Función cuadrática. Parábola. Concavidad. Naturaleza de las raíces

1. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Características de
la gráfica

2. FUNCIÓN CUADRÁTICA
 Recordar :
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma
f(x) = a. x² + b. x + c
 Su representación gráfica es una parábola
Analizaremos en detalle sus elementos

3. CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA
 Una primera característica de la parábola es
la orientación o concavidad . Hablamos
de parábola convexa si sus ramas o brazos se
orientan hacia arriba y hablamos de parábola
concava si sus ramas o brazos se orientan hacia
abajo.

4. ¿DE QUE COEFICIENTE DEPENDERÁ
LA CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA ?

5.  La distinta orientación de las ramas está definida
por el valor (el signo) que tenga el coeficiente del
término cuadrático, es decir el coeficiente
principal a

6. COEFICIENTE PRINCIPAL POSITIVO
 En caso de que el coeficiente principal sea positivo,
la parábola será convexa.
 Ejemplo f(x)=2 x² - 3 x -5

7. COEFICIENTE PRINCIPAL NEGATIVO
 En caso de que el coeficiente principal sea
negativo, la parábola será cóncava.
 Ejemplo f(x) = −3x 2 + 2x + 3

8. RAÍCES O SOLUCIONES
 Otra característica o elemento fundamental para
graficar una función cuadrática la da el valor o los
valores de x, donde la parábola interseca al eje de las
abscisas.
 Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier
función cuadrática calculamos
f (x) = 0 .
 Esto significa que las raíces (soluciones) de una función
cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la
expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y
= 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .
 Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0

9. FÓRMULA DE LA RESOLVENTE
 Como ya hemos visto para resolver una ecuación
cuadrática completa utilizamos la fórmula de
Bhaskaras o resolvente

10. NATURALEZA DE LAS RAÍCES
 Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican
los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X
(abscisas) .
 Como habrás visto en la resolución de la actividad, se
pueden dar tres casos:
 Que corte al eje X en dos puntos distintos
 Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
 Que no corte al eje X

11. DISCRIMINANTE
 El radicando b 2 – 4ac se denomina discriminante y se
simboliza por Δ . El número de raíces depende del
signo de Δ
 A )Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
 B) Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
 C) Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

12. VEAMOS

13. ORDENADA AL ORIGEN
 Es el punto de intersección de la gráfica con el eje
y , es decir f(0), que nos dará como resultado el
término independiente c.
 Entonces podemos afirmar que el vértice será
siempre el punto ( 0 ; c)

14.  Como la ordenada al origen está dada por el punto
(0;C) , este valor siempre existe .
 Aunque el término independiente sea nulo , las
coordenadas del mismo serán (0 ; 0)

15. VÉRTICE
 Es el punto donde la parábola alcanza su máximo o
su mínimo.

16. COORDENADAS DEL VÉRTICE
Recordemos
 El vértice corresponde a la expresión
 Y también se puede definir como la intersección de
la parábola con el eje de simetría

17. ¿A QUÉ CONCLUSIÓN LLEGAMOS ?
 La función alcanza un máximo en su
vértice cuando es :

18. CÓNCAVA !!!
 Si la parábola es cóncava , alcanza
su máximo en su vértice

19. Y ALCANZA SU MÍNIMO EN EL VÉRTICE
 Si la parábola es convexa

20. EN RESUMEN