1. Toán cao cấp
Không gian vector
(bản thử nghiệm)
2011
Lê Cao Nguyên
Sinh viên lớp A18 – CLC – TCNH – K50 Đại học Ngoại thương

2. LÊ CAO NGUYÊN
Sinh viên lớp A18 – CLC – TCNH – K50 Đại học Ngoại thương
TOÁN CAO CẤP
Không gian vector
(Bản thử nghiệm)
2011

4. Lời nói đầu
Chắc các bạn đều biết môn toán cao cấp là một trong những môn "càng học càng
không hiểu" trong chương trình giáo dục đại học ở Việt Nam, bởi nhiều kiến thức trong môn
này khá phức tạp, thậm chí còn trừu tượng khó hiểu. Hơn nữa do không có một giáo trình
toán cao cấp thống nhất, cho nên chuyện "thầy dạy sách này, trò học sách kia" là điều dễ xảy
ra, thậm chí sách của thầy còn có những kiến thức mở rộng, "cao cấp" hơn sách của trò nên
trò không hiểu là điều đương nhiên. Ngoài ra các giáo trình toán cao cấp thường không có
phần tóm tắt kiến thức ở mỗi chương, nên học trò phải tự tóm tắt kiến thức, dẫn đến kiến
thức có thể không đầy đủ và thiếu sự liên kết. Đó là những vấn đề mà hầu như sinh viên nào
cũng gặp phải. Việc tìm ra một cuốn sách toán cao cấp mà có thể diễn giải một cách đầy đủ,
dễ hiểu các kiến thức, có phần tóm tắt kiến thức để sinh viên nắm bắt dễ dàng là vô cùng khó
khăn, dẫn đến sinh viên phải trao đổi kiến thức với nhau, thậm chí còn không biết trao đổi
cái gì vì kiến thức nắm được khá rời rạc và không có hệ thống.
Bản thân tôi đã từng trải qua những vấn đề ấy, nên tôi thấu hiểu được nỗi khổ của các
bạn sinh viên, đặc biệt là các bạn sinh viên lớp A18 của tôi trong việc học môn toán cao cấp.
Vì vậy tôi quyết định viết cuốn sách này để diễn giải một cách đầy đủ, dễ hiểu nhất có thể các
kiến thức của chương "Không gian vector" trong toán cao cấp, một chương khá trừu tượng,
khó hiểu mà các cuốn sách tôi đã đọc thường không diễn giải hết.
Cuốn sách này gồm có ba phần. Phần đầu cuốn sách là phần "diễn giải kiến thức",
trong đó tất cả các kiến thức, từ cơ bản đến phức tạp, của chương "Không gian vector" mà
tôi nắm bắt được đều được tổng hợp ở đây. Với những kiến thức cơ bản mà khá trừu tượng
khó hiểu, tôi đều có một số ví dụ để minh họa. Phần thứ hai của cuốn sách là phần "tóm tắt
kiến thức", phần này là nơi tôi tổng hợp một cách có chọn lọc các kiến thức đã nói ở trên, có
đi kèm hướng dẫn cho các dạng bài tập cơ bản của chương. Phần cuối cùng của cuốn sách là
một số bài tập cơ bản nhằm mục đích tham khảo. Các bạn không chuyên toán cao cấp nên
đọc phần "tóm tắt kiến thức" vì phần này viết khá ngắn gọn, giúp các bạn dễ dàng nắm vững
kiến thức, phục vụ cho việc giải bài tập. Còn bạn nào muốn hiểu sâu hơn thì có thể đọc phần
"diễn giải kiến thức" ở trên, các định lí, tính chất, hệ quả đều đã được chứng minh hoặc có
hướng dẫn chứng minh cho bạn.
Cuốn sách này do tôi thu nhặt kiến thức từ nhiều nguồn, mỗi nguồn có khối lượng
kiến thức và cách diễn giải riêng của mình, cho nên có một số khái niệm tôi phải định nghĩa
lại cho chuẩn xác, một số định lí thay vì thừa nhận tôi phải tự chứng minh để giúp các bạn
hiểu sâu hơn. Do vậy một số định nghĩa, chứng minh của tôi có thể gặp sai sót, dù đã cố gắng
kiểm tra phân tích kĩ lưỡng. Phong cách viết của tôi cũng không được tốt nên đôi lúc bạn đọc
sẽ cảm thấy khó hiểu. Tôi hi vọng sẽ nhận được nhiều đóng góp, phê bình từ các bạn để cuốn
sách này hoàn thiện hơn.
Lê Cao Nguyên

6. 1
Mục lục phần "Diễn giải kiến thức"
1. Vector và không gian vector...........................................................................................................................................5
1.1. Nhắc lại kiến thức cũ...............................................................................................................................................5
1.2. Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát......................................................................................5
1.3. Các ví dụ về không gian vector............................................................................................................................6
1.4. Một số tính chất của không gian vector...........................................................................................................7
1.5. Phép trừ 2 vector......................................................................................................................................................8
1.6. Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều .....................................................................9
1.6.1. Định nghĩa vector số học n chiều..............................................................................................................9
1.6.2. Hai vector n chiều bằng nhau.....................................................................................................................9
1.6.3. Định nghĩa không gian vector n chiều.....................................................................................................9
2. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector...........................................................................................10
2.1. Nói về thuật ngữ tuyến tính ..............................................................................................................................10
2.2. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector................................................................................................11
2.3. Phép biểu diễn tuyến tính..................................................................................................................................13
2.4. Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính..................................................................................................14
2.4.1. Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính....................................................................14
2.4.2. Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính.........................................14
2.4.3. Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại................................................................................18
3. Không gian vector con...................................................................................................................................................19
3.1. Định nghĩa về không gian vector con.............................................................................................................19
3.2. Các tính chất của không gian vector con ......................................................................................................19
3.3. Ví dụ về không gian vector con........................................................................................................................20
3.4. Không gian con sinh bởi hệ vector .................................................................................................................20
4. Cơ sở và số chiều của không gian vector.................................................................................................................21
4.1. Hệ sinh.......................................................................................................................................................................21
4.2. Hệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó......................................................................................................23
4.3. Cơ sở và số chiều của một không gian...........................................................................................................26
4.4. Tọa độ của vector trong cơ sở..........................................................................................................................28
5. Hạng của một hệ hữu hạn vector...............................................................................................................................29
5.1. Cơ sở của một hệ vector .....................................................................................................................................29
5.2. Hạng của một hệ vector ......................................................................................................................................31
5.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng ...............................................................................................32
5.3.1. Phép biến đổi thêm bớt vector................................................................................................................32
5.3.2. Các phép biến đổi sơ cấp...........................................................................................................................32

7. 2
Danh sách các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả
Trong phần này, các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả được đánh số như sau:
Định nghĩa 3.4: Định nghĩa số 4 trong mục 3
Ví dụ 4.3.1: Ví dụ số 1 trong mục 4.3
Tính chất 2.1: Tính chất số 1 trong mục 2
Định lí 4.2: Định lí số 2 trong mục 4
Hệ quả 2.6.1: Hệ quả số 1 được suy ra từ định lí 2.6
Định nghĩa 1.1...............................................................................................................................................................................................5
Ví dụ 1.3.1 ......................................................................................................................................................................................................6
Ví dụ 1.3.2 ......................................................................................................................................................................................................7
Ví dụ 1.3.3 ......................................................................................................................................................................................................7
Ví dụ 1.3.4 ......................................................................................................................................................................................................7
Tính chất 1.1...............................................................................................................................................................................7
Tính chất 1.2...............................................................................................................................................................................7
Tính chất 1.3...............................................................................................................................................................................7
Tính chất 1.4...............................................................................................................................................................................8
Tính chất 1.5...............................................................................................................................................................................8
Tính chất 1.6...............................................................................................................................................................................8
Định nghĩa 1.2...............................................................................................................................................................................................8
Định nghĩa 1.3...............................................................................................................................................................................................9
Định nghĩa 1.4...............................................................................................................................................................................................9
Định nghĩa 1.5............................................................................................................................................................................................10
Định nghĩa 2.1............................................................................................................................................................................................11
Định nghĩa 2.2............................................................................................................................................................................................12
Tính chất 2.1............................................................................................................................................................................ 12
Tính chất 2.2............................................................................................................................................................................ 13
Định lí 2.1 ....................................................................................................................................................................................................13
Định nghĩa 2.3............................................................................................................................................................................................13
Ví dụ 2.3.1 ...................................................................................................................................................................................................13
Ví dụ 2.3.2 ...................................................................................................................................................................................................13
Định lí 2.2 ....................................................................................................................................................................................................14
Định nghĩa 2.4............................................................................................................................................................................................14
Định lí 2.3 ....................................................................................................................................................................................................14
Hệ quả 2.3.1................................................................................................................................................................................................15
Hệ quả 2.3.2................................................................................................................................................................................................15
Định lí 2.4 ....................................................................................................................................................................................................15
Hệ quả 2.4.1................................................................................................................................................................................................15

