Lista álgebra

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Polinômios, produtos notáveis, fatoração, frações algébricas e racionalização de denominadores

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  1. 1. ALUNO:______________________________________________________________________________ TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br ) AULA DE ÁLGEBRA Non Multa Sed Multum Esse material contém 67 questões. Confira!Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação: Nota Final: _____________ • Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções. • Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras. • A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta. • É extremamente proibido o uso de calculadora. • Serão descontados erros ortográficos. • Realizar o trabalho extremamente organizado. Lembretes: POLINÔMIOS1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:a) f ( x ) = 5x + 1 b) g ( x ) = x 2 + 10 x − 3 c) h ( x ) = 5 x + 10 x 3 − 8 x 2 + 1d) q ( x ) = ( k − 2 ) x 4 + 10 x3 − 3x + 1 e) r ( x ) = ( k 2 − 4 ) x3 + ( k + 2 ) x2 − ( k − 2 )f) s ( x ) = ( a − 1) x5 + ( b + 2 ) x3 + ( c − 3) x2) Sabendo que p ( x ) = ( a − 4 ) x3 − ( b + 2 ) x 2 + ( 3c − 8 ) x − ( 5d − 125) é o polinômio nulo, determine o valor dea+b+c+d .3) Se f ( x ) = 5 x3 + 10 x 2 − 7 e g ( x ) = ax4 + ( b −1) x3 − ( c + 3) x2 + ( 4d +12) x + e são polinômios idênticos,determine o valor de a + b + c + d + e .4) Efetue:a) (2b + 5c − 3a) − (−2a + b − 4c) 2 2 2 2b) ( a − b ) − (3a − b ) 2 2 2 2 2 2c) (b + 2bc + c ) + (b − 2bc − c ) − (b − c ) 2 2 2 3 2 2d) (4 a b + 3ab − b ) + (2b − 4 a b − 4ab ) 2 3 4 4 2 3e) 1 − x + x − x − (1 − x + x + x ) 1 2 1 2 5 3 1 2 1 3 1 2f) mn + m n + m −  m n − m − mn  4 3 6 6 4 3 g) 5 xy + y − 3 xy − ( − y − xy )  2 2  h) 3a − (4b − c + 2b) − [ a − (2b − 4c + 3d ) ] − 5a
  2. 2. 25) Sejam os polinômios: A = a + 2ab + b2 ; B = a 2 − 2ab + b2 e C = a 2 − b2 . Determine : a) A + B + C b) A − ( B + C) c) A − ( B − C)6) Efetue os produtos abaixo: 2 2a) ab.( a − b ) 2 2b) 3 xy.( x y − xy ) 2 2 2c) −2 a b.(3a − 7b ) 4d) 10a 2b 2 .(−3a 2b + a 2b 2 ) 5 m −1e) 2 x.(5ax + 3bx − 8) m 3 3f) (2 x + 3)(2 x − 3) 2 2g) (3a + 1)(3a − 2) 6 3 3h) ( x + 3 x + 9)( x − 3) 6 4 4 2 8 12 2 4i) (27 a − 9a b + 3a b − b )(3a + b ) 4 4 3 3 2 2j) ( − x − y + x y + xy − x y )( − x − y )k) (a + b − c)(a − b + c) 2 2 2 2l) ( x + y + xy )( x + y − xy )m) (a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c) 2 2 2n) a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) + ( a − b )(b − c )(c − a )7) Efetue as seguintes divisões : 6 4 3 2 2a) ( x − x − 2 x + x + 2 x − 1) ÷ ( x − 1) 4 2 2b) (4 x − 13 x + 12 x − 3) ÷ (2 x − 3 x + 1) 5 4 3 2 2c) (15a − a − 4 a + 5a − a ) ÷ (5a + 3a − 1) 3 2d) (2 a − 3a + a + 30) ÷ ( a + 2) 4 3 2 2e) ( x − 5 x + 8 x − 5 x + 1) ÷ ( x − 2 x + 1) 4 3 2 (f) x − 5 x + 2 x + 3 x − 1 ÷ ( x − 2) ) 3g) ( 2 x − x 2 − 1) ÷ (x-1) 5h) ( 4 x − 5 x 4 + 1) ÷ (x-1) 5 4 3 2i) ( x − 2 x − x + 3 x + x − 4) ÷ (2 x − 4) 3j) (x + 2 x 2 − 5 ) ÷ (3x+6) 3 28) O valor de n para que a divisão do polinômio p ( x ) = 2 x + 5 x + x + 17 pord ( x ) = 2 x 2 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número(a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.9) Considere o polinômio p( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 5 . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada: 2a) P ( x ) = 3 x + 9x + 6 2b) P ( x ) = 2 x + 3 x − 2c) P ( x ) = x3 − 6 x 2 − x + 30 3 2d) P ( x ) = 2 x − x − 2 x + 1 4 3 2e) P ( x ) = x + x − 7 x − x + 6
