Probabilidade

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Probabilidade

  1. 1. Probabilidade básica A Probabilidade pode caracterizar-se como um modelo matemático das “regularidades” (ou repetições) que se observam nas distribuições de frequências correspondentes aos fenômenos (ou experimentos) aleatórios. Um fenômeno é dito aleatório quando o acaso interfere na ocorrência de um ou mais dos resultados nos quais tal fenômeno pode ocorrer. Ele caracteriza-se fundamentalmente pelo seguinte: • Pode ser repetido inúmeras vezes em idênticas condições; • Não se pode afirmar qual o resultado da realização de uma repetição antes da sua realização; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  2. 2. Probabilidade básica Exemplos: a) Lançamento ao ar de uma moeda e anotação da face voltada para cima; b) Lançamento de um dado e anotação da face obtida; c) Extração de uma carta de um baralho e anotação das suas características; d) Seleção ao acaso de um habitante de uma cidade com o objetivo de conhecer as suas despesas mensais; e) Observação do sexo de um recém-nascido numa série de nascimentos; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  3. 3. Probabilidade básica 1. Espaço Amostral: O conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória. O espaço amostral associado a uma dada experiência aleatória será designada por S. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . S Os elementos de S podem ser números, sequências de números, atributos ou grupos de atributos ou, ainda, uma combinação de elementos quantitativos e qualitativos. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  4. 4. Probabilidade básica Exemplo: a) Lançamento de uma moeda: dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”} b) Lançamento de um dado: seis resultados possíveis, portanto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) No lançamento de uma moeda {“CARA=F”, “COROA=C”} e de um dado: 12 resultados possíveis, portanto S = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, F1, F2, F3, F4, F5, F6} Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  5. 5. Probabilidade básica 2. Evento: Qualquer subconjunto A do espaço amostral S. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . ******** . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . ****** . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . A . . . . AS Exemplo: a) No lançamento de um dado, o evento “número S ímpar” é A = {1; 3; 5} 2 1 3 5 A 4 6 S Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  6. 6. Probabilidade básica b) No experiência “retirar uma bola de uma urna” que contem três bolas brancas (b1, b2, b3), e duas bolas pretas (p1, p2), o espaço amostral é S = {b1, b2, b3, p1, p2}, onde o evento “bola branca” é A = {b1, b2, b3} p1 b1 b2 b3 A p2 S Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  7. 7. Probabilidade básica Evento impossível e certo • O conjunto vazio também é um subconjunto de S (  S),portanto,  também é um evento;  é chamado evento impossível, isto porque nunca ocorre. • O conjunto S é subconjunto de si próprio (S  S), portanto, S também é um evento; S é chamado evento certo, isto porque sempre ocorre. Exemplo: No lançamento de um dado o evento “número maior ou igual a 7” é um evento impossível, e o evento “número menor ou igual a 6” é um evento certo. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  8. 8. Probabilidade básica Evento complementar • Chama-se evento complementar de um evento A num espaço amostral S, ao evento Ā tal que Ā = S – A A Ā é a parte colorida S Note que A  Ā =  e A  Ā = S Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  9. 9. Probabilidade básica •CONCEITO: Dado um espaço amostral S, com n(S) elementos, e um evento A de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A ocorrer é dado por P(A) tal que: n( A) P ( A)  n( S ) Observação: • Na prática para calcularmos a probabilidade de um evento, basta dividir o número de casos favoráveis n(A) pelo número de casos possíveis n(S); • As probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  10. 10. Probabilidade básica Exemplos: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair o número 3: Temos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(S) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6 = 16,7%. b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2 = 50%. c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3 = 33%. d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3 = 33%. e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3 = 33% Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  11. 11. Probabilidade básica Exemplos: Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) sair a soma 8 Observe que neste caso, o espaço amostral S é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36 = 13,9% b) sair a soma 12 Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36 = 2,8%. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  12. 12. Probabilidade básica Exemplos: Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a) sair bola azul p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% b) sair bola vermelha p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% c) sair bola amarela p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20% • Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho comum (52 cartas), qual a probabilidade de ocorrer “rei” ? Casos favoráveis: 4 (existem 4 reis no baralho) Casos possíveis: 52 p(A) = 4/52 = 1/13 = 7,7% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  13. 