Este documento presenta diferentes formas de expresar ecuaciones de rectas en el plano, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas, continuas, implícitas y explícitas. También explica conceptos como la proyección ortogonal de un punto sobre una recta, el punto simétrico y medio respecto a una recta, y cómo calcular distancias entre puntos y rectas.

1. Rectas en el plano
Mireia Asensio
Inés Utrero

2. Diferentes expresiones de las rectas
Ecuación
Vectorial Ecuación contínua Ecuación implícita
Ecuación
Paramétrica Ecuación explícita

3. Ecuación Vectorial
Consideramos un punto conocido P( X, Y) de la recta, un vector no nulo V = (a, b)
que nos indican la dirección de la recta y un punto genérico X (x, y) que
representa cualquier punto de la recta.
(X, Y) = ( X 0 , Y ) + t · (a, b)
0
P = (1,2)
V = (2,3)
(X, Y) = ( 1 , 2 ) + t · (2, 3 )

4. Ecuación Paramétrica
Igual que las ecuaciones vectoriales esta están compuestas por un punto conocido
P( X, Y) de la recta, un vector no nulo V = (a, b) que nos indican la dirección de la
recta y un punto genérico X (x, y)
(X, Y) = ( 1 , 2 ) + t · (2, 3 ) = (1,2) + (t2, t3) = ( 1 + t2, 2 + t3)
X = 1 + t2
Y = 2 + t3

5. Ecuación continua
Esta ecuación nos indica los mismos elementos que las ecuaciones anteriores, pero
a diferencia de las otras esta se aísla la t, ya el valor t es el mismo en las 2 igualdades
X = 1 + t2 X–1 Y-2 P = (1,2)
= V = (2,3)
Y = 2 + t3 2 3

6. Ecuación implícita
Ax + By + C = 0
Es la ecuación general o implícita. A y B son los coeficientes de x y y respectivamente
i C es el termino independiente. Esta ecuación no nos proporciona información
directa de la recta de manera que para saber la dirección de la recta, utilizamos el
siguiente método.
V = (a, b) ( -B, A) V = (2,3) 3x - 2y + C = 0

7. Ecuación explícita
En esta ecuación, se aísla la y de la ecuación general de la recta y obtenemos:
En esta ecuación la –C = n es la ordenada al origen, y –A es la pendiente de la
recta. B B
V = (2,3)
3x - 2y + C = 0 Y = 3x + C
( -B, A) 2 2

8. Ejemplos
P ( 4, -1)
V = ( 2, 5)
V = (2,5)  (-B, A)
y = mx + n
5x -2y + C = 0
5(4) – 2 (-1) = C 5x -2y + 22 = 0  y = 5x + 22
C= 22 2 2
m= 5 n = 22 = 11
5x -2y + 22 = 0 2 2

9. Posición relativa de las rectas

11. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Tenemos una recta (r) y un punto (P).
La distancia desde el punto P asta el P
punto P’ de la recta es la proyección P’ r
ortogonal.
S

12. Punto simétrico y medio respecto a una recta
Si partimos del punto P, vemos
que el punto S es el simétrico y P
el punto P’ es el punto medio.
Se encuentran: P’ r
P(x1,y1)
S(x2,y2)
(a,b)= P’(a,b) S

13. Proyección ortogonal de un punto y punto simétrico sobre una recta
Calcula la proyección ortogonal de P(-1,2) t: y=-x+1 -x+1=x+2 x=-1/2
sobre la recta r: x-y+2=0 y el punto medio. r: x+2= y x= -1/2 y=-(-1/2) +1
Podemos ver que la pendiente de la recta y= 3/2
r es 1, así podemos averiguar la P=(-1/2,3/2)
pendiente de la otra recta. Al hallar el punto en común has
r: x+2= y encontrado el punto medio y la proyección
t r mt·mr = -1 ortogonal para encontrar el simétrico :
mt·1= -1 P(x1,y1)
mt=-1/1= -1 (a,b)= S(x2,y2)
Ya tienes la pendiente y un punto, puedes P’(a,b)
buscar el número independiente y así ya
obtendrás la otra recta. (-1/2,3/2)=(-1+x2)2, (2+y2)/2
P(-1,2) y= mx+n -1/2= (-1+x2)/2 x2 = 0
m= -1 2=-1· (-1) +n t: y=-x+1 3/2=(2+y2)/2 y2 = 1 P
n= 2-1= 1
S(0,1) P’ r
Ya tenemos las dos rectas, así que hacemos
un sistema de ecuaciones para encontrar el
punto en común que tienen. S

14. Distancias

15. Distancias
1 Halla la distancia entre los puntos de A i B.
A(2,1) B(-3,2)
2 Halla la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.
3 Halla la distancia entre las rectas r y s:
r: x-y+2=0 1 1 2
s: 3x+y-5=0 = = Son secantes entonces d = 0
3 1 -5

16. fIN