Progressão geomética

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Progressão geomética

  1. 1. Progressão Geométrica (P.G.) • Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constate q. Exemplos: • A sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... é uma P.G. de razão q=2 • A sequência 3, -6, 12, -24, ... é uma P.G. de razão q=-2 • A sequência 10, 5, 5/2, 5/4, ... é uma P.G. de razão q=1/2 • A sequência 5, 0, 0 , 0 , 0, ... é uma P.G. de razão q=0 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  2. 2. Progressão Geométrica (P.G.) • Termo geral: an  am .q ( n  m ) , n  m an  a1.q n 1 an  an 1.q •Por exemplo na P.G. : 1,2, 2, 22, 4, ... Qual o 8º termo ? a1  1 q 2 1   2 a8  1. 8 1 2   2 7 7 2 1 2  2  23.2  a8  8 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  3. 3. Progressão Geométrica (P.G.) • Qual é a razão da P.G. em que a1=2 e a7=128 ? a7  a1.q n 1  128  2.q 7 1  q 6  64  2 6 q  6 26  2 • Interpolando-se 5 meios geométricos positivos entre 2 e 1458, obtém-se uma P.G. de razão q. Determine q e o primeiro termo a ser interpolado. • Interpolar 5 meios geométricos entre 2 e 1458 significa formar uma P.G. com 1º termo 2 e 7º termo 1458: a7  1458  2.q 7 1  q 6  729  36  q  3 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  4. 4. Progressão Geométrica (P.G.) • Como os termos são somente positivos: q = 3 O 1º termo interpolado será: a2  2.32 1  a2  6 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  5. 5. Progressão Geométrica (P.G.) • Numa P.G., a partir do 2º termo, o quadrado do termo central é a multiplicação do termo antecessor e do sucessor, isto é: an  an1.an1 2 • Exemplo: Determine x de modo que x-2, x+4 e x+8 sejam, nesta ordem, termos consecutivos de uma P.G. x  4 2   x  2  x  8 . x 2  8 x  16  x 2  6 x  16  2 x  32 x  16 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  6. 6. Progressão Geométrica (P.G.) • A soma de n termos consecutivos de uma P.G. é dado por: a1  an .q Sn  1 q  a1 1  q n Sn  1 q  •Exemplo: Resolver a equação x + 4x + 16x + ... + 1024x=1365 • Os termos a serem somados formam uma P.G. de razão q=4, a1=x e an = 1024x : 1024x.4  x 4095x Sn   1365   1365 4 1 3 1365x  1365 x  1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  7. 7. Progressão Geométrica (P.G.) • A soma de  termos consecutivos de uma P.G. convergente, isto é, se sua razão q é tal que -1 < q < 1 é: a1 S  1 q •Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.G. (1, ½, ¼, ...) • A P.G é infinita e convergente, pois q = ½ e a1 =1. 1 1 S   2 1 1 1 2 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  8. 8. Progressão Geométrica (P.G.) 4 4 4 4     ... 10 100 1.000 10.000 • Esta soma representa uma P.G infinita de razão q = 1/10 que é convergente. A soma é dada por: •Exemplo: Determine a soma de S 4 4 10  10  4.10  4  9 9.10 9 1 1 10 10 • Observação: Observe que a soma representa o número 0,4444.... que pode ser resolvido por uma regra prática (vista em números racionais): 10x0,444.... – 0,444... = 4,444... – 0,444... = 4 9x0,444.... = 4 0,444... = 4/9 (Bem mais fácil não é mesmo!) Muitas vezes pode aparecer solicitando a fração geratriz da dízima periódica 0,444.... Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  9. 9. Progressão Geométrica (P.G.) • O produto dos termos de uma P.G., a partir do 1º, é dada por: Pn  a1 .q n n .( n 1) 2  a1 .an  n 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  10. 10. Progressão Geométrica (P.G.) • Exercício: Na sequência 1, 3, 7, ... cada termo é duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é: •Observe que a diferença entre os termos consecutivos é: 2, 4, 8, ... que representa uma P.G de razão q=2. Outra observação é que cada termo a partir do 2º é dado pelo termo anterior da sequência mais o termo da P.G. (1+a1=1+2=3, 3+a2=3+4=7, 7+a3=7+8=15, ...). Podemos chegar que os termos da sequência são dados pela soma do 1º termo mais a soma dos termos anteriores da P.G. : Assim o enésimo termo (an) da sequência será dado por 1+Sn-1: 1  S n 1      a1 1  q n 1 2. 1  210 1 2. 1  2 9  1  1  1 1 q 1 2 1    1  2.2 9   1  1  2. 29  1  1  2.( 23.23.23  1)  1  2.(8.8.8  1)  1  2.( 512  1)  1  2.(512  1)  1  2.511  1  1022  1023 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  11. 11. Progressão Geométrica (P.G.) • Exercício: A sequência 10x, 10x+1, 10x+2, ... representa: • Uma P.A. não pode ser porque os termos não formam uma sequência que adicionando uma razão de o próximo. • Se tentarmos obter a razão de uma P.G. entre o 2º e 1º termos ou 3º ou 2º termos iremos obter q=10. Logo trata-se uma P.G. de razão igual a 10. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  12. 12. Progressão Geométrica (P.G.) • Exercício: Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, cuja soma é igual a 21. Então os termos c  ,c  ,b  c  formam, anesta aordem, uma progressão geométrica de razão  2b  igual a: • Pelos dados iniciais temos que a+b+c =21, e também usando a fórmula da soma de uma P.A. temos: S (a1  an ).n (a  c).3   21 a  c  14 2 2 •Destas duas equações obtemos já que b = 7 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  13. 13. Progressão Geométrica (P.G.) • Pela sequência da P.G., temos que o termo central elevado ao quadrado é igual a multiplicação dos 1º e último termo. Logo : ac 14 2 c  a   b  c   c  a   .7  c   c  a 2  7  c . 2b 2.7 2 • Desenvolvendo: c  a 2  7  c  c 2  2ac  a 2  7  c • Substituindo a+c=14  a = 14-a a 2  196  28c  c 2 c 2  2.(14  c).c  196  28.c  c 2  7  c 4c 2  57.c  189  0    b 2  4.a.c  572  4.4.189    3249  3024  225 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  14. 14. Progressão Geométrica (P.G.)   225  152 b   ( 57)  x  2.a 2.4 c1  9 c2  152  57  15 8 21  5,25 4 • Pelas condições impostas no problema, c > b > a porque a sequencia a, b, c forma uma P.A. crescente. Logo somente podemos considerar a 1ª solução, isto é, c = 9. • Como a+c=14, então a = 5. bc 79 16 q   q  4 ca 95 4 •Portanto a razão da P.G. é 4. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  15. 15. Progressão Geométrica (P.G.) • Exercício: Se os números x, y e z formarem nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 10x, pode-se afirmar que log(x.y.z) é igual a: • Sabe-se que y2 = x.z e que q = 10x = y/x  y=x.10x. Logo: • x.y.z = y.y2 = y3 = x3.103x . Então log(x.y.z) = log(x3.103x) = log(x3) + log(103x) = 3.log(x) + 3x.log10 = 3.log(x) + 3x log(x.y.z) = 3.x + 3.log(x) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  16. 16. Progressão Geométrica (P.G.) • Exercício: Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades formam uma progressão geométria. João é o mais novo, e Maria é a mais velha. Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José ? • A P.G. das idades é formada por João, José, Maria que pode ser representado por x/q, x, x.q. Como o produto das idades é igual a 1.728 teremos: x .x.x.q  1728  x 3  1728  x  12 q • Portanto a idade de José é de 12 anos. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com

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