13. Probabilidade básica Propriedades a) A probabilidade do evento impossível é nula. Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos: n() 0 p ()   0 n( S ) n( S ) Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  14. 14. Probabilidade básica Propriedades b) A probabilidade do evento certo é igual a unidade. n( S ) p( S )  1 n( S ) Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  15. 15. Probabilidade básica Propriedades c) A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. 0  p ( A)  1 d) A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade. p ( A)  p ( A )  1 Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  16. 16. Probabilidade básica Propriedades e) Probabilidade da união de dois eventos A e B: p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) A AB B S Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso qual a probabilidade de ocorrer múltiplo de 2 ou múltiplo de 3? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  17. 17. Probabilidade básica Propriedades 1 4 2 5 10 8 A 7 6 3 B 9 S A é o evento “múltiplo de 2”: n(A) = 5 B é o evento “múltiplo de 3”: n(B) = 3 p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) 5 3 1 7 p( A  B)      70% 10 10 10 10 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  18. 18. Probabilidade básica Propriedades f) Probabilidade de eventos mutuamente exclusivos A B p( A  B)  p( A)  p( B) S Observe que se A  B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B); Observe que se dois eventos são mutuamente exclusivos ocorrência de um implica na não ocorrência do outro. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  19. 19. Probabilidade básica Exemplo: Propriedades Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não leem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? SOLUÇÃO: Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. n(S) = N(J U P) + N.º de pessoas que não leem jornais. n(S) = n(J) + N(P) – N(JP) + 800 n(S) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 n(S) = 8600 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  20. 20. Probabilidade básica Exemplo: Propriedades Portanto, a probabilidade procurada será igual a: p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  21. 21. Probabilidade básica Exemplo: Propriedades Retirando ao acaso uma carta de um baralho, os eventos “rei” e “dama” são mutuamente exclusivos, pois não existe nenhuma figura, no baralho, que seja “rei” e “dama” ao mesmo tempo. Observe, ainda, que em um espaço amostral S se A1, A2, A3, ..., An são eventos mutuamente exclusivos dois a dois, vale a relação: p( A1  A2    An )  p( A1 )  p( A2 )    p( An ) Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  22. 22. Probabilidade básica Propriedades g) Probabilidade de eventos exaustivos Em um espaço amostral S, dados n eventos mutuamente exclusivos dois a dois: A1, A2, A3, ..., An eles dizem-se eventos exaustivos se A1  A2  A3  ... An =  e A1  A2  A3  ...  An = S p( A1 )  p( A2 )  p( A3 )    p( An )  1 Exemplo: Uma urna contem duas bolas brancas, três bolas pretas e Quatro bolas amarelas. Ao retirar uma bola os eventos “bola branca”, “bola preta” e “bola amarela” são exaustivas pois sua intersecção é vazia e sua união é o espaço amostral S. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  23. 23. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Dado dois eventos A e B de um espaço amostral S, chama-se probabilidade de A condicionada a B, a probabilidade de A ocorrer sabendo-se que vai ocorrer ou já ocorreu o evento B, que é indicada por P(A | B). A AB B S n( A  B ) p ( A  B ) p( A | B)   n( B ) p( B) p( A  B)  p( B). p( A | B) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  24. 24. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  25. 25. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Jogando um dado e sabendo que ocorreu um número maior que 3, qual a probabilidade de ser um número ímpar ? A : Evento “número ímpar” B : Evento “número maior do que 3” 2 A 1 3 5 4 6 B S 1 p( A | B)   33% 3 Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  26. 26. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Jogando um dado qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e ímpar ? A: evento “número maior do que 3” B: evento “número ímpar” p( A  B)  p( B). p( A | B) n( A  B ) p( A | B)  n( B ) 3 1 1 p( A  B)  .   16,7% 6 3 6 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  27. 27. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solução: p(V  B) = p(V) . p(B/V) p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo: p(B/V) = 2/6 = 1/3 Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que: P(V  B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  28. 28. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solução: Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como: P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41% Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  29. 29. Probabilidade básica Propriedades h) Eventos dependentes e independentes Dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando: p ( A | B )  p ( A) p ( B | A)  p ( B ) Consequência: A e B são independentes  p(A  B) = p(A).p(B) A e B são dependentes  p(A  B)  p(A).p(B) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  30. 