch
Ivan Meza

2. Máquinas de Turing
Es una tupla (Q, Σ, Γ, , B, A, δ)q0
conjunto finito de estados
alfabeto de cadenas reconocidas
alfabeto de cinta,
estado inicial
Símbolo de espacio en blanco pero
estados finales
función de transición
Q
Σ
Γ Σ ⊂ Γ
q0
B B ∈ Γ B ∉ Σ
A
δ
Q × Γ → Q × Γ × {der, izq}

3. Jerarquía de Chomsky
Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo
Recursivamente
enumerables
Tipo 0
( )
Máquina de
Turing
??
Dependiente del
contexto
Tipo 1
( )
Autómata de
doble
pila/lineal con
fronteras
Independiente
del contexto
Tipo 2
( )
Autómata de
pila
Regular Tipo 3
( )
Autómata
finito
α → β
αV β → αγβ
ww, a
n
b
n
c
n
V → α
w ,w
r
a
n
b
n
V → aA|ϵ
w, a
∗

4. Lo que sabemos

5. Si existe una máquina de Turing para el lenguaje, se trata de
un lenguaje recursivamente enumerable

6. Con autómatas finitos, autómatas de pilas, autómatas de
doble pila y autómatas con frontera lineal, son máquinas
aceptoras: verdadero o falso
Entonces las MT contienen máquinas aceptoras

7. Codificación de una cadena
δ( , ) = ( , , )qi Xj qk Xl Dm
Asignar a cada estado , a cada símbolo de y cada dirección un
entero
Codificar cada entrada de la MT como
Separar cada codificación con doble uno ( )
Q Γ
0
i
10
j
10
k
10
l
10
m
11

8. Ejemplo
δ( , 1) = ( , 0, R)q1 q3 0100100010100
δ( , 0) = ( , 1, R)q3 q1 0001010100100
δ( , 1) = ( , 0, R)q3 q2 00010010010100
δ( , B) = ( , 1, L)q3 q3
0001000100010010
Con
= 1, = 2, = 3; 0 = 1, 1 = 2, B = 3; L = 1, R = 2q1 q2 q3
0100100010100110001010100100110001001001010011000

9. Máquin de Turing Universal

10. It is possible to invent a single machine which can be used to
compute any computable sequence. If this machine is
supplied with a tape on the beginning of which is written the
S.D ["standard description" of an action table] of some
computing machine , then will compute the same
sequence as .
U
M U
M
Turing, 1936

11. Es posible inventar una máquina que pueda ser usada para
computar cualquier secuencia computable. Si esta máquina
se le provee con una cinta en la que al principio se le
escribe la descripción estándar de una tabla de acción de
alguna máquina , entonces computará la misma
secuencia que
U
M U
M

12. MTU: Máquina de Turing que puede
simular una MT arbitraria
Mu

13. Lenguaje aceptado
y su correspondiente= {mw|w ∈ L(m)}Lu Mu

14. Verdadero
Falso
W
MTU
M
M

15. Realización, una MT es una cadena
Como cadena se podía presentar a una máquina de Turing
universal

16. Verdadero
Falso
M
MTU
M
M
i
i
i

17. Las máquinas de Turing que se aceptan a si mismas u otras
máquinas

18. Las máquinas en realidad son un número, como número las
podemos ordenar
Ordenadas, cada una corresponde a un número entero
Entonces,...

19. T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M
c
0
M
c
1
M
c
2
M
c
3
M
c
4
…
M0 …
M1 …
M2 …
M3 …
M4 …
… … … … … … …

20. T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M
c
0
M
c
1
M
c
2
M
c
3
M
c
4
…
M0 …
M1 …
M2 …
M3 …
M4 …
… … … … … … …
Md T F T F F …

21. T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M
c
0
M
c
1
M
c
2
M
c
3
M
c
4
…
M0 …
M1 …
M2 …
M3 …
M4 …
… … … … … … …
Md F T F T T …

22. ¡ no existe!Md
¡No es recursivamente enumerable!