  3. 3. PRODUTOS NOTÁVEIS1) Se x + y = 3 e xy = 7 , então x 2 + y 2 é igual a :(a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 92) Se 2 x + 2 − x = a , dar o valor de 8 x + 8 − x .3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de a 7 + b74) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual :(a) à diferença dos quadrados dos dois números.(b) à soma dos quadrados dos dois números.(c) à diferença dos dois números.(d) ao dobro do produto dos números.(e) ao quádruplo do produto dos números. 35) Para que o polinômio f ( x ) = x 3 − 6x 2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f ( x ) = ( x + b ) , osvalores de m e n devem ser, respectivamente:(a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27 a2 b26) Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3 , determine + +2. b2 a 27) Se a + b = 1 e a 2 + b2 = 2 então a 3 + b3 é igual a:(a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2 FATORAÇÃO1) Fatore pondo em evidência o fator comum:a) ax + ay b) 15x2 − 5xc) 6a2b + 3ab2 3 2 d) 8 x y − 4 x y 2 3 3 2e) 15a x y − 30 a xy + 45a x y 2 3 4 3 4 f) 18a2b3c4 + 36ab4c5 − 54a3b2c 4 5g) 33 x y − 22 x y + 11xy 3 6 h) x(a + 1) + y(a + 1) + z(a + 1)i) x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c) j) x(a −1) + y(a −1) + z ( a −1)2) Fatore por agrupamento: 2a) ax + bx + ay + by b) 2 x − 3 xy − 4 x + 6 yc) mx + 5 y + xy + 5m d) ab − ac + b2 − bce) x3 + x2 − x −1 f) 3x3 − 9ax2 − x + 3a3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:a) x2 + 10x + 25 2 b) 4 x − 20 xy + 25 y 2 4c) y + 2 y + 1 2 d) a2 x2 − 2ax + 1 2 y2 6 3 2e) x + xy + f) x + 6 x y + 9 y 4 4 2g) 4 x − 24 x y + 36 y 2 h) a2 −16a + 64 4 2 4 x 2 2 xy y 2i) y − 6 y + 9 j) − + 9 3 4
  4. 4. 4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:a) m2 − n2 b) 25 x − 9 y 2 2 4c) 16 x − 25 y 2 d) 1 − x2 2e) 4 x y − 9a 6 8 f) a 2 n − b2 n 4n 2 10g) x − 64 y h) x − 4 y2 6m 2n x2i) 16 x −y j) 1 − 9k) a2 − x2 + 2 xy − y 2 l) (a2 − b2 −1)2 − (a2 − b2 + 1)25) Fatore os seguintes trinômios da forma x2 + ( b + c ) x + bc :a) x2 + 10x + 16 b) x2 −10x + 16 2c) x + 6 x −16 d) x2 − 6 x −16 2e) x − x − 6 2 f) y − 6 y + 5 2g) a + a − 30 h) x2 + x − 2 4 2i) x − 5x − 50 4 2 j) a − 5a + 46) Fatore os seguintes cubos de um binômio:a) x6 + 3x4 + 3x2 + 1 6 b) x − 9 x y + 27 x y − 27 y 4 2 2 3c) a9 + 3a6 + 3a3 + 1 3 d) 8 x − 12 x y + 6 xy − y 2 2 4 6e) x3n + 3x2n + 3xn + 1 3 f) 64 x + 48 x y + 12 xy + y 2 2 37) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:a) a6 − b6 b) 8x + y 3 3c) 1 − 8 y 3 d) x3 −1e) x3 + 1 f) 27 − x3g) a3 − (1 − a)3 1 18) Determine o valor de x6 + 6 sabendo que x + = 1 . x x9) Um dos fatores de a 4 + 6a² + 8 é :(a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) a 4 + 2 (e) a 4 -210) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se :(a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a)(d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a) 2 211) Fatorando ( a + b ) - 4c obtém-se :(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 )(d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c )12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a :(a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 1213) Fatore as expressões : a) 8x 3 − y 3 b) ac +2bc - ad - 2bd 2 214) Qual das expressões abaixo é idêntica a a –b - a+b ?(a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1)(d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)