30. Probabilidade básica Propriedades h) Eventos dependentes e independentes Exemplo: Numa urna existem 6 bolas brancas e 4 bolas pretas que Diferem apenas e tão somente pela cor ou pela numeração. As brancas Estão numeradas de 1 a 6, e as pretas de 1 a 4. Retirando uma bola ao acaso, os eventos “bola branca” e “número par” são dependentes ou Independentes ? Solução: 5 1 p ( B)   A : “bola branca” 10 2 B: “número par” n( B  A) 3 1 p ( B | A)  n( A)  6  2 Como p(B|A) = p(B) implica que os eventos são independentes. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  31. 31. Probabilidade básica Propriedades h) Eventos dependentes e independentes Exemplo: Numa urna existem 6 bolas brancas e 4 bolas pretas que Diferem apenas e tão somente pela cor ou pela numeração. As brancas Estão numeradas de 1 a 6, e as pretas de 1 a 4. Retirando uma bola ao acaso, os eventos “bola branca” e “número maior que quatro” são dependentes ou independentes ? Solução: 6 3 p ( B)   A : “bola branca” 10 5 B: “número maior que quatro” n( B  A) 2 p ( B | A)  n( A)  6 Como p(B|A)  p(B) implica que os eventos são dependentes. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com  1 3
  32. 32. Probabilidade básica PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU SUCESSIVOS Dados dois eventos independentes A e B de um espaço amostral, sabemos que p(AB)=p(A).p(B) p( A1  A2    An )  p( A1 ). p( A2 )... p( An ) Probabilidade Binomial k Cn,k . p( A) . p( A) nk A lei binomial é aplicável se a experiência é repetida sempre nas mesmas condições, se cada experiência é independente das demais, e se cada vez que a experiência é realizada ocorre A ou Ā. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  33. 33. Probabilidade básica PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU SUCESSIVOS Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 quatro vezes ? A1 : número 1 na 1ª jogada A2 : número 1 na 2ª jogada A3 : número 1 na 3ª jogada A4 : número 1 na 4ª jogada  Todos estes eventos são independentes pois o resultado de uma jogada não depende do resultado da jogada anterior, portanto: p( A  A2  A3  A4 )  1 1 1 1 1 1 . . .   0,08% 6 6 6 6 1296 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  34. 34. Probabilidade básica PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU SUCESSIVOS Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só na primeira jogada ? A1 : número 1 na 1ª jogada A2 : número diferente de 1 na 2ª jogada A3 : número diferente de 1 na 3ª jogada A4 : número diferente de 1 na 4ª jogada  Todos estes eventos são independentes pois o resultado de uma jogada não depende do resultado da jogada anterior, portanto: p( A  A2  A3  A4 )  1 1 5 5 5 125 . . .   9,6% 6 6 6 6 1296 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  35. 35. Probabilidade básica PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU SUCESSIVOS Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só nas duas primeiras jogadas ? A1 : número 1 na 1ª jogada A2 : número 1 na 1ª jogada A3 : número diferente de 1 na 3ª jogada A4 : número diferente de 1 na 4ª jogada  Todos estes eventos são independentes pois o resultado de uma jogada não depende do resultado da jogada anterior, portanto: p( A  A2  A3  A4 )  1 1 1 5 5 25 . . .   1,9% 6 6 6 6 1296 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  36. 36. Probabilidade básica PROBABILIDADE ENSAIOS REPETIDOS OU SUCESSIVOS Exemplo: Jogando-se um dado quatro vezes seguidas qual a probabilidade de ocorrer o número 1 só duas vezes ? A : Evento “ocorrer o número 1” Ā : Evento “ocorrer o número diferente de 1”  Todos estes eventos são independentes pois o resultado de uma jogada não depende do resultado da jogada anterior;  Das condições do problema, nas quatro jogadas só em duas ocorre o número 1: Assim temos C4,2 = 6 situações que satisfazem o problema. 1 1 5 5 25 p( A  A2  A3  A4 )  . . .   1,9% 1 6 6 6 6 1296 25 25 C4 , 2 .  6.  11,6% 1296 1296 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  37. 37. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  38. 38. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  39. 39. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  40. 40. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  41. 41. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  42. 42. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  43. 43. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  44. 44. Probabilidade básica PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  45. 45. Probabilidade básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  46. 46. Probabilidade básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  47. 47. Probabilidade básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  48. 48. Probabilidade básica (UFF–RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela? Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  49. 49. Probabilidade básica (UFSCar) Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é: a) 2/36 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/4 e) 2/18 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  50. 50. Probabilidade básica Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários: Todos se acidentarem. Nenhum se acidentar. Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  51. 