1.
Construcciones Geométricas Prof. Victor Solano M.
Construcciones Geométricas
Las construcciones que acá describiremos se realizarán únicamente con regla y compás1
. Para
una descripción más sencilla de las instrucciones de construcción, daremos antes una guía del sig-
nificado de la simbología utilizada en este documento.
Para los segmentos, rayos, semirrectas y rectas, se utilizará la notación usual de la geometría:
Recta determinada por los puntos A y B:
←→
AB
Rayo de origen A que pasa por B:
−→
AB
Segmento determinado por los puntos A y B:
AB
Semirrecta de origen A que pasa por B:
◦−→
AB
En el caso de las circunferencias y los arcos, vamos a utilizar estás notaciones:
Arco de centro A y radio CD:
Arc(A, CD)
Circunferencia de centro A y radio CD:
Circ(A, CD)
Antes de comenzar, a las intersecciones entre objetos las denotaremos con el símbolo ∩. Con
estas aclaraciones, vamos a enunciar cada una de las construcciones.
1
Entiéndase por regla como un borde liso sin marcas, y por compás, como una herramienta para dibujar circun-
ferencias.
1

2.
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Construcción 1 Triángulo Equilátero
Construir a partir de un segmento AB un triángulo cuyos lados sean todos congruentes2
.
Figura 1: Datos iniciales Figura 2: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = C.
4. Trazar AC y BC.
2
Decimos que dos segmentos (o lados) son congruentes si ambos poseen la misma medida.
2

3.
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Construcción 2 Triángulo Isósceles
Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde dos de sus lados sean congruentes.
Figura 3: Datos iniciales Figura 4: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Marcar D sobre el AB.
3. Arc(B, BD).
4. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, BD) = C.
5. Trazar AC y BC.
3

4.
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Construcción 3 Triángulo Escaleno
Construir a partir de un segmento AB un triángulo donde sus lados NO sean congruentes en-
tre sí.
Figura 5: Datos iniciales Figura 6: Construcción terminada
Construcción:
1. Extender el segmento AB hasta un punto E.
2. Arc(A, AE).
3. Marcar D sobre el AB.
4. Arc(B, BD).
5. Marcar Arc(A, AE) ∩ Arc(B, BD) = C.
6. Trazar AC y BC.
4

5.
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Construcción 4 Hexágono Regular
Construir a partir de un segmento AB un hexágono regular3
.
Figura 7: Datos iniciales Figura 8: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = Z.
4. Circ(Z, AZ).
5. Marcar Arc(A, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = F.
6 Marcar Arc(B, AB) ∩ Circ(Z, AZ) = C.
7 Arc(C, BC).
8 Arc(F, AF).
9 Marcar Arc(C, BC) ∩ Circ(Z, AZ) = D.
10 Marcar Arc(F, AF) ∩ Circ(Z, AZ) = E.
11 Trazar BC, CD, DE, EF y FA.
3
Se dice que un polígono es regular cuando todos sus lados son congruentes.
5

6.
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Construcción 5 Recta Perpendicular (Caso 1)
Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular4
a ésta por un punto en la recta dada.
Figura 9: Datos iniciales Figura 10: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar un punto B en ∆.
2. Circ(A, AB).
3. Marcar Circ(A, AB) ∩ ∆ = C.
4. Arc(B, BC).
5. Arc(C, BC).
6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.
7. Trazar
←→
AD.
4
Decimos que dos rectas son perpendiculares si el ángulo comprendido entre ellas es un ángulo de 90o
.
6

7.
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Construcción 6 Recta Perpendicular (Caso 2)
Construir a partir de una recta ∆ una recta perpendicular a ésta por un punto exterior a la recta
dada.
Figura 11: Datos iniciales Figura 12: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar un punto B en ∆.
2. Arc(A, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ ∆ = C.
4. Arc(B, BC).
5. Arc(C, BC).
6. Marcar Arc(B, BC) ∩ Arc(C, BC) = D.
7. Trazar
←→
AD.
7

8.
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Construcción 7 Recta Paralela
Construir a partir de una recta ∆ una recta paralela a ésta por un punto exterior a la recta
dada.
Figura 13: Datos iniciales Figura 14: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar la construcción 6 con ∆ y A.
2. Marcar la recta perpendicular como Ω.
3. Realizar la construcción 5 con Ω y A.
4. Marcar la recta perpendicular como Θ.
8

9.
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Construcción 8 Mediatriz De Un Segmento
Construir a partir de un segmento AB la mediatriz5
de éste.
Figura 15: Datos iniciales Figura 16: Construcción terminada
Construcción:
1. Arc(A, AB).
2. Arc(B, AB).
3. Marcar Arc(A, AB) ∩ Arc(B, AB) = {D, E}.
4. Trazar la recta
←→
DE.
5. Marcar AB ∩
←→
DE = C6
.
5
Una mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que lo interseca en su punto medio.
6
Este punto C es el punto medio del segmento AB
9