8. 3
Hệ quả 2.4.2................................................................................................................................................................................................16
Định lí 2.5.....................................................................................................................................................................................................16
Hệ quả 2.5.1................................................................................................................................................................................................16
Hệ quả 2.5.2................................................................................................................................................................................................16
Định lí 2.6.....................................................................................................................................................................................................17
Hệ quả 2.6.1................................................................................................................................................................................................17
Định lí 2.7.....................................................................................................................................................................................................17
Định lí 2.8.....................................................................................................................................................................................................17
Định lí 2.9.....................................................................................................................................................................................................18
Hệ quả 2.9.1................................................................................................................................................................................................18
Hệ quả 2.9.2................................................................................................................................................................................................19
Định nghĩa 3.1 ............................................................................................................................................................................................19
Tính chất 3.1............................................................................................................................................................................ 19
Tính chất 3.2............................................................................................................................................................................ 19
Tính chất 3.3............................................................................................................................................................................ 19
Ví dụ 3.3.1....................................................................................................................................................................................................20
Ví dụ 3.3.2....................................................................................................................................................................................................20
Ví dụ 3.3.3....................................................................................................................................................................................................20
Định lí 3.1.....................................................................................................................................................................................................20
Định nghĩa 3.2 ............................................................................................................................................................................................21
Định lí 3.2.....................................................................................................................................................................................................21
Định nghĩa 4.1 ............................................................................................................................................................................................21
Ví dụ 4.1.1....................................................................................................................................................................................................22
Ví dụ 4.1.2....................................................................................................................................................................................................22
Ví dụ 4.1.3....................................................................................................................................................................................................22
Định lí 4.1.....................................................................................................................................................................................................22
Định lí 4.2.....................................................................................................................................................................................................23
Hệ quả 4.2.1................................................................................................................................................................................................24
Định lí 4.3.....................................................................................................................................................................................................24
Định lí 4.4.....................................................................................................................................................................................................24
Hệ quả 4.4.1................................................................................................................................................................................................25
Hệ quả 4.4.2................................................................................................................................................................................................25
Định nghĩa 4.2 ............................................................................................................................................................................................26
Ví dụ 4.3.1....................................................................................................................................................................................................26
Ví dụ 4.3.2....................................................................................................................................................................................................26
Ví dụ 4.3.3....................................................................................................................................................................................................27
Định nghĩa 4.3 ............................................................................................................................................................................................27
Ví dụ 4.3.4....................................................................................................................................................................................................27
Ví dụ 4.3.5....................................................................................................................................................................................................27
Ví dụ 4.3.6....................................................................................................................................................................................................27
Định lí 4.5.....................................................................................................................................................................................................27
Định lí 4.6.....................................................................................................................................................................................................27
Hệ quả 4.6.1................................................................................................................................................................................................28

9. 4
Định nghĩa 4.4............................................................................................................................................................................................28
Định nghĩa 5.1............................................................................................................................................................................................29
Định lí 5.1 ....................................................................................................................................................................................................29
Định lí 5.2 ....................................................................................................................................................................................................30
Ví dụ 5.1.1 ...................................................................................................................................................................................................30
Định nghĩa 5.2............................................................................................................................................................................................31
Định lí 5.3 ....................................................................................................................................................................................................31
Hệ quả 5.3.1................................................................................................................................................................................................31
Hệ quả 5.3.2................................................................................................................................................................................................31
Định lí 5.4 ....................................................................................................................................................................................................31
Định lí 5.5 ....................................................................................................................................................................................................32
Định nghĩa 5.3............................................................................................................................................................................................32
Định lí 5.6 ....................................................................................................................................................................................................32

10. 5
DIỄN GIẢI KIẾN THỨC
1.Vector và không gian vector
1.1.Nhắc lại kiến thức cũ
Trong chương trình THPT, các bạn đã được làm quen với phương pháp tọa độ
trong các không gian 2 chiều và 3 chiều. Trong không gian 2 chiều (hay mặt phẳng tọa
độ), mỗi vector là một bộ 2 số thực có thứ tự (x, y), còn trong không gian 3 chiều, mỗi
vector là một bộ 3 số thực có thứ tự (x, y, z). Suy rộng ra, trong không gian n chiều,
mỗi vector là một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn). Trong các không gian này có
các phép toán giữa các vector (tích vô hướng, tích có hướng, cộng 2 vector, …) và các
phép toán giữa số và vector (nhân 1 số với 1 vector, …), nhưng có thể thấy hai phép
toán mà các không gian đều có là phép cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector.
Trong không gian 2 chiều có 2 vector đơn vị là (1, 0) và (0, 1), trong không
gian 3 chiều có 3 vector đơn vị là (1, 0, 0), (0, 1, 0) và (0, 0, 1). Suy rộng ra, trong
không gian n chiều có n vector đơn vị là (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1). Bằng
hai phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector, ta có thể biểu diễn được mọi
vector trong không gian từ các vector đơn vị, trong khi đó các phép toán khác mà ta
đã biết như tích vô hướng, tích có hướng thì không thể làm được.
Có thể thấy hai phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector là hai phép
toán đặc trưng của mọi không gian n chiều. Từ đó ta có thể mở rộng định nghĩa
“không gian” đối với mọi tập hợp đối tượng đại số mà trong nó tồn tại 2 phép toán
tương tự như 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector ở trên.
1.2.Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát
Định nghĩa 1.1
Cho tập (mỗi phần tử trong tập là một đối tượng đại số như số thực, số
phức, đa thức, bộ có thứ tự, ma trận, …) và trường ( hoặc ) với 2 phép
toán sau:
+:
(x, y) x y
.:
(k, x) k. x
Phép toán thứ nhất ta tạm gọi là phép cộng 2 phần tử, phép toán thứ 2 ta tạm gọi là
phép nhân 1 số với 1 phần tử, sao cho 2 phép toán này thỏa mãn 8 tính chất sau (các
tính chất này tương tự như những tính chất của phép cộng và phép nhân trong tập số
thực hoặc số phức):

11. 6
1. Tính chất giao hoán của phép cộng 2 phần tử:
x y y x x, y
2. Tính chất kết hợp của phép cộng 2 phần tử:
(x y) x (y ) x, y,
3. Tồn tại phần tử trung hòa hay phần tử “không”:
x x x x
4. Mọi phần tử đều tồn tại phần tử đối của nó:
x , ( x) x ( x) ( x) x
5. Tích của một phần tử bất kì với 1 bao giờ cũng bằng chính nó:
1. x x x
6. Tính chất phân phối của phép nhân 1 số với 1 phần tử đối với phép cộng 2 phần tử:
k(x y) kx ky x, y k
7. Tính chất phân phối giữa phép cộng 2 số và phép nhân 1 số với 1 phần tử:
(k l)x kx lx x k, l
8. Tính chất kết hợp giữa phép nhân 2 số với phép nhân 1 số với 1 phần tử:
(kl)x k(lx) x k, l
thì được gọi là một không gian vector trên trường , hay còn được gọi là một -
không gian vector.
Mỗi phần tử trong được gọi là một vector, mỗi phần tử trong được gọi là một vô
hướng. Phép toán thứ nhất gọi là phép cộng 2 vector, phép toán thứ 2 gọi là phép
nhân 1 vô hướng với 1 vector.
Cần chú ý là một không gian vector ngoài tập và trường còn phải có 2 phép toán
cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector thỏa mãn 8 tính chất ở trên.
1.3.Các ví dụ về không gian vector
Ví dụ 1.3.1
{(x , x , x ) x } và
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector như sau :
(x , x , x ), (y , y , y ), k
(x y , x y , x y )
k (kx , kx , kx )
Khi đó cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Vector không : (0,0,0)
Vector đối của vector (x , x , x ) là ( x , x , x )

12. 7
Ví dụ 1.3.2
( ) là tập các ma trận vuông cấp n (n là số nguyên dương cho trước) với các
phần tử trong ma trận là số phức và . Ta xét phép cộng 2 vector là phép cộng 2
ma trận và phép nhân 1 vô hướng với 1 vector là phép nhân 1 số với 1 ma trận.
Khi đó ( ) cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Ví dụ 1.3.3
và P là tập các đa thức 1 biến x có bậc n (n là số nguyên dương
cho trước), tức là :
P {p ∑ a x |a i 0,1,2, … , n}
Ta định nghĩa phép cộng 2 vector như phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 vô hướng
với 1 vector như phép nhân 1 số với 1 đa thức. Khi đó P cùng với 2 phép toán trên là
một -không gian vector, trong đó vector không là đa thức 0.
Ví dụ 1.3.4
{(x , x , x ) x } và
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng và nhân như sau : (x , x , x ), (y , y , y ),
k
(x y , x y , x y )
k (kx , x , x )
cùng 2 phép toán trên không phải là một không gian vector do tính chất 7 không
thỏa mãn:
Lấy ví dụ với (1,2,3), k 1, l 2
(k l) (1 2). (1,2,3) 3. (1,2,3) (3,2,3)
k l 1. (1,2,3) 2. (1,2,3) (1,2,3) (2,2,3) (3,4,6)
(k l) k l
1.4.Một số tính chất của không gian vector
Cho là một -không gian vector:
Tính chất 1.1
Vector là duy nhất.
Tính chất 1.2
, là duy nhất.
Tính chất 1.3
, , .

