Progressão geomética

Progressão Geométrica (P.G.)
• Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de
números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido
multiplicando-se o termo anterior por uma constate q.
Exemplos:
• A sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... é uma P.G. de razão q=2
• A sequência 3, -6, 12, -24, ... é uma P.G. de razão q=-2
• A sequência 10, 5, 5/2, 5/4, ... é uma P.G. de razão q=1/2
• A sequência 5, 0, 0 , 0 , 0, ... é uma P.G. de razão q=0

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• Termo geral:
an  am .q ( n  m ) , n  m

an  a1.q n 1

an  an 1.q
•Por exemplo na P.G. : 1,2, 2, 22, 4, ... Qual o 8º termo ?

a1  1
q

2

1



 2

a8  1.

8 1

2


 2

7

7
2

1
2

 2  23.2  a8  8 2


• Qual é a razão da P.G. em que a1=2 e a7=128 ?
a7  a1.q n 1  128  2.q 7 1  q 6  64  2 6

q  6 26  2
• Interpolando-se 5 meios geométricos positivos entre 2 e 1458,
obtém-se uma P.G. de razão q. Determine q e o primeiro termo
a ser interpolado.
• Interpolar 5 meios geométricos entre 2 e 1458 significa formar
uma P.G. com 1º termo 2 e 7º termo 1458:

a7  1458  2.q 7 1  q 6  729  36  q  3

• Como os termos são somente positivos: q = 3
O 1º termo interpolado será:

a2  2.32 1  a2  6


• Numa P.G., a partir do 2º termo, o quadrado do termo central
é a multiplicação do termo antecessor e do sucessor, isto é:

an  an1.an1
2

• Exemplo: Determine x de modo que x-2, x+4 e x+8 sejam,
nesta ordem, termos consecutivos de uma P.G.

x  4

2

  x  2  x  8
.

x 2  8 x  16  x 2  6 x  16  2 x  32 x  16


• A soma de n termos consecutivos de uma P.G. é dado por:
a1  an .q
Sn 
1 q



a1 1  q n
Sn 
1 q



•Exemplo: Resolver a equação x + 4x + 16x + ... + 1024x=1365
• Os termos a serem somados formam uma P.G. de razão q=4, a1=x e an =
1024x :
1024x.4  x
4095x
Sn 
 1365 
 1365
4 1
3

1365x  1365 x  1

• A soma de  termos consecutivos de uma P.G. convergente,
isto é, se sua razão q é tal que -1 < q < 1 é:

a1
S 
1 q
•Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.G. (1, ½, ¼, ...)
• A P.G é infinita e convergente, pois q = ½ e a1 =1.

1
1
S 

2
1
1 1
2
2


4
4
4
4



 ...
10 100 1.000 10.000
• Esta soma representa uma P.G infinita de razão q = 1/10 que é
convergente. A soma é dada por:

•Exemplo: Determine a soma de

S

4
4
10  10  4.10  4

9
9.10
9
1 1
10
10

• Observação: Observe que a soma representa o número 0,4444....
que pode ser resolvido por uma regra prática (vista em números racionais):
10x0,444.... – 0,444... = 4,444... – 0,444... = 4
9x0,444.... = 4 0,444... = 4/9 (Bem mais fácil não é mesmo!)
Muitas vezes pode aparecer solicitando a fração geratriz da dízima
periódica 0,444....

• O produto dos termos de uma P.G., a partir do 1º, é dada por:

Pn  a1 .q
n

n .( n 1)
2

 a1 .an 

n
2


• Exercício: Na sequência 1, 3, 7, ... cada termo é duas vezes o
anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a
15. Então o décimo termo é:
•Observe que a diferença entre os termos consecutivos é: 2, 4, 8, ...
que representa uma P.G de razão q=2. Outra observação é que cada termo a partir do 2º
é dado pelo termo anterior da sequência mais o termo da P.G. (1+a1=1+2=3, 3+a2=3+4=7,
7+a3=7+8=15, ...). Podemos chegar que os termos da sequência são dados pela soma do
1º termo mais a soma dos termos anteriores da P.G. :
Assim o enésimo termo (an) da sequência será dado por 1+Sn-1:
1  S n 1











a1 1  q n 1
2. 1  210 1
2. 1  2 9
 1
 1
 1
1 q
1 2
1



  1  2.2

9





1

 1  2. 29  1  1  2.( 23.23.23  1)  1  2.(8.8.8  1)  1  2.( 512  1)

 1  2.(512  1)  1  2.511  1  1022  1023

• Exercício: A sequência 10x, 10x+1, 10x+2, ... representa:
• Uma P.A. não pode ser porque os termos não formam uma
sequência que adicionando uma razão de o próximo.
• Se tentarmos obter a razão de uma P.G. entre o 2º e 1º termos
ou 3º ou 2º termos iremos obter q=10. Logo trata-se uma P.G.
de razão igual a 10.


• Exercício: Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética, cuja soma é igual a 21. Então os termos
c

,c  ,b  c

formam, anesta aordem, uma progressão geométrica de razão
 2b

igual a:
• Pelos dados iniciais temos que a+b+c =21, e também usando a
fórmula da soma de uma P.A. temos:
S

(a1  an ).n (a  c).3

 21 a  c  14
2
2

•Destas duas equações obtemos já que b = 7

• Pela sequência da P.G., temos que o termo central elevado ao
quadrado é igual a multiplicação dos 1º e último termo. Logo :
ac
14
2
c  a  
b  c   c  a   .7  c   c  a 2  7  c
.
2b
2.7
2

• Desenvolvendo: c  a 2  7  c  c 2  2ac  a 2  7  c
• Substituindo a+c=14  a = 14-a
a 2  196  28c  c 2
c 2  2.(14  c).c  196  28.c  c 2  7  c
4c 2  57.c  189  0    b 2  4.a.c  572  4.4.189    3249  3024  225

  225  152
b 
 ( 57) 
x

2.a
2.4
c1  9
c2 

152



57  15
8

21
 5,25
4

• Pelas condições impostas no problema, c > b > a porque a
sequencia a, b, c forma uma P.A. crescente. Logo somente
podemos considerar a 1ª solução, isto é, c = 9.
• Como a+c=14, então a = 5.

bc
79
16
q


q  4
ca
95
4
•Portanto a razão da P.G. é 4.

• Exercício: Se os números x, y e z formarem nesta ordem, uma
progressão geométrica de razão 10x, pode-se afirmar que
log(x.y.z) é igual a:
• Sabe-se que y2 = x.z e que q = 10x = y/x  y=x.10x. Logo:
• x.y.z = y.y2 = y3 = x3.103x . Então log(x.y.z) = log(x3.103x)
= log(x3) + log(103x) = 3.log(x) + 3x.log10 = 3.log(x) + 3x
log(x.y.z) = 3.x + 3.log(x)

• Exercício: Pedro possui três parentes, João, José e Maria,
cujas idades formam uma progressão geométria. João é o mais
novo, e Maria é a mais velha. Se o produto das idades dos três
parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José ?
• A P.G. das idades é formada por João, José, Maria que pode
ser representado por x/q, x, x.q. Como o produto das idades é
igual a 1.728 teremos:
x
.x.x.q  1728  x 3  1728  x  12
q

• Portanto a idade de José é de 12 anos.

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