  5. 5. 15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é :(a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 116) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é iguala:(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 2017) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadradosdesses dois números é :(a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 25218) Fatore a expressão S = x 4 + x 2 + 1.19) Fatore :a) ( x 2 + x + 3)( x 2 + x + 4) − 12b) x 4 + 4 y 4c) (a + 2b − 3c)3 + (b + 2c − 3a )3 + (c + 2a − 3b)3 FRAÇÕES ALGÉBRICAS1) Efetue: 4x 2 y 15 x 3 y 2 5 x 2 y 4a) ⋅ b) ÷ y 8x 4a 2 b 2 2ab3 2( x + 2) x+2 ( m − n ) 2 m( m − n )c) ÷ d) ÷ x−2 ( x + 1)( x − 2) m+n m+n x + 2 x +1 x + 1 3x + 1e) − f) − 2 2 2 4 3x + 5 2 x − 9 x+2g) − h) − ( x + 1) 2 3 2 x − y 2x + y y − 4x 2x + 3 x − 2i) + + j) − 12 15 30 4x 8x 2x x −1 x yk) − l) + x +1 x +1 x− y y−x 1 1 1 1m) + n) − x +1 x −1 x+h x b a 1 1o) − p) + 2a 4b a ( a + b) b( a + b) 2 3 4x − 2 1 1 2xq) + − r) + + x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) 1 + x 1 − x ( x + 1)( x − 1) 1 3 3s) − + ( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1) 1+ x 1 1 −t) 2x u) x a 1 x−a +1 x
  6. 6. a −1 1−  a −b   a +b  a +1v) 1 + ÷ − 1 w)  a +b   a −b  1 1 − a + 1 a −1 x x 2( x + 5) − x+5+x) x −1 x +1 y) x +1 x x 2 + 1+ x −1 x +1 x +1 Simplifique as seguintes frações algébricas:2) x + x2 5a − 5b a 3 + 3a 2a) b) c) y + yx 2a 2 − 2b 2 a2 − 9 x2 −1 ( a − b) 2 a 2 − 2a + 1d) e) f) x +1 a2 − b2 a2 −1 x 4 − 16 a3 − 1 x2 − 6 x + 9g) 2 h) 2 i) 2 x −4 a + 2a − 3 x − 4x + 3 x 2 − x − 20 ( x 2 − x − 6)( x 2 + x − 20)j) 2 k) x − 7 x + 10 ( x 2 + 2 x − 15)( x 2 + 6 x + 8) 4 (x − a4 )( x + a) a 2 − a − 12 8 − x3l) m) n) 2 ( x − a)( x + a ) 2 16 − a 2 x2 + 2 x + 4 8 − x3 x2 − ( y − z )2 1 − ( x + y)2o) p) q) x2 + 2 x − 8 ( x + z )2 − y 2 1+ x + y (a + x) 2 − 9 2ab + a 2 + b 2 − c 2r) s) a+ x+3 2bc − b 2 − c 2 + a 23) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique: a −1 a + 1 a2 + 1 n + 1 n2 − na) + − b) − a + 1 a −1 a2 −1 m mn − m 4a − 6b 1 4 xy x+ yc) 2 2 + d) 2 2 − +2 a −b a −b x − 2 xy + y x− y 2 x −1 x2 − 6x + 9 x 2 − x ( x − 1) 2e) 2 − 2 f) − 2 x − 2x + 1 x − 4x + 3 x −1 x −1 a 2 − a ( a − b) 2 1 1g) − h) + ab − b a 2 − b 2 a + ab ab + b 2 2 a a 2a 2 4a 2b 2  x 3 − 4 x 3 x − 6   2a + 3 4 x 2 − 6 x i) + + + j)  ÷ − ⋅  a − b a + b a 2 + b2 a 4 − b4  x+2 2   4 x 12 a + 18 
  7. 7.  a − a2   a  2 y  y2 −1 y2 + 4 y + 3 k)  2  ÷ −a l) + ÷   a −1   a +1  y + 3  y −1 6  14) Se x, y e z são números reais tais que z= , então z é igual a : ( x + y −2 ) −1 −2 1 1 x2 + y2 x2 + y2(a) (b) (c) x² + y² (d) (e) x+ y x + y2 2 xy x2 y2 25) Simplificando (x 3 ) − 4 − 16 , x ∈ » , obtém-se : x 2 + 2x + 4(a) x³ (b) x + 3 4 (c) x - 3 4 (d) x 4 + 2x³ (e) x 4 - 2x³  a 2 + ab a 2 − ab 6) Simplificar a expressão  a 2 − b 2  ÷     ÷  , onde ab ≠ 0.   b 2 + ab b 2 − ab    x 3 −17) Sendo x = 4,8349, então é igual a : x 2 + x +1(a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349 1+ a28) Simplifique a expressão algébrica . (1 − ax ) 2 + ( a + x ) 2 a +b9) Dado que a e b são tais que a 2 + b 2 + 2ab = 10 e a 2 − b 2 = 5 , pode-se concluir que é igual a : a −b(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32 2 x 2 − 8x + 810) O valor numérico para expressão para x = 98 é : 2x 2 − 8(a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5 m n m + 1+  n11) Simplificando a expressão m + n m − n + n 2 × 1 +  , com m ∈ » , n ∈ » , m ≠ ± n e m.n ≠ 0 , n m (m − n)  m  − 1+ m+n m−n 4mn 5(m + n)obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 3mn 1 1 3 − 312) Simplificando a expressão ( a 2b + ab 2 ) × a b , obtemos: 1 1 − a2 b2(a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a x4 − y413) O valor de , para x = 111 e y = 112 é: x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3(a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214