13. 8
Tính chất 1.4
0. k. k
Tính chất 1.5
( 1)
Tính chất 1.6
k k k 0 hoặc
Chứng minh:
1. Giả sử là một vector không khác
Khi đó (trái giả thiết )
Vậy là duy nhất.
2. Giả sử vector ngoài vector đối còn có một vector đối khác là . Tức là :
và
Ta có ( ) ( ) (trái với giả thiết
)
Vậy , là duy nhất.
3. Giả sử T
Ta có ( ) T ( ) ( ) ( )
Lại có ( ) T ( ) ( ) ( )
Từ đó suy ra
4. , (0 0) 0 0 , mặt khác (0 0) 0 0
Theo tính chất 1.3 ta suy ra 0
k : k k k( ) k k
Theo tính chất 1.3 ta suy ra k
5. ta có ( ) 0 (1 1) 1 ( 1) ( 1)
Theo tính chất 1.3 ta suy ra ( 1)
6. Nếu k và giả sử k 0 k
k k (k ) (k k) 1
1.5.Phép trừ 2 vector
Định nghĩa 1.2
Hiệu của 2 vector và là một vector kí hiệu là X-Y và được xác định như sau:
( )
Phép trừ 2 vector theo định nghĩa trên là phép toán ngược của phép cộng 2 vector.

14. 9
Từ các tính chất 6 và 7, ta dễ dàng suy ra các tính chất tương tự đối với phép trừ 2
vector:
k( ) k k (k l) k l
1.6.Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều
1.6.1.Định nghĩa vector số học n chiều
Từ phần 1.1, ta có định nghĩa vector số học n chiều như sau:
Định nghĩa 1.3
Một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, xn) được gọi là một vector số học n chiều (gọi tắt
là vector n chiều).
Để phân biệt các vector, ta gán tên cho mỗi vector bằng các chữ cái in hoa. Để gán tên
cho vector (x1, x2, …, xn) là ta viết:
X = (x1, x2, …, xn)
Số thực xi (i 1, 2, …, n) đứng ở vị trí thứ i trong bộ n số thực ở vế phải gọi là thành
phần thứ i của vector X. Bộ n số thực xác định vector X ở trên có thể xếp thành 1 dòng
hoặc 1 cột:
(
x
x
x
)
Cần chú ý rằng vector n chiều không chỉ đơn thuần là một bộ n số thực, mà là bộ n số
thực có thứ tự.
1.6.2.Hai vector n chiều bằng nhau
Định nghĩa 2 vector n chiều bằng nhau cũng tương tự như định nghĩa 2 bộ n số thực
có thứ tự bằng nhau:
Định nghĩa 1.4
2 vector n chiều (x , x , … , x ) và (y , y , … , y ) được coi là bằng nhau khi và
chỉ khi các thành phần ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau:
x y i 1, 2, … , n
Khái niệm 2 vector bằng nhau chỉ áp dụng cho các vector có cùng số chiều n.
1.6.3.Định nghĩa không gian vector n chiều
Từ phần 1.1 và định nghĩa không gian vector tổng quát, ta có định nghĩa không gian
vector số học n chiều như sau:

15. 10
Định nghĩa 1.5
Không gian vector số học n chiều (gọi tắt là không gian vector n chiều) là tập hợp tất
cả các vector n chiều, trong đó phép cộng 2 vector và phép nhân 1 vô hướng (1 số)
với 1 vector được xác định như sau:
(x , x , … , x ), (y , y , … , y ), k
 (x y , x y , … , x y )
 k (kx , kx , … , kx )
 Vector không là vector có tất cả các thành phần bằng 0 : (0,0, … ,0)
 Vector đối của vector (x , x , … , x ) là vector
( 1) ( x , x , … , x )
Dễ thấy 2 phép toán được định nghĩa ở trên thỏa mãn 8 tính chất của không gian
vector, nên tập các vector n chiều và 2 phép toán ở trên là một không gian vector (cụ
thể là một -không gian vector).
Không gian vector n chiều được kí hiệu là (Lưu ý rằng cũng là tích Đề-các n lần
của tập số thực , hay cũng chính là tập các bộ n số thực có thứ tự).
Các vector (1,0, … ,0), (0,1, … ,0), … , (0,0, … ,1) được gọi là các vector
đơn vị của không gian .
Trong các phần tiếp theo, ta chỉ xét không gian vector n chiều và các không gian con
của nó. Các khái niệm, định lí, tính chất, … được trình bày tiếp theo có thể được suy
rộng cho không gian vector tổng quát và các không gian con của không gian vector
tổng quát.
2.Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector
2.1.Nói về thuật ngữ tuyến tính
Trong tiếng Hán, từ "tuyến" có nghĩa là đường, tia. Như vậy "tuyến tính" hiểu
một cách nôm na có nghĩa là "có tính chất của đường, tia". Do tính chất cơ bản của
đường, tia là tính "thẳng", cho nên tuyến tính cũng có thể hiểu là "có tính chất thẳng".
Để hiểu về thuật ngữ tuyến tính, ta xét hai đối tượng "có tính chất thẳng" đã
được học trong chương trình THPT là đường thẳng trong không gian 2 chiều và mặt
phẳng trong không gian 3 chiều. Phương trình tổng quát của 2 đối tượng này như
sau:
Đối tượng Phương trình tổng quát Phương trình sau khi tịnh tiến hệ
trục tọa độ để loại bỏ hệ số tự do
Đường thẳng trong
không gian 2 chiều
ax+by+c=0 ax+by=0

16. 11
Mặt phẳng trong
không gian 3 chiều
ax+by+cz+d=0 ax+by+cz=0
Nhìn vào 2 phương trình ax by 0 và ax by c 0, ta thấy vế trái của 2
phương trình đều có dạng:
∑ k x
trong đó x là một ẩn số bất kì trong tập các ẩn số X của phương trình và k là hệ số
tương ứng với ẩn số x .
So sánh với phương trình của một số đường cong như phương trình của các
đường cônic, phương trình hình cầu, phương trình đường cong bậc 3 và phương trình
đường sin:
ax2 + bxy+cy2+dx+ey=0 ; ax2+by2+cz2+dx+ey+fz=0 ;
y=ax3+bx2+cx  ax3+bx2+cx-y=0 ; y=sin(x)  sin(x)-y=0
ta thấy các phương trình đó đều không có dạng trên.
Như vậy những đối tượng mà phương trình có dạng ∑ k x 0 đều có tính
chất thẳng, hay còn được gọi là những đối tượng tuyến tính. Còn tổng ∑ k x được
gọi là một tổ hợp tuyến tính của tập ẩn số X.
Định nghĩa 2.1
Cho m số (ẩn số) x , x , … , x ( hoặc ). Mỗi tổng ∑ k x (k
i 1,2, … , m) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các số (ẩn số) x , x , … , x .
2.2.Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector
Trước khi đi vào khái niệm tổ hợp tuyến tính của hệ vector, ta cần xét khái niệm hệ
vector.
Định nghĩa 1
Một tập con khác rỗng gồm hữu hạn hoặc vô hạn các vector có cùng số chiều n (tức là
một tập con khác rỗng của không gian ) được gọi là một hệ vector n chiều (nếu
không quan tâm đến số chiều thì có thể gọi tắt là hệ vector hoặc hệ).
Như vậy khái niệm hệ vector n chiều không đòi hỏi các vector trong hệ đôi một khác
nhau và không yêu cầu thứ tự của các vector trong hệ. Tuy nhiên để đơn giản, ta chủ
yếu xét các hệ hữu hạn vector đôi một khác nhau và có quy định thứ tự của các vector
trong hệ.
Khi chỉ viết nội dung của một hệ vector mà không viết tên của hệ đó, ta có thể bỏ cặp
ngoặc nhọn.

17. 12
Không gian vector n chiều và các không gian con của nó đều có thể coi như một hệ
vector n chiều với số vector là vô hạn.
Định nghĩa 2
Một hệ vector H' gồm một số hoặc tất cả các vector của hệ H được gọi là một hệ con
của nó.
Nếu hệ con H' có số vector nhỏ hơn số vector của hệ H thì hệ H' là hệ con thực sự của
hệ H.
Dễ thấy khi thêm 1 vector x x H, x H (vector x không có trong hệ H') vào hệ H'
thì ta được một hệ con của hệ H.
Từ định nghĩa 2.1, khi thay từ "ẩn số" bằng từ vector, ta có định nghĩa tổ hợp tuyến
tính của hệ vector như sau:
Định nghĩa 2.2
Cho hệ m vector , , … , . Mỗi tổng ∑ k (k i 1,2, … , m) được gọi là
một tổ hợp tuyến tính của hệ vector , , … ,
Các số k (i 1,2, … , m) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.
Nhìn vào công thức của tổ hợp tuyến tính, ta thấy nó được xây dựng bởi 2 phép toán
cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector. Như vậy có thể nói
Mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ , , … , là kết quả của các phép toán cộng 2 vector
và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ , , … , . Và ngược lại, kết quả
của các phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ
, , … , là một tổ hợp tuyến tính của hệ , , … , .
Ví dụ: vector 3( 2 ) 9 8 (4 5 ) là kết quả của các phép
toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên 3 vector , , ; lại có
11 cho nên cũng là một tổ hợp tuyến tính của 3 vector
, , .
Dễ dàng thấy 2 tính chất sau:
Tính chất 2.1
Tổng của 2 tổ hợp tuyến tính bất kì của hệ , , … , là một tổ hợp tuyến tính của
hệ đó:
( ) ( )
( ) ( ) ( )

18. 13
Tính chất 2.2
Tích của 1 tổ hợp tuyến tính bất kì của hệ , , … , với 1 số k bất kì là một tổ hợp
tuyến tính của hệ đó:
k( ) (k ) (k ) (k )
Hai tính chất trên chứng tỏ:
Định lí 2.1
Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của hệ vector n chiều , , … , là một không gian
con của không gian .
2.3.Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa 2.3
Ta nói rằng vector có thể biểu diễn tuyến tính (gọi tắt là biểu diễn tuyến tính)
qua hệ vector n chiều , , … , khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của hệ
vector , , … , bằng vector X, tức là tồn tại các số thực k , k , … , k sao cho:
k k k
Đặc biệt nếu vector X biểu diễn tuyến tính qua 1 vector ( k ) thì ta nói rằng
vector X tỉ lệ với vector Y.
Như vậy để kiểm tra xem vector có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , hay
không, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông qua việc
giải hệ phương trình tuyến tính). Mỗi nghiệm (k , k , … , k ) của phương trình là một
cách biểu diễn tuyến tính vector qua hệ , , … , .
Ví dụ 2.3.1
Vector (3, 3, 9) biểu diễn tuyến tính qua hệ vector (0,1,3),
(2, 1, 2), ( 5,4,8) do 3 4
Ví dụ 2.3.2
Vector không biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vector:
0 0 0
Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng 0) được gọi là tổ hợp tuyến tính
tầm thường của hệ vector.
 Dĩ nhiên, mỗi vector , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector
, , … , :
1 0 0
 Tổng quát hơn, mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ p vector bất kì trong m vector
, , … , (p m) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , .

19. 14
Định lí sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu.
Định lí 2.2
Nếu vector biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , và mỗi vector
(i 1,2, … , m) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , thì vector biểu
diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , .
(Bạn đọc tự chứng minh thông qua 2 tính chất 2.1 và 2.2)
2.4.Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính
2.4.1.Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 2.4
Cho hệ m vector , , … , . Ta nói hệ vector , , … , độc lập tuyến tính khi và
chỉ khi vector không chỉ biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , bằng tổ hợp
tuyến tính tầm thường, tức là:
∑ k k 0 i 1,2, … , m
Ngược lại, nếu tồn tại tổ hợp tuyến tính không tầm thường của hệ vector , , … ,
bằng vector không, tức là:
(k , k , … , k ) (0,0, … ,0) ∑ k
thì ta nói hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính.
Như vậy để kiểm tra xem một hệ vector , , … , là độc lập tuyến tính hay phụ
thuộc tuyến tính, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông
qua việc giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất):
 Nếu phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (k , k , … , k ) (0,0, … ,0) thì hệ
vector , , … , độc lập tuyến tính.
 Nếu phương trình có vô số nghiệm thì hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến
tính (do tồn tại nghiệm không tầm thường).
2.4.2.Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2.3
Một hệ vector có từ 2 vector trở lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một
vector của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại.
Chứng minh: ét hệ vector , , … ,
* Giả sử hệ vector phụ thuộc tuyến tính. Dễ dàng thấy rằng trong hệ thức
k k k , vector nào có hệ số khác 0 thì vector đó biểu diễn

20. 15
tuyến tính qua các vector còn lại. Thật vậy, nếu k 0 thì biểu diễn tuyến tính qua
các vector còn lại như sau:
k
k
k
k
k
k
* Ngược lại, nếu một vector nào đó của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại
thì hệ vector phụ thuộc tuyến tính. Giả sử biểu diễn tuyến tính qua các vector còn
lại:
Khi đó ta có:
( 1)
Tổ hợp tuyến tính ở vế trái có hệ số 1 0, do đó hệ vector phụ thuộc tuyến
tính.
Hệ quả 2.3.1
Hệ 2 vector phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 2 vector đó tỉ lệ.
Do vector không biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vector, nên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.3.2
Mọi hệ vector chứa vector không đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, mọi hệ
vector độc lập tuyến tính đều không chứa vector không.
Trường hợp đặc biệt: Hệ 1 vector X phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
Định lí 2.4
Nếu một hệ vector có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ vector đó phụ thuộc
tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử hệ vector , , … , có một hệ con phụ thuộc tuyến tính, chẳng
hạn như hệ p vector đầu , , … , (p m). Khi đó tồn tại bộ số thực
(k , k , … , k ) trong đó có ít nhất 1 số khác 0, sao cho:
k k k
Từ đó suy ra:
k k k 0 0 0
Đẳng thức trên chứng tỏ hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả 2.4.1
Nếu một hệ vector độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính.

21. 16
Hệ quả 2.4.2
Nếu trong một hệ vector có 2 vector nào đó tỉ lệ thì hệ vector đó phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 2.5
Cho 2 hệ vector n chiều , , … , (H ) và , , … , (H ). Nếu m > p và mọi
vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) thì hệ vector (H ) phụ thuộc
tuyến tính.
Chứng minh: Theo giả thiết, mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ),
tức là:
…
ét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn số k , k , … , k :
{
k k k 0
k k k 0
…
k k k 0
Do số phương trình nhỏ hơn số ẩn (p < m) nên hệ có vô số nghiệm. Gọi
(k , k , … , k ) là một nghiệm không tầm thường của hệ. Ta có:
k k k
k ( )
k ( )
k ( )
( k k k )
( k k k )
( k k k )
0 0 0
Điều này chứng tỏ hệ vector (H ) phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả 2.5.1
Nếu hệ vector (H ) độc lập tuyến tính và mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính
qua hệ (H ) thì m p
Bạn đọc tự chứng minh bằng phản chứng.
Hệ quả 2.5.2

22. 17
Nếu cả hai hệ vector (H ) và (H ) độc lập tuyến tính, đồng thời mọi vector của hệ
(H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) và ngược lại, mọi vector của hệ (H ) biểu diễn
tuyến tính qua hệ (H ), thì hai hệ vector đó có số vector bằng nhau, tức là m p.
Theo hệ quả 2.5.1, ta có m p và p m, do đó m p.
Định lí 2.6
Mọi hệ vector n chiều với số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh: Trước hết ta thấy rằng trong không gian , mọi vector
(x , x , … , x ) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector đơn vị , , … , :
x x x
Như vậy mọi vector của hệ vector n chiều , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua
hệ vector đơn vị , , … , . Theo định lí 2.5, nếu m > n thì hệ vector , , … ,
phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả 2.6.1
Trong không gian , mọi hệ vector độc lập tuyến tính đều có số vector không vượt
quá n.
Định lí 2.7
Giả sử hệ vector , , … , độc lập tuyến tính. Khi đó nếu vector X biểu diễn tuyến
tính qua hệ vector , , … , thì cách biểu diễn đó là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử vector X biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , theo ít
nhất 2 cách khác nhau, tức là:
( , , … , ) ( , , … , ): {
( ) ( ) ( )
Do hệ vector , , … , độc lập tuyến tính, ta suy ra:
0 ( , , … , ) ( , , … , ) (trái giả
thiết ( , , … , ) ( , , … , )). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lí 2.8
Giả sử hệ vector , , … , độc lập tuyến tính. Khi đó hệ vector , , … , , phụ
thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vector U biểu diễn tuyến tính qua hệ vector
, , … , (cách biểu diễn đó là duy nhất theo như định lí 2.7)
Chứng minh:
( ): Suy ra từ định lí 2.3

23. 18
( ): Giả sử hệ vector , , … , , phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại bộ số thực
( , , … , , ), trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:
Do hệ vector , , … , độc lập tuyến tính nên 0, khi đó vector biểu diễn
tuyến tính qua hệ vector , , … , như sau:
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2.4.3.Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Định lí 2.9
Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector). Hệ con
độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại (số vector là lớn nhất) khi và chỉ khi
nếu thêm bất kì vector nào của hệ H vào hệ H' thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.
Hiển nhiên nếu thêm một vector bất kì của H' vào H' thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính,
cho nên ta chỉ xét trường hợp thêm một vector không có trong H' vào hệ H'. Mà khi
đó hệ H'' gồm vector và các vector của hệ H' là một hệ con của hệ H, cho nên định lí
có thể được viết lại như sau:
Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector). Hệ con
độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại khi và chỉ khi mọi hệ con của H mà
thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh: ét hệ H' là một hệ con độc lập tuyến tính của hệ H.
( ): Hiển nhiên nếu tồn tại hệ con độc lập tuyến tính H'' của H mà thực sự chứa H'
thì hệ H' không thể tối đại. Cho nên nếu hệ H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của
hệ H thì mọi hệ con H'' của H mà thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính.
( ): Giả sử mọi hệ con H'' của H mà thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính. ét
các hệ con H'' gồm các vector của hệ H' và một vector không có trong hệ H'. Theo
định lí 2.8, ta suy ra mọi vector không có trong hệ H' đều biểu diễn tuyến tính qua
hệ H', do đó mọi vector của hệ H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H'. Theo hệ quả
2.5.1, mọi hệ con độc lập tuyến tính của hệ H đều phải có số vector nhỏ hơn hoặc
bằng số vector của H'. Do đó H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H.
Hệ quả 2.9.1
Nếu H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H thì mọi vector của hệ H đều biểu
diễn tuyến tính qua hệ H' (cách biểu diễn đó là duy nhất theo như định lí 2.7).

