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コンピュータシステムの理論と実装2
- 2. 2章 ブール算術 PCで用いられる演算 → 論理演算 + 算術演算 1章ブール論理 2章ブール算術 (加算と減算) 論理演算と算術演算を処理するハードウェア装置 → ALU(Arithmetic and Logic Unit)
- 3. 2進数と10進数の関係 (𝑥 𝑛 𝑥 𝑛−1・・・𝑥0) 𝑡𝑤𝑜= σ𝑖=0 𝑛 2𝑖 × 𝑥𝑖 2進数から10進数 (ex) (11010) 𝑡𝑤𝑜= 20 × 0 + 21 × 1 + 22 × 0 + 23 × 1 + 24 × 1 = 26 10進数から2進数 連除法 ・・・ 2で割り続けて、余りを並べる (ex) 26 → (11010) 𝑡𝑤𝑜 各桁の重み 各桁の数 ２６２ 13２ 0 6２ 1 3２ 0 1 1 下 か ら 並 べ る
- 4. 2進数加算 2進数の加算 → 10進数と同様。 各桁で足し合わせ、1を超えたら桁上げ(キャリー) (ex) 1001 + 0101 1001 + 0101 1110 0001 キャリー
- 5. 算術オーバーフロー コンピュータでは、扱える桁数(ビット数)の上限が決まっている！ 上限を超えてしまった状態 ＝ オーバーフロー 特に 数値の計算によるオーバーフロー ＝ 算術オーバーフロー ex) 上限が4ビットの場合 1001 + 0101 1110 オーバーフロー なし 結果が4ビット に収まってる! 1011 + 0111 10010 オーバーフロー あり 結果が5ビット に突入!
- 6. 算術オーバーフロー 算術オーバーフローが起こった場合の処理 → ・ エラーを出力し、プログラムを停止 ・ オーバーフローを示す特殊な値を出力 ・ オーバーフローで溢れたビットを無視 ・ etc. 恐らく、今回はこれ
- 7. 符号付き2進数 数 → 正の数と負の数 0と1を用いて、符号付きの数をどう表現するか？ → 2の補数表現が主流！ 符号がなくてもOK +2 or 2 −2 符号が必要
- 8. 2の補数 ある𝑛 桁2進数𝑥の2の補数 ҧ𝑥は次のように定義される。 ҧ𝑥 𝑡𝑒𝑛 = ቊ 2 𝑛 − 𝑥 𝑡𝑒𝑛 (𝑥 ≠ 0) 0 (𝑥 = 0) ex) 4桁2進数 (0010) 𝑡𝑤𝑜を2の補数表現すると 24 − 2 = 14 = (1110) 𝑡𝑤𝑜
- 9. 2の補数 2の補数を簡単に求めるテクニック 1. 各ビットの数を反転させる 2. 最下位ビットに1を加える ex) (0010) 𝑡𝑤𝑜の2の補数を求める 1. ビットの反転 → (1101) 𝑡𝑤𝑜 2. 1を加える → (1110) 𝑡𝑤𝑜 ҧ𝑥 𝑡𝑒𝑛 = ቊ 2 𝑛 − 𝑥 𝑡𝑒𝑛 (𝑥 ≠ 0) 0 (𝑥 = 0) で求めるのは面倒。。。
- 10. 2の補数 2の補数は、元の数と絶対値は同じで逆符号をもつ数となる！ ex) (0010) 𝑡𝑤𝑜 の 2の補数は(1110) 𝑡𝑤𝑜 (0010) 𝑡𝑤𝑜 ↔ (1110) 𝑡𝑤𝑜 (0010) 𝑡𝑤𝑜 + (1110) 𝑡𝑤𝑜 = (0000) 𝑡𝑤𝑜 本当に対か？ 算術オーバーフローで5桁目は無視される！
- 11. 符号付き2進数の注意点 (0010) 𝑡𝑤𝑜の2の補数は(1110) 𝑡𝑤𝑜 ⇒ (1110) 𝑡𝑤𝑜= −2 ただ、 (1110) 𝑡𝑤𝑜= 14では？ → 符号付き2進数では、最上位ビットが1の場合は、負の数として扱う! 符号を考慮するなら (1110) 𝑡𝑤𝑜≠ 14
- 12. 符号付き2進数の注意点 なぜ最上位ビットが1で負の数？ → 限られたビット数で正数、負数の両方を表現するため！ ex) 数字を4ビットで扱う場合 24 = 16 通りの数を表せる → 正の数、負の数を8つずつに 分ける → 最上位ビットが0 : 正の数 最上位ビットが1 : 負の数
- 13. 符号付き2進数の注意点 最上位ビットが0 : 正の数 最上位ビットが1 : 負の数 正の数 負の数 0 0000 1 0001 −1 1111 2 0010 −2 1110 3 0011 −3 1101 4 0100 −4 1100 5 0101 −5 1011 6 0110 −6 1010 7 0111 −7 1001 −8 1000
- 14. 2進数減算 2の補数表現を用いると、減算は加算として扱える！ ex) 6 −3 = 3 を2の補数表現を用いて計算 6 −3 = 6 + (−3) = (0110) 𝑡𝑤𝑜+(1101) 𝑡𝑤𝑜 = (0011) 𝑡𝑤𝑜 = 3 加算として扱う
- 15. 加算器 加算器の種類 ・半加算器 ・・・ 2つの1ビットの和を求める ・全加算器 ・・・ 3つの1ビットの和を求める ・(多ビット半)加算器 ・・・ 2つの多ビットの和を求める ・インクリメンタ ・・・ 1を加える
