Множество Мандельброта.

1. Фрактальная геометрия
Множество Мандельброта

2. Знаменитый фрактал
Множество Мандельброта это "самый
известный фрактал и один из
самых...красивых известных
математических объектов" английский
астроном, математик музыкант Дэвид
Дарлинг.
Книга рекордов Гинесса назвала это
множество «самым сложным
объектом в математике»

3. Множество названо в честь
Бенуа Мандельбро
Бенуа Мандельброт (родился 20 ноября
1924 года, Варшава , Польша - умер 14
октября 2010 года, Кембридж ,
Массачусетс , США, 85 лет )французско -
американский математик польского
происхождения, всемирно известный как
"отец" фракталов. Лауреат премии Вольфа
по физике (1993).
Понятие «фрактал» придумал сам Бенуа
Мандельброт (от лат. fractus, означающего
«сломанный, разбитый»). Используя
находящиеся в его распоряжении
компьютеры IBM, Мандельброт создал
графические изображения,
сформированные на основе множества
Мандельброта.

4. Фрактал
Фрактал (лат. fractus — дроблёный,
сломанный, разбитый) — множество,
обладающее свойством самоподобия
(объект, в точности или приближённо
совпадающий с частью себя самого, то
есть целое имеет ту же форму, что и
одна или более частей). В математике
под фракталами понимают множества
точек в евклидовом пространстве,
имеющие дробную метрическую
размерность (в смысле Минковского
или Хаусдорфа), либо метрическую
размерность, отличную от
топологической, поэтому их следует
отличать от прочих геометрических
фигур, ограниченных конечным числом
звеньев.

5. Фрактальная геометрия
Эта геометрия не является прямым
«приложением» идей, доминирующих в
математике XX в. Это — новая отрасль,
несколько запоздало родившаяся из
кризиса математики, который начался в
1875 г., когда Дюбуа-Реймон впервые
сообщил миру о непрерывной
недифференцируемой функции,
построенной Вейерштрассом.

6. Множество Мандельброта создается путем
итерации
Что означает повторение процесса
снова и снова. В математике этот
процесс чаще всего представляет
собой применение математической
функции.
Для множества Мандельброта
задействованные функции являются
одними из самых простых, которые
можно вообразить: все они являются
так называемыми квадратичными
полиномами и имеют вид f (x) = x 2 +
c , где c - постоянное число.

7. Как устроены фракталы: бесконечность и
красота математики
В основе этого явления лежит очень
простая идея: бесконечное по красоте
и разнообразию множество фигур
можно получить из относительно
простых конструкций при помощи
всего двух операций – копирования и
масштабирования.
Если посмотреть на множество
фракталов, в них можно увидеть
множество отличий. Эти отличия
наблюдаются не только в форме
фигур, из которых состоят фракталы,
но и в самой форме представления
этих множеств. Таким образом,
различают геометрические,
алгебраические и стохастические
фракталы.

8. Геометрические фракталы
Это самый привычный нам вид
фракталов. Они строятся на основе
какой-либо геометрической фигуры
путем дробления ее частей и их
преобразования. Среди примеров
можно назвать L-системы. Изначально
они были спроектированы для
моделирования биологических
клеточных систем, но с таким же
успехом могут быть применены и к
другим ветвящимся системам.
Дерево Пифагора — один из самых
простых примеров геометрических
фракталов.

9. Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы строятся на
основе математических формул — их
можно превратить в геометрические,
если построить графики на
координатной плоскости. Среди
алгебраических фракталов можно
выделить фракталы Мандельброта,
Жюлиа и бассейны Ньютона.
Так выглядят бассейны Ньютона —
фракталы, построенные на множестве
кубов комплексных чисел.

10. Стохастические фракталы
Этот вид фракталов строится на
основе математических формул, но в
процессе построения параметры в них
случайным образом изменяются. Это
приводит к появлению причудливых
форм, очень похожих на природные.
В отличие от геометрических и
некоторых алгебраических,
стохастические фракталы можно
построить лишь при помощи
компьютера.