24. 19
Hệ quả 2.9.2
Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H đều có số vector bằng nhau.
Giả sử S và S' là hai hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H. Theo hệ quả 2.9.1, ta
suy ra mọi vector của hệ S đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S' và ngược lại, cho nên hệ
S và S' có số vector bằng nhau (theo hệ quả 2.5.2)
3.Không gian vector con
3.1.Định nghĩa về không gian vector con
ét một tập hợp vector n chiều L . Các phép toán đặc trưng của không gian
vector n chiều (phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector) áp dụng cho
các vector của tập hợp L sẽ trở thành các phép toán của bản thân nó nếu thỏa mãn 2
điều kiện sau:
1. L kín đối với phép cộng 2 vector, tức là , L L
2. L kín đối với phép nhân 1 số với 1 vector, tức là L, k k L
Trong trường hợp này, ta có thể xem L như một không gian có cấu trúc phép cộng 2
vector và phép nhân 1 số với 1 vector.
Định nghĩa 3.1
Một tập hợp không rỗng L được gọi là không gian vector con (gọi tắt là không
gian con) của không gian nếu nó kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số
với 1 vector.
Như vậy thuật ngữ không gian con bao gồm 2 khía cạnh: thứ nhất, L là một tập con
không rỗng của ; thứ hai, các phép toán trong L chính là các phép toán áp dụng
cho mọi vector của
3.2.Các tính chất của không gian vector con
Tính chất 3.1
Mọi không gian con L đều chứa vector không
Thật vậy, lấy 1 vector L ta có 0 L
Tính chất 3.2
Với mọi vector L, vector đối của nó cũng thuộc L
( 1) L
Tính chất 3.3
, L k, l k l L. Tổng quát hơn, mọi tổ hợp tuyến tính của một hệ
vector bất kì của không gian L đều thuộc không gian L.
, L k, l , ta có k L, l L k l L

25. 20
3.3.Ví dụ về không gian vector con
Ví dụ 3.3.1
Bản thân là một không gian con của và tập hợp chỉ chứa vector không L { }
cũng là một không gian con của .
Ví dụ 3.3.2
Trong không gian ta xét tập hợp :
L { (x , x , x ) ax bx cx 0} với a, b, c là 3 số thực cho trước.
* Với (x , x , x ) và (y , y , y ) là hai vector bất kì thuộc tập hợp L ta có:
ax bx cx 0 và ay by cy 0
Hai đẳng thức trên kéo theo: a(x y ) b(x y ) c(x y ) (ax bx
cx ) (ay by cy ) 0
Điều này chứng tỏ (x y , x y , x y ) L
* Với (x , x , x ) là một vector bất kì thuộc tập hợp L ta có ax bx cx 0,
kéo theo: a(kx ) b(kx ) c(kx ) k(ax bx cx ) 0
Điều này chứng tỏ k (kx , kx , kx ) L k
Như vậy tập L kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector, do
đó L là một không gian con của không gian .
Ví dụ 3.3.3
Tập hợp L { (0, x, y, ) x, y, } là một không gian con của (bạn đọc tự
chứng minh)
3.4.Không gian con sinh bởi hệ vector
Định lí 3.1
Giao của các không gian con của là một không gian con của
Chứng minh: Giả sử ( ) (I là tập chỉ số) là một họ các không gian con của .
, ⋂ , i I i I ⋂
⋂ i I k i I k ⋂

26. 21
Như vậy ⋂ kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector, do đó
⋂ là một không gian con của .
Từ định lí 1 suy ra rằng với mọi tập con S của luôn tồn tại không gian con bé
nhất của chứa S. chính là giao của tất cả các không gian con của chứa S.
Định nghĩa 3.2
Không gian bé nhất của chứa S là giao của tất cả các không gian con của
chứa S, kí hiệu span(S).
Nếu S (S là một hệ vector n chiều) thì không gian còn được gọi là không gian
bé nhất của sinh bởi hệ S, và S là hệ sinh của không gian .
Do span(S) là giao của tất cả các không gian con của chứa S, cho nên nếu S là một
không gian con của thì span(S) S.
Dễ dàng thấy rằng nếu S thì span(S) { } (do { } là không gian bé nhất của
và { } ). Vậy nếu S thì span(S) gồm những vector nào? Định lí sau sẽ trả lời
cho câu hỏi đó:
Định lí 3.2
span(S) bằng tập các tổ hợp tuyến tính của hệ S.
Chứng minh: Gọi ' là tập các tổ hợp tuyến tính của hệ S {x , x , … , x }. Để chứng
minh ' là không gian con bé nhất của chứa S, ta cần chứng minh 3 ý sau:
(i) W' chứa S: Với mọi x S (i 1,2, … , m), ta có x 1. x , vậy S
(ii) ' là không gian con của : Điều này đúng theo định lí 2.1
(iii) W' nhỏ nhất chứa S: Giả sử '' là không gian con bất kì của chứa S.
Với mọi u , ta có u x x x
W'' chứa S nên x i 1,2, … , m u x x x (Theo
tính chất 3.3)
Do đó hay ' là không gian con nhỏ nhất của chứa S. Vậy
span(S)
4.Cơ sở và số chiều của không gian vector
4.1.Hệ sinh
Định nghĩa 4.1
Cho L là một không gian con của không gian (L có thể bằng )

27. 22
Một hệ vector , , … , của không gian L được gọi là một hệ sinh của nó nếu mọi
vector trong L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , .
Nếu không gian L có ít nhất một hệ sinh hữu hạn vector thì L được gọi là không gian
hữu hạn sinh.
Rõ ràng mọi vector trong hệ sinh , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua hệ sinh
đó. Như vậy, khi xét một hệ vector , , … , có phải là hệ sinh hay không, ta chỉ
cần kiểm tra xem các vector không có trong hệ có biểu diễn tuyến tính qua hệ hay
không.
Ví dụ 4.1.1
Hệ các vector đơn vị E1, E2, …, n là một hệ sinh của không gian vì mọi vector
(x , x , … , x ) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , :
x x x
Ví dụ 4.1.2
Không gian L { } chỉ có một hệ sinh duy nhất là S { }. Và chỉ có không gian
L { } mới có hệ sinh S { } (do chỉ có vector không là tổ hợp tuyến tính của vector
không). Tức là L { } S { }
Ví dụ 4.1.3
(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1)
Hệ , là hệ sinh của không gian span(S) với S { , , }.
Chứng minh: span(S) là tập các tổ hợp tuyến tính của X1, X2, X3 nên mọi vector
trong đều biểu diễn tuyến tính qua hệ X1, X2, X3 (hay hệ vector X1, X2, X3 là hệ sinh
của W).
Lại có 3 nên các vector của hệ X1, X2, X3 đều biểu diễn tuyến tính qua hệ
X1, X2. Từ đó suy ra các vector của W đều biểu diễn tuyến tính qua hệ X1, X2, hay hệ
vector X1, X2 là hệ sinh của W.
Qua ví dụ trên, ta thấy hệ vector X1, X2, X3 và hệ vector X1, X2 đều là hệ sinh của không
gian W = span(S).
Định lí 4.1
Nếu hệ vector , , … , là một hệ sinh của không gian L thì mọi hệ vector của L
chứa hệ , , … , đều là hệ sinh của không gian L.

28. 23
Chứng minh: Gọi hệ vector chứa hệ sinh , , … , là hệ , , … , , , , … , .
Do mọi vector trong không gian L đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ
, , … , :
k k k
nên chúng cũng có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , , , , … , :
k k k 0 0 0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Trong các phần tiếp theo, ta chỉ xét các không gian vector hữu hạn sinh và các hệ sinh
hữu hạn của nó.
4.2.Hệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó
Ta thấy không gian L { } có duy nhất một hệ sinh là S { }, hệ sinh này vừa là hệ
sinh tối thiểu vừa là hệ sinh tối đại của không gian L. Vậy trong các không gian
L { } thì các hệ sinh tối thiểu và không tối thiểu của nó có đặc điểm gì?
Trước khi xem xét hệ sinh tối thiểu, ta sẽ chứng minh một số đặc điểm của hệ sinh
không tối thiểu:
Định lí 4.2
Hệ sinh S là một hệ sinh không tối thiểu của không gian L { } khi và chỉ khi hệ sinh
S là hệ vector phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh:
( ): Giả sử hệ sinh S { , , … , } không phải là hệ sinh tối thiểu, tức là tồn tại ít
nhất một hệ sinh S { , , … , } có p < m. Do các vector của hệ S đều biểu diễn
tuyến tính qua hệ S' nên theo định lí 2.5 ta có hệ sinh S phụ thuộc tuyến tính.
( ): Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L.
Do L { } S { }, ta suy ra L { } S { }, mà S phụ thuộc tuyến tính cho
nên S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector biểu
diễn tuyến tính qua các vector còn lại. Giả sử đó là vector , suy ra mọi vector trong
hệ S đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ S { , … , }.
Do mọi vector trong không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S, nên chúng đều
biểu diễn tuyến tính qua hệ S', hay hệ S' là một hệ sinh của không gian L. Từ đó suy ra
hệ S không phải là hệ sinh tối thiểu của không gian L.