- 16. ALU (Arithmetic and Logic Unit) ALU ・・・ 論理演算と算術演算を処理する装置 制御ビットによって、演算の内容が操作される 今回のALUは、6つの制御ビットを用いる → 26 = 64通りの演算内容が存在するが、以降で重要と なってくるのは18種類
- 18. 半加算器 sum ・・・ 最下位ビット sum = Xor(a,b) carry ・・・ 最上位ビット carry = And(a,b) a b carry sum 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Half Adder a b sum carry
- 19. 半加算器 sum ・・・ 最下位ビット sum = Xor(a,b) carry ・・・ 最上位ビット carry = And(a,b) Xor a b sum carryAnd a b carry sum 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
- 20. 全加算器 sum ・・・ 最下位ビット carry ・・・ 最上位ビット Full Adder a b sum carry a b c carry sum 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 c
- 21. 全加算器 a + b (a + b) + c a=b=c=1の場合の例 a sum carry b Half Adder Half Adder c Or s c s c c1 s1 s1 c2 1 1 + 1 1 0 a b c1 0 1 0 + 1 1 1 c1 s1 c c2 sumcarry
- 22. 全加算器 a + b (a + b) + c a=b=c=1の場合の例 a sum carry b Half Adder Half Adder c Or s c s c c1 s1 s1 c2 1 1 + 1 1 0 a b c1 0 1 0 + 1 1 1 c1 s1 c c2 sumcarry 半加算器 半加算器Orゲート
- 23. 多ビット加算器 16ビット2進数の加算 ・・・ ・・・ 1 1 0 1 ・・・ 1 1 + 1 1 ・・・ 1 1 ・・・ ・・・ ・・・ 1 0 オペランド1 オペランド2 キャリービット（桁上げ） Add16 a[16] b[16] out[16]
- 24. 多ビット加算器 16ビット2進数の加算 ・・・ ・・・ 1 1 0 1 ・・・ 1 1 + 1 1 ・・・ 1 1 ・・・ ・・・ ・・・ 1 0 オペランド1 オペランド2 キャリービット（桁上げ） 2ビットの足し算なので半加算器
- 26. インクリメンタ インターフェイス 実装 HDLで記述する際、0はfalse、1はtrueとする。 → 00・・・01 ＝ false false ・・・ false true Inc16in[16] out[16] Add16 in[16] out[16] 00・・・01 1入力から2入力 →具体的な値なら増やせる？
- 27. ALU 入力 → データビット ： x[16]、y[16] 制御ビット ： zx、nx、zy、ny、f、no 出力 → out[16]、zr、ng x[16] y[16] out[16] nx zy ny f nozx zr ng ALU
- 28. ALU 各制御ビットの役割 (p.36の図を参照) ・ zx → x[16]を00・・・0にする ・ f → f=1ならx[16]+y[16] ・ nx → x[16]を否定(反転) f=0ならAnd(x[16],y[16]) ・ ny → y[16]を00・・・0にする ・ no → zx~fを経た結果を否定(反転) ・ ny → y[16]を否定(反転)
- 29. ALU 具体例 zx nx zy ny f no out if zx=1 then x=0 if nx=1 then x = !x if zy=1 then y=0 if ny=1 then y = !y if f=1 then out=x+y else out=x&y if no=1 then out = !out 0 0 1 1 1 0 x-1
- 30. zx=0 → x[16]はそのまま f=1 → out = x[16]+y[16] nx=0 → x[16]はそのまま = x[16]+11・・・1 zy=1 → y[16]は00・・・0になる = x – 1 (10進数) ny=1 → y[16]は11・・・1になる zx nx zy ny f no out if zx=1 then x=0 if nx=1 then x = !x if zy=1 then y=0 if ny=1 then y = !y if f=1 then out=x+y else out=x&y if no=1 then out = !out 0 0 1 1 1 0 x-1