1. 6. ESFUERZOS COMBINADOS
En las secciones anteriores, se han analizado miembros estructurales sometidos a
un solo tipo de carga.
Barras cargados axialmente
Ejes de torsión
Vigas en flexión
Recipientes a presión
Para cada tipo de carga se han desarrollado métodos para encontrar tensiones,
distensiones, y deformaciones. Sin embargo, en los sistemas los miembros están
solicitadas por cargas diversa y deben resistir más de un tipo de carga, como:
momento de flexión y fuerzas axiales, recipientes de presión, eje de torsión con
una carga de flexión. Estos se llaman cargas combinadas, se producen en
máquinas, edificios, vehículos, herramientas, etc. Para el análisis se utilizan los
resultados mostrados en los capítulos anteriores, que comprende el esfuerzo
axial, esfuerzo cortante en torsión, esfuerzo normal y de corte en flexión, para
estudiar problemas bidimensionales y tridimensionales para los esfuerzos en un
cuerpo.
6.1 Caso general de carga
Consideremos (figura 6.1 a) el caso general de la carga de varilla solicitada por
las fuerzas en el punto D, el efecto de estas fuerzas en el punto B mostrado en la
figura 6.2 b, evidencia la reacción (fuerzas internas) son la fuerza normal y
fuerzas de corte, los momentos de flexión y torsión, ocurren simultáneamente
en sección transversal de una varilla, por tanto:
Fx≠0, Fy≠0, Fz≠0, Mx≠0, M y≠0, Mz≠0
(a) (b)
2. Fig 6.1
La determinación de los puntos críticos está precedido por el análisis de las
fuerzas internas inducidas en la varilla. Este análisis se realiza, mediante el
método de las secciones y se completa por la construcción de diagramas normal,
fuerza de corte, momentos de flexión y torsión.
Con el fin de comprobar la intensidad del esfuerzo se debe encontrar en los
diagramas la sección crítica (peligroso) en la varilla, es decir, la sección en la
ertetrertertrteryhdfgdfgdfgdgdfgdgf
Debido a la pequeña magnitud de τmax (Fz) y τmax (Fy) en secciones
transversales sólidas el análisis de barras sometidas a flexión transversal se hace
solamente sobre la base de esfuerzos normales como en flexión pura. Es por eso
que las tensiones de cizallamiento τmax (Fz), τmax (Fy) no se toman en
consideración.
6.2 Flexión, torsión y tensión de una barra rectangular
La barra de sección rectangular de lados b-h mostrado en la figura 6.2.a, puede
estar solicitada por las fuerzas como se muestra en la figura 6.2b. A partir de los
diagramas de fuerza internas, el punto crítico coincide a la mitad de los lados b y
h como se muestra en las figuras 6.2 c, d.
a
b
c d
Figura 6.2
B
A
3. Donde el esfuerzo cortante máximo es en A cuyo valor es:
En B es:
máxB γττ =
Los valores de α, β y γ dependen de b y h, los mismos son mostrados en la tabla
6.1.
Tabla 6.1
a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10
0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.313
0.141 0.196 0.215 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.313
1.000 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742
λ
ߙ
ߚ
Los momentos flectores (figuras 6.2 e, f) generan tensiones normales máximos
siguientes en las esquinas como sigue:
z
z
máx
z
z
y
y
y
máx
y
y
z
W
M
I
yM
W
M
I
zM
==== σσσσ ,,,
…. (1)
e f
Figura 6.2
Como puede verse en la figuras 6.2 e, f las tensiones máximas normales deberían
aparecer en los puntos de esquina de la sección. Esto significa que primero punto
potencialmente peligroso se encuentra en el punto B, el valor se obtiene como
sigue:
(g)
Figura 6.2
4. z
z
y
y
Bmáxx
W
M
W
M
++==
A
Fx
σσ …….(2)
La base del método es el principio de superposición, en donde se aplica por
separado, luego después al final se obtiene un ‘estado de esfuerzo total’
mediante suma, para determinar los esfuerzos, como paso previo será necesario
calcular las cargas internas.
En el punto B el esfuerzo de corte es igual a cero: τB = 0.
Conclusión: hay un estado uniaxial en el punto B (ver Fig. 6.2g). La condición
de la fuerza en ese punto y es la tensión máxima admisible
σσσ ≤++==
z
z
y
y
Bmáxx
W
M
W
M
A
Fx
…………… (3)
Otros puntos potencialmente críticos son los puntos A y C
y
y
A
W
M
+==
A
Fx
σ ………………….. (4)
y
x
máxA
Wb
M
3
β
γ
ττ == …………………… (5)
Los esfuerzos principales:
…………….. (6)
2
2
2
2
22
22
xymíx
xymáx
τ
σσ
σ
τ
σσ
σ
+
−=
+
+=
5. Debe observarse que no hay estado biaxial en el punto A. Según la teoría de
máxima tensión de cizallamiento de la fuerza, determinación de esfuerzo
equivalente:
…..(7)
De acuerdo con la teoría de la energía de distorsión de la fuerza
………………….(8)
En el punto C
3
x
A
F
b
M
W
M
x
máxC
z
z
C
β
ττ
σ
==
+==
…………………………… (9)
Por analogía con el punto A
…………… (10)
Es habitual el uso de la fórmula (3) para la determinación de las dimensiones de
las secciones rectangulares con la siguiente comprobación de la resistencia
usando las fórmulas (7, 8, 10).