29. 24
Theo chứng minh ( ) của định lí 4.2, do S' là một hệ con thực sự của hệ sinh S nên ta
có hệ quả sau:
Hệ quả 4.2.1
Mọi hệ sinh không tối thiểu của không gian L { } đều tồn tại ít nhất một hệ con
thực sự của nó là hệ sinh.
Từ hệ quả 4.2.1, ta rút ra đặc điểm cơ bản của hệ sinh tối thiểu dưới đây:
Định lí 4.3
Hệ sinh , , … , là hệ sinh tối thiểu (số vector ít nhất) của không gian L khi và
chỉ khi mọi hệ con thực sự của , , … , đều không phải là hệ sinh.
Chứng minh:
( ): Điều này hiển nhiên đúng bởi vì một hệ sinh mà tồn tại ít nhất một hệ con thực
sự của nó là hệ sinh thì nó không phải là một hệ sinh tối thiểu.
( ): Theo hệ quả 4.2.1, ta suy ra điều phải chứng minh.
Để xác định hệ sinh tối thiểu của một không gian vector theo định lí 4.3 là rất khó.
Định lí dưới đây sẽ mô tả các đặc điểm của hệ sinh tối thiểu, qua đó cho chúng ta
phương pháp tìm hệ sinh tối thiểu của một không gian vector.
Định lí 4.4
Giả sử S là một hệ sinh của không gian L { }. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) S là một hệ sinh tối thiểu của L.
(ii) S là một hệ sinh độc lập tuyến tính của L.
(iii) S là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L.
(iv) S là một hệ sinh mà mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy
nhất.
Chứng minh:
ét S { , , … , } là một hệ sinh của không gian L { }.
( ) ( ): Theo định lí 4.2, ta có điều phải chứng minh.
( ) ( ): ét mọi hệ vector độc lập tuyến tính của không gian L. Do mọi vector
của đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ sinh S, nên theo hệ quả 2.5.1, ta có số
vector của W phải nhỏ hơn hoặc bằng số vector của S. Do đó S là một hệ vector độc
lập tuyến tính tối đại của L.

30. 25
( ) ( ): S { , , … , } là hệ vector độc lập tuyến tính tối đại nên theo hệ
quả 2.9.1, mọi vector của không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S theo cách
duy nhất. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
( ) ( ): Ta chứng minh thông qua bổ đề sau: "Với mọi hệ sinh S phụ thuộc tuyến
tính của không gian L { }, tồn tại ít nhất một vector L biểu diễn tuyến tính qua
hệ S theo nhiều hơn 1 cách".
Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L { },
suy ra S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector
biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại. Giả sử đó là vector , tức là:
k k k
Khi đó vector có ít nhất 2 cách biểu diễn tuyến tính qua hệ S:
0 k k k
1 0 0 0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.4.1
Mọi hệ sinh tối thiểu đều có số vector bằng nhau.
ét S và S' là 2 hệ sinh tối thiểu bất kì của không gian L { }. Theo định lí 4.4, S và S'
là 2 hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của không gian L, do đó hai hệ S và S' phải có
số vector bằng nhau (theo hệ quả 2.9.2).
Hệ quả 4.4.2
Mọi hệ n vector n chiều độc lập tuyến tính đều là hệ sinh tối thiểu của không gian .
Suy ra mọi hệ sinh tối thiểu của không gian đều có số vector đúng bằng n.
Theo định lí 2.6, mọi hệ vector n chiều có số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến
tính, cho nên mọi hệ n vector n chiều độc lập tuyến tính đều là các hệ vector độc lập
tuyến tính tối đại của . Theo định lí 4.4, chúng đều là hệ sinh tối thiểu của không
gian , từ đó suy ra mọi hệ sinh tối thiểu của không gian đều có số vector đúng
bằng n.
Theo định lí 4.4, nếu S là một hệ sinh tối thiểu của không gian L thì mọi vector của L
biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy nhất. Tính "sinh" và tính "duy nhất" này là
những đặc điểm của một cơ sở của không gian L.

31. 26
4.3.Cơ sở và số chiều của một không gian
Định nghĩa 4.2
Cho L là một không gian con của (L có thể bằng ).
Một hệ vector C {P , P , … , P } của không gian L được gọi là một cơ sở của nó nếu
mọi vector của L đều biểu diễn tuyến tính qua C theo cách duy nhất.
Theo định nghĩa, ta suy ra không gian L { } không có cơ sở.
Như vậy, để kiểm tra xem một hệ vector C {P , P , … , P } có là cơ sở của không gian
L { } hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem hệ C có thỏa mãn ít nhất 1 trong 4 đặc
điểm dưới đây hay không:
(i) C là một hệ sinh tối thiểu của L.
(ii) C là một hệ sinh độc lập tuyến tính của L.
(iii) C là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L.
(iv) C là một hệ sinh mà mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy
nhất.
Trong đó đặc điểm dễ chứng minh nhất là (ii), tức là chứng minh C là một hệ sinh độc
lập tuyến tính của không gian L.
Dễ thấy 2 cơ sở của cùng một không gian có số vector bằng nhau (suy ra từ hệ quả
4.4.1)
Ví dụ 4.3.1
Hệ vector đơn vị , , … , là một cơ sở của không gian (do hệ vector đơn vị là
một hệ sinh độc lập tuyến tính của ). Ta gọi hệ vector này là cơ sở đơn vị của
không gian .
Ví dụ 4.3.2
L { (0, x, y)} là một không gian con của (bạn đọc tự chứng minh). Hệ 2
vector P (0,1,0), P (0,2, 1) là một cơ sở của không gian L.
Chứng minh: Rõ ràng 2 vector P (0,1,0), P (0,2, 1) đều thuộc không gian L.
 Hệ vector P , P độc lập tuyến tính do 2 vector không tỉ lệ.
 Ta chứng minh hệ vector P , P là hệ sinh của không gian L.
Với một vector (0, x, y) bất kì của L, ta xét phương trình:
k P k P {
0k 0k 0
k 2k x
k y

32. 27
Hệ phương trình luôn có nghiệm (k , k ) (x 2y, y), do đó mọi vector của không
gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector P , P , hay hệ vector P , P là một hệ sinh
của không gian L.
Do hệ vector P , P là hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian L nên hệ cũng là một
cơ sở của không gian L.
Ví dụ 4.3.3
(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1). Theo ví dụ 4.1.3, hệ , là hệ sinh của
không gian span(S) với S { , , }. Hệ , độc lập tuyến tính (do 2 vector
, không tỉ lệ), cho nên hệ , là một cơ sở của không gian span(S).
Ta có định nghĩa số chiều của một không gian như sau:
Định nghĩa 4.3
Cho L là một không gian con của (L có thể bằng ). Số vector của cơ sở của
không gian L được gọi là số chiều của không gian L, kí hiệu dim L. Quy ước
dim{ } 0.
Ví dụ 4.3.4
Hệ vector đơn vị , , … , là một cơ sở của , do đó n
Ví dụ 4.3.5
L { (0, x, y)} là một không gian con của .
Hệ 2 vector P (0,1,0), P (0,2, 1) là một cơ sở của L, cho nên L 2.
Ví dụ 4.3.6
(1, 1,2), (2,3,5), (1, 6,1). Hệ , là một cơ sở của không gian
span(S), cho nên 2
Định lí 4.5
Mọi không gian con của không gian đều có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n.
Chứng minh: Dễ thấy không gian L { } có L 0 < n.
Với L { }, theo định lí 2.6 ta suy ra mọi hệ vector độc lập tuyến tính của không gian
L có số vector nhỏ hơn hoặc bằng n. Do đó mọi cơ sở của không gian L đều có số
vector nhỏ hơn hoặc bằng n, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lí 4.6
Giả sử L r và H { , , … , } là một hệ m vector của L. Khi đó:

33. 28
(i): Nếu hệ H độc lập tuyến tính thì m r
(ii): Nếu hệ H là hệ sinh của L thì m r
(iii): Nếu m r thì hệ H độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ H là hệ sinh của L.
Chứng minh: ét H' là một hệ sinh tối thiểu của L, khi đó số vector của H' là r.
(i): Theo hệ quả 2.5.1, ta có số vector của H phải nhỏ hơn hoặc bằng số vector của H',
tức là m r.
(ii): H có thể là hệ sinh tối thiểu hoặc không, do đó số vector của H lớn hơn hoặc bằng
số vector của H', tức là m r
(iii):
( ): Do m r nên theo (i), H là hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L nên H là
một hệ sinh của L.
( ): Do m r nên theo (ii), H là hệ sinh tối thiểu của L, do đó H là một hệ vector độc
lập tuyến tính của L.
Hệ quả 4.6.1
Trong một không gian con r chiều của không gian , mọi hệ vector có số vector lớn
hơn r đều phụ thuộc tuyến tính.
4.4.Tọa độ của vector trong cơ sở
Cho C {P , P , … , P } là một cơ sở của không gian L. Mỗi vector L cho tương ứng
duy nhất một bộ m số thực có thứ tự ( , , … , ) thỏa mãn:
P P P ( )
Định nghĩa 4.4
Bộ m số thực có thứ tự ( , , … , ) thỏa mãn hệ thức (*) được gọi là tọa độ của
vector trong cơ sở C.
Theo định nghĩa, ta thấy tọa độ của vector X phụ thuộc vào cơ sở của không gian L mà
ta chọn. Dễ dàng thấy rằng tọa độ của một vector trong cơ sở đơn vị chính là vector
đó.
Như vậy, để tìm tọa độ của một vector trong cơ sở C {P , P , … , P }, ta giải phương
trình P P P (thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính).
Nghiệm duy nhất của nó chính là tọa độ của vector X trong cơ sở C.