  8. 8. 4x + 8 3x − 314) O valor da expressão 2 + 2 , para x ≠ ±1 e x ≠ −2 , é equivalente a : x + 3x + 2 x − 115) A expressão (a − b )2 + c(a − b ) , a – b +c ≠ 0 é igual a : a−b+c(a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c 2 2 2 (a + b2 − c 2 ) − ( a2 − b2 + c2 )16) Simplifique a fração : . 4ab 2 + 4abc a +b a −b + ab3 − a 3b17) (EPCAr) Simplificar : a − b a + b × 2 . a − b a + b a + b2 − a+b a −b x y z a b c x2 y 2 z 218) Prove que se + + =1 e + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1. a b c x y z a b c  x  y19) Se x 2 + y 2 = 3 xy, calcule 1 + 1 +  .  y  x 2 2  ( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1) 2   ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 20) Calcule o valor da expressão S =  ⋅  .  ( x3 − 1) 2   ( x3 + 1)2  2x y y2 − + 2 x + y y − x y − x221) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que x 2 ≠ y 2 e y ≠ 2 x , a expressão −1 −1 ( x + y) + x ( x2 − y2 )sempre poderá ser calculada em » se, e somente se,(a) x ≥ 0 e y ≥ 0 (b) x > 0 e y é qualquer (c) x é qualquer e y ≥ 0 (d) x ≥ 0 e y é qualquer −1 −1 a ≠ b , na expressão p= ( a + b )( 2a ) + a (b − a) .22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, 2 −1 (a + b 2 )( ab 2 − ba 2 )Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que p −1 está definida para todo(a) a ∈ » e b ∈ »* (b) a ∈ » e b ∈ »* + (c) a ∈ »* e b ∈ »* (d) a ∈ »* e b ∈ »* +23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que a+b= x a − b = x −1 a≠b≠0 2 2 3 3 ( a + 2ab + b )( a − b ) 2 2 2 2 Y= ( a − b )( a + ab + b ) é O valor da expressão  a 2 − ab     2a  x2 (a) 2 (b) 2x 2 (c) x 2 (d) 2
  9. 9. 1 1 1 a b c a b c24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que ab + + = p, + + + + + =q e bc ac b a a c c bab + ac + bc = r . O valor de q 2 + 6q é sempre igual a p2r 2 + 9 p2r 2 − 9 p p 2 r 2 − 10 (b) (c) p 2 r 2 − 9 (d) (e) p 2 r 2 − 12 p(a) 4 12 4r RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES1) Racionalize os denominadores: 3 30 7 3 2 2 a) b) c) d) e) f) 5 5+ 3 15 8− 2 5 7+ 3 3 7 2 5 4 g) h) i) 6 3 3 5 2 8+ 6 4− 32) Colocando-se a expressão − sob a forma a + b 3 , o valor de a+ b é igual a : 6 3 2 4 8 10(a) (b) (c) 2 (d) (e) 3 3 3 33) Os valores de x e y que satisfazem a x y 1 + − =0 5− 2 6+ 2 6− 5são tais que x+ y é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9 384) Racionalizando o denominador da fração obtemos: 3 3 −2 2(a) 6 3 + 4 2 (b) 6 2 − 4 3 (c) 6 3 − 4 2 (d) 2 (e) 6 2 + 4 3 2+ 3 2− 3 25) Efetuando + obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) (e) 1 2− 3 2+ 3 3 2 66) A fração é igual a: 2+ 3+ 5 1 1(a) 2 + 3 − 5 (b) 2 ( 2+ 5− 3 ) (c) 4 − 2 − 3 (d) 3 ( 3+ 5− 2 ) (e) 2 + 3 + 6 −5 3 1 a+3 b+3 c7) Racionalizando-se o denominador de 3 obtemos uma expressão da forma . O valor de 15 − 3 7 d a + b + c + d é igual a:(a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389 Lembretes:

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