6.3 Flexión y torsión de sección circular
Debido a la simetría polar de sección transversal, mostrado en la las figuras 6.3
a, b y c, se determina la resultante del momento de flexión según la ecuación
(11)
σ
β
π
στ
σ
σ
σσσσ
≤
+
+≤+
=
≤−=
2
3
2
x2
2
4
A
F
;
2 b
M
W
M
A
x
y
y
xyeqA
mínmáxeq
σ
β
π
τσσ ≤
+
+=+=
2
3
2
x22
3
A
F
3
b
M
W
M x
y
y
xyeqA
σ
β
σ
σ
β
γ
σ
≤
+
+=
≤
+
+=
2
3
2
x
2
3
2
x
3
A
F
4
A
F
b
M
W
M
b
M
W
M
x
z
z
eqC
x
z
z
eqC
6. a b c
Figura 6.3
………………(11)
Por analogía con los puntos A y C para la sección rectangular
…… (12)
………………. (13)
6.4 Flexión, torsión y tensión de una sección representativa
circular
Para determinar el diámetro de una varilla usamos fórmulas (8, 9). Para la
estimación de la fuerza que es necesaria para comprobar la intensidad de uso de
las siguientes condiciones:
………….(14)
En todos los casos, los diagramas de distribución de fuerzas internas se construyen en
la línea axial de una varilla. La magnitud de la fuerza es a lo largo de una normal; para
22
zyB MMM +=
W
MMM
WW
W
M
W
M
zyx
BeqA
xB
BeqA
222
)(
22
)( 2;4
++
=
=≤
+
=
σ
σσ ρ
ρ
σσ ≤=
W
M
BeqA )(
;3
;4
22
22
σσ
σσ
ρ
ρ
≤
+
+=
≤
+
+=
W
M
W
M
A
F
W
M
W
M
A
F
xBx
eq
xBx
eq
7. una barra tridimensional, la línea axial generalmente se dibuja en perspectiva y dos
diagramas de momentos de flexión.
Ejercicios
1. La varilla sólida que se muestra tiene un diámetro de 75 mm. Si se aplican las
cargas mostradas. Determinar la tensión en los puntos A y B.
2. La varilla sólida que se muestra tiene un diámetro de 25 mm. Si se aplican las
cargas en C. Determinar la tensión en punto B.
Figura 1 Figura 2
3. El tubo de diámetro exterior 50 y espesor de pared 15 mm es solicitada por las
tres fuerzas Fx=50 kN, Fy=80 kN y Mx= 40kN.m. Determinar las tensiones
principales a la mitad de la longitud del tubo y en el empotramiento.
4. Calcule las tensiones principales y máximo esfuerzo cortante en el en el
empotramiento del miembro solicitada por las cargas indicadas y el espesor de la
sección es 40 mm.
Figura 3 Figura 4
5. Se aplica la carga P= 80 kN al perfil IPN 180, calcule las tensiones
6. Calcule las tensiones en los puntos A, B, C y D producida por la fuerza mostrada
8. Figura 5 Figura 6
7. Al prisma mostrado en la figura 7 se aplican la carga de 60 kN, 80 kN y 120 kN.
Calcule los esfuerzos en los puntos A, B y C.
8. La estructura L (figura 8) se aplican las cargas de 40 kN y 60 kN. Calcule los
esfuerzos normales en los cuatro vértices del empotramiento y los esfuerzos
cortantes máximos.
Figura 7 Figura 8
9. La barra de sección circular de la figura 9 se empotra en la pared y se usa para
sostener una tubería que le transmite las cargas mostradas.Determine la
ubicación y estado de esfuerzo del punto más crítico.
9. 10. La prensa de tornillo mostrada en la figura 10 se usa para la sujeción de piezas.
Efectuando el procedimiento de diseño para cargas estáticas, determinar el
diámetro medio que debe tener el tornillo para que el núcleo de éste soporte
las cargas que se prevean, si se construye de acero SAE 1050 laminado en frío.
Por la longitud de la barra para la aplicación de la fuerza, se puede generar una
palanca máxima de 0.30 m. La barra puede estar a una distancia de la tuerca a =
15 cm máximo; la distancia a + b = 21 cm.
Figura 9
Figura 10
11. El elemento de acero estructural soporta las cargas mostradas. Calcule el factor
de seguridad del punto más crítico entre A, B, C y D, si el material tiene
las siguientes propiedades: σmáx = 600 MPa, σy = 400 MPa y E = 200 GPa.
Figura 11
12. Calcular el factor de seguridad del punto crítico de la sección A de la llave
mostrada, si ésta es de acero SAE 1040 laminado en frío. Suponga que se aplica
una fuerza de 200 N en el punto B en la dirección mostrada, la cual se encuentra
en el plano yz. Para la escogencia del punto crítico y el cálculo del factor de
seguridad, puede despreciarse el pequeño esfuerzo producido por cortante
directo.
10. 13. Calcule los esfuersos producidos en los puntos A y B al aplicar las cargas
mostradas en la figura 13 al tubo de diametro exteror 30 mm e interior 20 mm.
Figura 12 Figura 13
14. Calcular el factor de seguridad del eje mostrado si es de acero con Sy = 310
MPa, el diámetro primitivo del engranaje 1 es de 250 mm y el ángulo de presión
de los dientes de los engranajes es de 20°.
Figura 14