23. = {m|mm ∉ (mm)}Ld Mu

24. Lenguajes aceptados por máquinas aceptoras: recusivos o
decidibles
¿Las máquinas de Turing son las máquinas aceptoras?
Sabemos que las máquinas Turing tiene un límite

25. MT Verdadero
Falso
W

26. Imaginemos
MT Verdadero
Falso
W
Verdadero
Falso
Complemento de todos los recursivos son recursivo

27. Lenguaje aceptado
Verdadero
Falso
W
MTU
M
M
= {mw|w ∈ L(m)}Lu
Si es recursivo, su complemento también...Lu

28. Verdadero
Falso
W
MTU
M
M
Verdadero
Falso
¿Si pasamos nuestra numeración de ?MTi
¡Aceptaría ! ¡No es posible! por lo tanto no es decidibleLd Lu

29. RE no R

30. Sabemos que hay MT que son decidibles: verdadero y falso
Sabemos que hay otras MT: complemento de Mu
Sabemos que hay problemas para los cuales no existe MT, Ld

31. ¿Qué hace diferente RE a R?

32. Máquina H
Para
No para
w
MTU
M
M Verdadero
Falso
Dado un par podemos saber si la máquina va a pararM, w
Depende de , entonces es RE, por lo tanto el no parar es la
tercera opción
Mu

33. Supongamos que existe Mhalt

34. Es posible definir la siguiente máquina a partir de ella
Para
H'
M
H Para
No para

35. Para
H'
H'
H Para
No para
Sí para con , también lo hace , pero por definición se
queda en un ciclo
Sí se cicla con , también lo hace con , pero por definición
se para
H
′
H
′
H
H
′
H
′
H

36. Opciones de una máquina de Turing
¿Cuándo se acepta? Llega a estado aceptor
¿Cuándo se rechaza? Llega a estado del que no hay transición
dado el estado de la cinta
¿Otra opción? Quedarse en un ciclo infinito

37. MT Verdadero
Falso
W

38. Modelo teórico: instantáneo
Aceptar (T) Llega a estado aceptor
Rechazar (F) Se queda en estado no
aceptor
Loop infinito Rechazó o loopinfinito?

39. Modelo práctico: tiempo
Aceptar (T) En algún momento llega a estado aceptor
Rechazar (F) En algún momento llega a estado no
aceptor
Loop infinito No termina nunca
Ante problemas muy, muy difíciles, no sabemos si sigue
procesando o está en un loop infinito

40. Ejemplo de problema muy muy difícil
De un conjunto de números enteros de tamaño ¿existe una
combinación del subconjuntos de ellos que sume ?
N
C
¿Cómo se diseña la MT?

41. N = 1, ∗ 1 = 2 = 2ns2
1
N = 2, ∗ 2 = 8 = 8ns2
2
N = 3, ∗ 3 = 24 = 24ns2
3
N = 10, 0 ∗ 10 = 10, 240 = 10micros2
1
N = 20, 0 ∗ 20 = 20, 971, 520 = 2milis2
2
N = 30, 0 ∗ 30 = 32, 212, 254, 720 = 32s2
3
N = 40, 0 ∗ 40 = 43, 980, 465, 111, 040 = 12h2
4
N = 50, 0 ∗ 50 = 56, 294, 995, 342, 131, 200 = 651d2
5

42. ¿Por qué mi programa tiene un loop?
Por diseño, loops son importantes desde lenguajes
regulares
¿Por qué mi programa tiene un
loop infinito?
Un error
Por diseño, interfaz gráfica, satélites, switches,
robots

43. Hecho de la computación: los loops son básicos en la
computación
Pero nos meten en problemas rápidamente

44. Jerarquía de Chomsky extendida*
Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo
No RE -- --
RE/Rec Tipo 0
( )
Máquina de
Turing
,
Dependiente
del contexto
Tipo 1
( )
Autómata de
doble pila/lineal
con fronteras
Independiente
del contexto
Tipo 2
( )
Autómata de
pila
Regular Tipo 3
( )
Autómata finito
Ld
α → β
mw mmi
αV β → αγβ
ww, a
n
b
n
c
n
V → α
w ,w
r
a
n
b
n
V → aA|ϵ
w, a
∗

45. ivanvladimir@gmail.com ivanvladimir.github.io ivanvladimir
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