11. Фракталы и жизнь
В наши дни теория фракталов находит
широкое применение в различных
областях человеческой деятельности.
Применяются в фрактальной живописи,
фракталы используются в теории
информации для сжатия графических
данных (здесь в основном применяется
свойство самоподобия фракталов.
В радиоэлектронике выпускают антенны,
имеющие фрактальную форму. Занимая
мало места, они обеспечивают вполне
качественный прием сигнала.
Экономисты используют фракталы для
описания кривых колебания курсов
валют (это свойство было открыто
Мандельбротом)

12. «...всё фрактально повторяется в этом
материальном мире…»
Можно сказать, что фрактал – это
узор, который повторяет сам себя в
разных масштабах до бесконечно
малого или/и бесконечно большого.
Он рождается не просто повторением
форм, а скорее повторением
процесса, который применяется к
форме. Бесконечная цепочка
самопостроения.
В природе ярким примером такого
узора является капуста сорта
«Романеско».

13. «Снежинка Коха»
«Снежинка Коха» стала основой
фрактальных антенн, которые мы
используем в мобильных устройствах.
Благодаря такой форме антенны
имеют компактный размер с широким
диапазоном действия.

14. «Треугольник Серпинского».
Возьмём равносторонний треугольник,
отметим середины его сторон.
Соединим срединные точки прямыми
линиями. Образовались 4 треугольника.
Центральный треугольник вынимаем и
«выкидываем».
Теперь повторим эту операцию с
каждым из вновь образовавшихся
треугольников. И так до бесконечности.
Треугольник Серпинского имеет
нулевую площадь. Разбирая способ
построения, можно увидеть, что
«вынимая» из треугольника всё
наполнение после каждой итерации
(повторение операции построения), мы
постоянно уменьшаем его площадь и в
результате сводим её к нулю

15. Алгебраические фракталы и дизайн
Это самая крупная группа фракталов,
которая базируется на основе разных
алгебраических формул. Ярким
примером является фрактал
Мандельброта. В настоящее время их
принято отображать в цвете.
Получаются красивейшие необычные
орнаменты, которые используют,
например, в дизайне одежды.

16. Стохастический фрактал
Папоротник Барнсли — фрактал,
названый в честь британского
математика Майкла Барнсли, впервые
описан в его книге "Фракталы
повсюду" (eng. Fractals Everywhere).

17. ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ
Молния.

18. Фрактальные формы в природе
Ландшафт.

19. Фрактальные формы в природе
Снежинка.

20. Фрактальные формы в природе
Крона дерева.

21. Фрактальные формы в природе
Самое интересное, что прожилки на
листьях тоже образуют фрактальный
рисунок, очень похожий на плоское
миниатюрное дерево. Нет листьев с
одинаковым рисунком, так же как нет
людей с одинаковым отпечатком
пальца. Рисунок на каждом листе
уникален.

22. Спираль золотого сечения
Золотая спираль строится фрактальным
способом.
Пропорция золотого сечения воспринимается
человеческим глазом как красивая,
гармоничная. А ещё пропорция 0,618…
равняется отношению предыдущего к
последующему числу в ряде Фибоначчи.
Числа ряда Фибоначчи повсеместно
проявляются в природе: это спираль, по
которой веточки растений примыкают к
стеблю, спираль, по которой вырастают
чешуйки на шишке или зёрна на подсолнухе.
Что интересно, количество рядов,
закручивающихся против часовой стрелки и
по часовой стрелке, — это соседние числа в
ряде Фибоначчи.
Спираль ракушки тоже является фракталом.

23. В науке
Науке уже известно о спиральных структурах и
спиралевидном движении энергии. В этом
движении также обнаруживаются фрактальные
свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле
человека, в растениях и природных явлениях
(облака, циклоны, водовороты).
Физики наблюдали, как в турбулентных потоках
большие вихри порождают вихри поменьше, а те
ещё меньше, и такое деление спиралевидных
энергий наблюдалось до тех видимых пределов,
которые технически были доступны учёным.
Фрактальные свойства присутствуют в структуре
и движении энергии электрического разряда,
воды, в росте растений и т.д.

24. Чем полезны знания о фракталах
Понимание фрактального устройства
упростило многие сферы научных
исследований. Удивительная
особенность фракталов – повторение
аналогичного паттерна в разных
масштабах – позволяет нам, изучив
малую часть какого-либо события или
явления, предполагать об устройстве
целого.

25. Презентацию подготовила Olga Siida
Спасибо за внимание!