34. 29
5.Hạng của một hệ hữu hạn vector
5.1.Cơ sở của một hệ vector
Định nghĩa 5.1
Cho một hệ m vector H { , , … , }. Cơ sở của hệ H là một hệ con H' sao cho mọi
vector của hệ H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' theo cách duy nhất.
Theo định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh được hệ H { } không có cơ sở, đồng thời
không có hệ con độc lập tuyến tính. Ta cũng chứng minh được rằng H { } không là
cơ sở của một hệ vector nào cả. Vậy với hệ H { }, cơ sở của nó có đặc điểm gì? Định
lí sau đây sẽ trả lời cho câu hỏi đó:
Định lí 5.1
Cho H' là hệ con của hệ H { }. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) H' là cơ sở của hệ H.
(ii) H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H.
(iii) H' là hệ con độc lập tuyến tính mà mọi vector của H đều biểu diễn tuyến tính qua
hệ H'.
Chứng minh:
(i) (ii): Ta chứng minh minh bổ để sau: "Mọi hệ con phụ thuộc tuyến tính của hệ
vector H đều không phải là cơ sở của nó".
Hiển nhiên nếu H { } thì H' không là cơ sở của hệ H.
Giả sử H { , , … , } (H { }) là một hệ con phụ thuộc tuyến tính của hệ
vector H, suy ra H' phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ H' phải có ít nhất một
vector biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại. Giả sử đó là vector , tức là:
k k k
Khi đó vector có ít nhất 2 cách biểu diễn tuyến tính qua hệ H':
0 k k k
1 0 0 0
do đó H' không phải là cơ sở của hệ vector H.
Như vậy nếu H' là cơ sở của hệ H thì H' phải là một hệ vector độc lập tuyến tính.
ét hệ H'' là một hệ con độc lập tuyến tính bất kì của hệ H. Do mọi vector của hệ H''
đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' nên theo hệ quả 2.5.1, số vector của hệ H'' nhỏ hơn

35. 30
hoặc bằng số vector của hệ H'. Do đó hệ H' là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của
hệ H.
(ii) (iii) và (iii) (i) là nội dung của hệ quả 2.9.1 nên đúng.
Định lí 5.2
Mọi cơ sở của hệ H đều có số vector bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử H' và H'' đều là cơ sở của hệ H, suy ra H' và H'' là hai hệ con độc
lập tuyến tính tối đại của hệ H. Theo hệ quả 2.9.2, hệ H' và hệ H'' có số vector bằng
nhau.
Như vậy để kiểm tra xem H' có phải là cơ sở của hệ H hay không, ta chỉ cần kiểm tra
xem H' có thỏa mãn ít nhất 1 trong 3 đặc điểm dưới đây hay không:
(i) H' là một hệ con mà mọi vector của hệ H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' theo
cách duy nhất (định nghĩa).
(ii) H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H.
(iii) H' là hệ con độc lập tuyến tính mà mọi vector của H đều biểu diễn tuyến tính qua
hệ H'.
Trong đó đặc điểm dễ chứng minh nhất là (iii), tức là chứng minh H' là hệ con độc lập
tuyến tính mà mọi vector của H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' (thực tế ta chỉ cần
xét các vector của H mà không có trong hệ H' có biểu diễn tuyến tính qua hệ H' hay
không).
Ví dụ 5.1.1
Cho hệ vector 4 chiều
(1,2,0,1)
(1,3,2,0)
(2,3, 2,3)
(1,4,4, 1)
Hệ con gồm 2 vector , là cơ sở của hệ vector đã cho vì:
 X1, X2 độc lập tuyến tính (2 vector đó không tỉ lệ)
 Mọi vector còn lại của hệ đã cho biểu diễn tuyến tính qua hệ X1, X2:
3 , 2
Chứng minh tương tự, hệ con gồm 2 vector , là cơ sở của hệ vector đã cho.

36. 31
5.2.Hạng của một hệ vector
Định nghĩa 5.2
Số vector của cơ sở của hệ vector H được gọi là hạng của hệ vector H, kí hiệu là r(H).
Quy ước r({ }) 0.
Hạng của một hệ vector là một số tự nhiên r. Hiển nhiên là r không thể vượt quá số
vector của hệ. Mặc khác, cơ sở của một hệ vector n chiều là một hệ vector độc lập
tuyến tính, do đó r n. Như vậy hạng của một hệ vector không vượt quá số vector
của hệ đó và không vượt quá số chiều của không gian.
Theo định lí 5.1, ta suy ra
Định lí 5.3
Số vector độc lập tuyến tính tối đại trong hệ vector H cũng chính là hạng của hệ
vector đó.
Từ đó ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau:
Hệ quả 5.3.1
Một hệ vector n chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hạng của hệ vector đó nhỏ
hơn số vector của nó. Nói cách khác, một hệ vector n chiều độc lập tuyến tính khi và
chỉ khi hạng của hệ vector đó đúng bằng số vector của nó.
Hệ vector H độc lập tuyến tính khi và chỉ khi H là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của
chính nó. Điều đó tương đương với hạng của hệ H đúng bằng số vector của nó, nên ta
có điều phải chứng minh.
Hệ quả 5.3.2
Nếu hạng của hệ vector bằng r thì mọi hệ con gồm r vector độc lập tuyến tính của hệ
vector đó đều là cơ sở của nó.
Định lí 5.4
Cho 2 hệ vector n chiều , , … , (H ) và , , … , (H ). Nếu mọi vector của hệ
(H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) thì hạng của hệ (H ) không lớn hơn hạng của
hệ (H ).
Chứng minh: Gọi P là một cơ sở của hệ (H ) và Q là một cơ sở của hệ (H ). Vì P là một
hệ con của hệ (H ) nên mọi vector của cơ sở P đều biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ).
Lại có mọi vector của (H ) đều biểu diễn tuyến tính qua cơ sở Q, cho nên mọi vector
của cơ sở P đều biểu diễn tuyến tính qua cơ sở Q. Vì P là một hệ vector độc lập tuyến

37. 32
tính nên theo hệ quả 2.5.1, số vector của P không lớn hơn số vector của Q, suy ra hạng
của hệ (H ) không lớn hơn hạng của hệ (H ). Định lí đã được chứng minh.
5.3.Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng
5.3.1.Phép biến đổi thêm bớt vector
Cho hệ vector n chiều H { , , … , }.
Nếu thêm vào hệ H một vector , ta được hệ vector H { , , … , , }.
Ngược lại, nếu bớt đi vector của hệ H' thì ta được hệ H.
Định lí 5.5
Nếu vector X biểu diễn tuyến tính qua các vector của hệ H thì hai hệ vector H và H' có
hạng bằng nhau. Nói cách khác, hạng của một hệ vector không thay đổi nếu ta thêm
vào 1 vector biểu diễn tuyến tính qua hệ đó, hoặc bớt đi 1 vector biểu diễn tuyến tính
qua các vector còn lại của hệ đó.
Chứng minh: Gọi P là một cơ sở của hệ H. Vì vector biểu diễn tuyến tính qua hệ H và
mỗi vector của hệ H biểu diễn tuyến tính qua hệ P, cho nên vector biểu diễn tuyến
tính qua hệ P. Như vậy mọi vector của H' biểu diễn tuyến tính qua hệ P, mà hệ P là
một hệ con độc lập tuyến tính của hệ H', cho nên hệ P cũng là cơ sở của hệ H'. Do đó
hạng của H và H' bằng nhau.
5.3.2.Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa 5.3
Các phép biến đổi sau đây đối với hệ vector được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
1. Đổi chỗ 2 vector của hệ.
2. Nhân 1 vector của hệ với một số k 0.
3. Cộng vào một vector của hệ tích của một vector khác trong cùng hệ đó với một số
bất kì.
Định lí 5.6
Các phép biến đổi sơ cấp của hệ vector không làm thay đổi hạng của nó.
Chứng minh:
1. Định lí hiển nhiên đúng đối với phép biến đổi sơ cấp thứ nhất.
2. ét một hệ vector n chiều bất kì H { , , … , }. Nhân vector của hệ với một
số k 0 ta được hệ vector H {k , , … , }.
Áp dụng định lí 5.5, ta thấy 2 hệ H và H' đều có hạng bằng hạng của hệ vector sau:
H {k , , , … , }
Thật vậy:

38. 33
- Vector k biểu diễn tuyến tính qua hệ H:
k k 0 0
- Vector biểu diễn tuyến tính qua hệ H':
1
k
(k ) 0 0
Vậy 2 hệ H và H' có hạng bằng nhau, do đó phép biến đổi thứ 2 không làm thay đổi
hạng của hệ vector.
2. ét một hệ vector n chiều bất kì H { , , … , }. Cộng vào vector tích của
vector với một số k, ta được hệ vector H { k , , … , }.
Áp dụng định lí 5.5, ta thấy 2 hệ H và H' đều có hạng và bằng hạng của hệ vector sau:
H { k , , , … , }
Thật vậy:
- Vector k biểu diễn tuyến tính qua hệ H:
k k 0 0
- Vector biểu diễn tuyến tính qua hệ H':
( k ) k 0 0
Vậy 2 hệ H và H' có hạng bằng nhau, do đó phép biến đổi thứ 3 không làm thay đổi
hạng của hệ vector.