51. Probabilidade básica Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  52. 52. Probabilidade básica Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  53. 53. Probabilidade básica André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André saber resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  54. 54. Probabilidade básica Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  55. 55. Probabilidade básica A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é Igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X  N | 1  X  3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y  N | 1  Y  4}, onde N representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  56. 56. Probabilidade básica Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha frequentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha frequentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% frequentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  57. 57. Probabilidade básica Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  58. 58. Probabilidade básica Uma clínica especializada trata apenas de três tipos de doentes dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem cálculo renal e dos hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clínica são cardíacos, 40% são portadores de cálculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de cálculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele sofresse de cálculo renal: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  59. 59. Probabilidade básica Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  60. 60. Probabilidade básica Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, o probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  61. 61. Probabilidade básica São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas ? Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  62. 62. Probabilidade básica Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  63. 63. Probabilidade básica Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  64. 64. Probabilidade básica Com as frutas abacaxi, manga, banana, laranja, maça e tangerina. Teresa deseja preparar um suco usando três frutas distintas. A probabilidade de o suco conter laranja ou banana é de: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  65. 65. Probabilidade básica Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida, retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto afirmar que: a) b) c) d) e) ao menos uma é branca. necessariamente uma é branca. ao menos uma é cinza. exatamente uma é cinza. todas são cinza. Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  66. 66. Probabilidade básica Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm3 de volume, 3 cubos pretos, cada um com 2 cm3 de volume e 1 cubo azul de 3 cm3 de volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição, necessariamente um deles: a) b) c) d) e) terá volume menor do que 3 cm3. terá volume maior do que 3 cm3. será uma bola. será azul. será preto. Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  67. 67. Probabilidade básica De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  68. 68. Probabilidade básica Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas. Outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  69. 69. Probabilidade básica Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos é de aproximadamente: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  70. 70. Probabilidade básica Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, a probabilidade de que numa retirada de 3 parafusos ao acaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos é: (sugestão: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos). Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  71. 71. Probabilidade básica Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. A probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira sair vermelha é: Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  72. 72. Probabilidade básica Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha ? Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  73. 73. Probabilidade básica Lançando-se um dado não viciado 8 vezes, qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3 ? Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  74. 74. Probabilidade básica Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  75. 75. Probabilidade básica Três atletas A, B, e C estão em uma competição de natação. A e B tem as mesmas chances de vencer e cada um tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Qual a probabilidade de A ou C vencer a competição ? Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  76. 76. Probabilidade básica Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)
  77. 77. Probabilidade básica Considere uma urna que contém 1 bola preta, 4 bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada dessa urna, a sua cor é observada e em seguida a bola é devolvida à urna. Depois, retira-se novamente uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor valor ½ ? Solução: Aulas de Matemática / Física / Química - (21)Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física / Química – 9-8126-2831 - Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)

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