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武井研ゼミ M1 第3回目
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1.
武井研ゼミ M1 第3回目 2016/04/25(Monday)
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2.
フーリエ変換による置換族の独立性解析 長岡技術科学大学 鈴木孝 NGUYEN
THAI PHAT 武井由智 p.243~245 Main topic: group algebra, convolution,… Fourier Analysis on Finite Group and applications Audrey Terras 1999 2.6 Young直交表現 2.7 対称群上のフーリエ解析 2.8 畳み込み
3.
§2.6 Young直交表現(YOR) • YORは対称群の既約表現:
整数の分割𝜆 ⊢ 𝑛でラベル付 𝜌 𝜆: 𝑆 𝑛 → ℝ 𝑑 𝜆×𝑑 𝜆 • 表現の次数𝑑 𝜆 = StTab 𝜆 , StTab 𝜆 : 𝜆に関する標準ヤング盤の集合 O 𝑑 𝜆 ∋ 𝜌 𝜆 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,𝑡 = 1 𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1 (対角成分) O 𝑑 𝜆 : 𝑑 𝜆 × 𝑑 𝜆 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 𝑠𝑒𝑡, StTab 𝜆 ∋ 𝑡, 𝑆 𝑛 ∋ 𝑘, 𝑘 + 1 : 隣接互換 𝑖𝑓 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡 ∈ StTab 𝜆 ⇒ 非対角要素が存在する
4.
§2.6 Young直交表現(YOR) 𝜌 𝜆
𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,(𝑘,𝑘+1)(𝑡) = 1 − 1 𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1 2 その他の行列要素は0. 𝑑 𝑡 𝑖, 𝑗 = 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 𝑐 𝑥 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑥. 標準ヤング盤𝑡上の𝑟行𝜇列に数字𝑥がある時, 𝑐 𝑥 = 𝜇 − 𝑟 ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛は隣接互換の積で表せる. ∴ ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛の表現が定義できた! 特に,𝜌 𝜆 𝜎−1 = 𝜌 𝜆 𝜎 −1 = 𝜌 𝜆 𝜎 𝑇
5.
§2.6 Young直交表現(YOR) 𝜆 =
2,2 =⊞⊢ 4, 𝜌 𝜆 123 4 = 𝜌⊞ 123 を求めてみる. 𝜌⊞ 123 = 𝜌⊞ (12)(23) = 𝜌⊞ (12) ⋅ 𝜌⊞ 23 𝑑⊞ = StTab ⊞ = 2 𝑡 = 1 3 2 4 , 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡 1,2 = −1 𝑡′ = 1 2 3 4 , 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡′ 1,2 = 1 1,2 𝑡 = 2 3 1 4 ∉ StTab 𝜆 , 非対角要素は0, ∴ 𝜌⊞ 12 = −1 0 0 1
6.
§2.6 Young直交表現(YOR) 𝑡 = 1
3 2 4 , 𝑐 3 = 2 − 1 = 1, 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, ∴ 𝑑 𝑡 2,3 = 2 𝑡′ = 1 2 3 4 , 𝑐 3 = 1 − 2 = −1, 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, ∴ 𝑑 𝑡′ 2,3 = −2 2,3 𝑡 = 1 2 3 4 ∈ StTab 𝜆 , 非対角要素が存在 ∴ 𝜌⊞ 23 = 1/2 3/2 3/2 −1/2
7.
∴ 𝜌⊞ 123
= −1 0 0 1 1/2 3/2 3/2 −1/2 = −1/2 − 3/2 3/2 −1/2
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