39. 34

40. 35
Mục lục phần "Tóm tắt kiến thức"
1. Vector và không gian vector........................................................................................................................................38
1.1. Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát...................................................................................38
1.2. Các ví dụ về không gian vector.........................................................................................................................39
1.3. Một số tính chất của không gian vector........................................................................................................40
1.4. Phép trừ 2 vector...................................................................................................................................................40
1.5. Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều ..................................................................40
1.5.1. Định nghĩa vector số học n chiều...........................................................................................................40
1.5.2. Hai vector n chiều bằng nhau..................................................................................................................41
1.5.3. Định nghĩa không gian vector n chiều..................................................................................................41
2. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector...........................................................................................42
2.1. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector................................................................................................42
2.2. Phép biểu diễn tuyến tính..................................................................................................................................43
2.3. Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính..................................................................................................43
2.3.1. Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính....................................................................43
2.3.2. Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính.........................................45
2.3.3. Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại................................................................................46
3. Không gian vector con...................................................................................................................................................46
3.1. Định nghĩa về không gian vector con.............................................................................................................46
3.2. Các tính chất của không gian vector con ......................................................................................................47
3.3. Ví dụ về không gian vector con........................................................................................................................47
3.4. Không gian con sinh bởi hệ vector .................................................................................................................47
4. Cơ sở và số chiều của không gian vector.................................................................................................................48
4.1. Hệ sinh.......................................................................................................................................................................48
4.2. Hệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó......................................................................................................49
4.3. Cơ sở và số chiều của một không gian...........................................................................................................50
4.4. Tọa độ của vector trong cơ sở..........................................................................................................................51
5. Hạng của một hệ hữu hạn vector...............................................................................................................................52
5.1. Cơ sở của một hệ vector .....................................................................................................................................52
5.2. Hạng của một hệ vector ......................................................................................................................................53
5.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng ...............................................................................................53
5.3.1. Phép biến đổi thêm bớt vector................................................................................................................53
5.3.2. Các phép biến đổi sơ cấp...........................................................................................................................54

41. 36
Danh sách các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả
Định nghĩa không gian vector tổng quát.........................................................................................38
Cách chứng minh một không gian vector tổng quát ..................................................................39
Các ví dụ về không gian vector tổng quát.......................................................................................39
6 tính chất của không gian vector tổng quát .................................................................................40
Định nghĩa phép trừ 2 vector...............................................................................................................40
Định nghĩa vector số học n chiều........................................................................................................40
Định nghĩa 2 vector bằng nhau ...........................................................................................................41
Định nghĩa không gian vector số học n chiều................................................................................41
Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ vector.........................................................................42
Các ví dụ về tổ hợp tuyến tính.............................................................................................................42
2 tính chất của tổ hợp tuyến tính .......................................................................................................42
Định nghĩa biểu diễn tuyến tính .........................................................................................................43
Các ví dụ về biểu diễn tuyến tính .......................................................................................................43
Các trường hợp đặc biệt của biểu diễn tuyến tính......................................................................43
Định lí mô tả tính chất bắc cầu của biểu diễn tuyến tính.........................................................43
Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính..............................................................43
Cách kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vector...............................................................44
Các ví dụ về độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính...............................................................44
6 định lí cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính và các hệ quả của chúng................................45
Định lí mô tả hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hệ quả của nó..........................................46
Định nghĩa không gian vector con .....................................................................................................46
3 tính chất của không gian con............................................................................................................47
Các ví dụ về không gian con..................................................................................................................47
Định lí về giao của các không gian con.............................................................................................47

42. 37
Định nghĩa không gian con nhỏ nhất sinh bởi hệ vector..........................................................47
Định lí mô tả không gian con nhỏ nhất sinh bởi hệ vector......................................................48
Định nghĩa hệ sinh....................................................................................................................................48
Các ví dụ về hệ sinh ..................................................................................................................................48
Định lí cơ bản về hệ sinh tối thiểu......................................................................................................49
Định lí mô tả các đặc điểm của hệ sinh tối thiểu và các hệ quả của nó...............................49
Định nghĩa cơ sở của một không gian vector................................................................................50
Cách chứng minh một cơ sở của không gian vector...................................................................50
Ví dụ về cơ sở của không gian vector................................................................................................50
Định nghĩa số chiều của không gian vector....................................................................................51
Ví dụ về số chiều của không gian vector..........................................................................................51
Các định lí về số chiều của không gian vector...............................................................................51
Định nghĩa tọa độ của vector trong cơ sở.......................................................................................51
Định nghĩa cơ sở của hệ vector ...........................................................................................................52
Định lí mô tả cơ sở của hệ vector và hệ quả của nó....................................................................52
Ví dụ về cơ sở của hệ vector .................................................................................................................52
Định nghĩa hạng của hệ vector ............................................................................................................53
Các định lí về hạng của hệ vector và hệ quả của chúng.............................................................53
Định nghĩa và định lí về phép biến đổi thêm bớt vector ..........................................................53
Định nghĩa và định lí về các phép biến đổi cơ sở.........................................................................54

43. 38
TÓM TẮT KIẾN THỨC
1.Vector và không gian vector
1.1.Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát
Định nghĩa: Cho tập (mỗi phần tử trong tập là một đối tượng đại số như số
thực, số phức, đa thức, bộ có thứ tự, ma trận, …) và trường ( hoặc ) với
2 phép toán sau:
+:
( , y) y
.:
(k, ) k.
Phép toán thứ nhất ta tạm gọi là phép cộng 2 phần tử, phép toán thứ 2 ta tạm gọi là
phép nhân 1 số với 1 phần tử, sao cho 2 phép toán này thỏa mãn 8 tính chất sau (các
tính chất này tương tự như những tính chất của phép cộng và phép nhân trong tập số
thực hoặc số phức):
1. Tính chất giao hoán của phép cộng 2 phần tử:
y y , y
2. Tính chất kết hợp của phép cộng 2 phần tử:
( y) (y ) , y,
3. Tồn tại phần tử trung hòa hay phần tử “không”:
4. Mọi phần tử đều tồn tại phần tử đối của nó:
, ( ) ( ) ( )
5. Tích của một phần tử bất kì với 1 bao giờ cũng bằng chính nó:
1.
6. Tính chất phân phối của phép nhân 1 số với 1 phần tử đối với phép cộng 2 phần tử:
k( y) k ky , y k
7. Tính chất phân phối giữa phép cộng 2 số và phép nhân 1 số với 1 phần tử:
(k l) k l k, l
8. Tính chất kết hợp giữa phép nhân 2 số với phép nhân 1 số với 1 phần tử:
(kl) k(l ) k, l
thì được gọi là một không gian vector trên trường , hay còn được gọi là một -
không gian vector.
Mỗi phần tử trong được gọi là một vector, mỗi phần tử trong được gọi là một vô
hướng. Phép toán thứ nhất gọi là phép cộng 2 vector, phép toán thứ 2 gọi là phép
nhân 1 vô hướng với 1 vector.

44. 39
Như vậy để chứng minh một tập và 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 số
với 1 phần tử trên tập và trường là một -không gian vector, ta cần chứng minh
những điều sau:
1. kín đối với phép cộng 2 phần tử, tức là , y y
2. kín đối với phép nhân 1 số với 1 phần tử, tức là k k
3. 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 số với 1 phần tử thỏa mãn 8 tính chất ở
trên.
trong đó mục 3 là mục quan trọng nhất.
1.2.Các ví dụ về không gian vector
Ví dụ 1: {( , , ) } và
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector như sau :
( , , ), (y , y , y ), k
( y , y , y )
k (k , k , k )
Khi đó cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Vector không : ( , , )
Vector đối của vector ( , , ) là ( , , )
Ví dụ 2: ( ) là tập các ma trận vuông cấp n (n là số nguyên dương cho trước)
với các phần tử trong ma trận là số phức và . Ta ét phép cộng 2 vector là phép
cộng 2 ma trận và phép nhân 1 vô hướng với 1 vector là phép nhân 1 số với 1 ma
trận.
Khi đó ( ) cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Ví dụ 3: và P là tập các đa thức 1 biến có bậc n (n là số nguyên
dương cho trước), tức là :
P {p ∑ a |a i ,1,2, … , n}
Ta định nghĩa phép cộng 2 vector như phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 vô hướng
với 1 vector như phép nhân 1 số với 1 đa thức. Khi đó P cùng với 2 phép toán trên là
một -không gian vector, trong đó vector không là đa thức 0.
Ví dụ 4: {( , , ) } và

45. 40
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng và nhân như sau : ( , , ), (y , y , y ),
k
( y , y , y )
k (k , , )
cùng 2 phép toán trên không phải là một không gian vector do tính chất 7 không
thỏa mãn:
Lấy ví dụ với (1,2,3), k 1, l 2
(k l) (1 2). (1,2,3) 3. (1,2,3) (3,2,3)
k l 1. (1,2,3) 2. (1,2,3) (1,2,3) (2,2,3) (3,4,6)
(k l) k l
1.3.Một số tính chất của không gian vector
Cho là một -không gian vector.
1. Vector là duy nhất.
2. , là duy nhất.
3. , , .
4. . k. k
5. ( 1)
6. k k k hoặc
1.4.Phép trừ 2 vector
Định nghĩa: Hiệu của 2 vector và là một vector kí hiệu là X-Y và được ác định như
sau:
( )
Phép trừ 2 vector theo định nghĩa trên là phép toán ngược của phép cộng 2 vector.
Từ các tính chất 6 và 7, ta dễ dàng suy ra các tính chất tương tự đối với phép trừ 2
vector:
k( ) k k (k l) k l
1.5.Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều
1.5.1.Định nghĩa vector số học n chiều
Định nghĩa: Một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, n) được gọi là một vector số học n
chiều (gọi tắt là vector n chiều).
Để phân biệt các vector, ta gán tên cho mỗi vector bằng các chữ cái in hoa. Để gán tên
cho vector (x1, x2, …, n) là ta viết:
X = (x1, x2, …, n)