10.
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Construcción 9 Bisectriz De Un Ángulo
Construir a partir de un ángulo ∠ABC la bisectriz7
de éste.
Figura 17: Datos iniciales Figura 18: Construcción terminada
Construcción:
1. Marcar D sobre BC.
2. Arc(A, AD).
3. Marcar Arc(A, AD) ∩
←→
AB = E.
4. Arc(D, DB).
5. Arc(E, BE).
6. Marcar Arc(D, DB) ∩ Arc(E, BE) = F.
7. Trazar la recta
←→
BF.
7
Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
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11.
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Construcción 10 Copiar Segmentos
Construir a partir de un segmento AB, otro segmento CD sobre la recta
−−→
CE tal que sea con-
gruente con AB.
Figura 19: Datos iniciales Figura 20: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el segmento BC.
2. Realizar construcción 7 con BC y A.
3. Marcar la recta paralela ∆.
4. Realizar construcción 7 con AB y C.
5. Marcar la recta paralela Ω.
6. Marcar ∆ ∩ Ω = F.
7. Arc(C, CF).
8. Marcar Arc(C, CF) ∩
←→
CE = D.
11

12.
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Construcción 11 Copiar Ángulos
Construir a partir de un ángulo ∠ABC, otro ángulo ∠EDF tal que sea congruente con ∠ABC.
Figura 21: Datos iniciales Figura 22: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con BC y
−−→
ED.
2. Marcar el punto G sobre la recta
←→
ED.
3. Arc(G, AC).
4. Arc(E, AB).
5. Marcar Arc(G, AC) ∩ Arc(E, AB) = F.
6. Trazar EF.
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13.
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Construcción 12 Copiar Triángulos
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, otro ángulo ∆EDF tal que sea congruente con ∆ABC.
Figura 23: Datos iniciales Figura 24: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 11 con ∠ABC y ∠EDF.
2. Trazar FG.
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14.
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Construcción 13 Adición De Segmentos
Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último sea
igual a la suma de los dos primeros.
Figura 25: Datos iniciales Figura 26: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con AB y
−−→
EH.
2. Marcar G sobre
−−→
EH.
3. Realizar construcción 10 con CD y
−−→
GH.
4. Marcar F sobre
−−→
GH.
14

15.
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Construcción 14 Sustracción De Segmentos
Construir a partir de un par de segmentos AB y CD, un segmento EF tal que éste último sea
igual a la diferencia de los dos primeros.
Figura 27: Datos iniciales Figura 28: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 10 con AB y
−−→
EH.
2. Marcar G sobre
−−→
EH.
3. Realizar construcción 10 con CD y
−−→
GE.
4. Marcar F sobre
−−→
GH.
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16.
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Construcción 15 Multiplicación De Segmentos (Ampliarlo 5 veces)
Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a n ve-
ces el primero.
Figura 29: Datos iniciales Figura 30: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el rayo
−−→
AD.
2. Marcar un punto P1 en
−−→
AD.
3. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P1D.
4. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P2D.
5. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P3D.
6. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P4D.
7. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P5D.
8. Trazar BP1.
9. Realizar la construcción 7 con BP1 y el punto P5.
10. Trazar la recta ∆.
11. Marcar ∆ ∩
−→
AB = C
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17.
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Construcción 16 División De Segmentos (Reducirlo 5 veces)
Construir a partir de un segmento AB, un segmento AC tal que éste último sea igual a la n-
ava parte del primero.
Figura 31: Datos iniciales Figura 32: Construcción terminada
Construcción:
1. Trazar el rayo
−−→
AD.
2. Marcar un punto P1 en
−−→
AD.
3. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P1D.
4. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P2D.
5. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P3D.
6. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P4D.
7. Realizar la construcción 10 con AP1 y
−−→
P5D.
8. Trazar BP5.
9. Realizar la construcción 7 con BP5 y el punto P1.
10. Trazar la recta ∆.
11. Marcar ∆ ∩
−→
AB = C
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18.
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Construcción 17 Ampliar Un Triángulo (3 veces)
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea igual
a n veces mas grande el primero.
Figura 33: Datos iniciales Figura 34: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 15 con AC sobre
−−→
DX.
2. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre
−−→
DX.
3. Marcar Circ(D, AB) ∩ Circ(P1, BC) = Y .
4. Trazar rayo
−−→
DY .
5. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre
−−→
FD.
6. Marcar Circ(P2, AB) ∩ Circ(F, BC) = W.
7. Trazar rayo
−−→
FW.
8. Marcar
−−→
DY ∩
−−→
FW = E.
9. Trazar DE y EF.
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19.
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Construcción 18 Reducir Un Triángulo (4 veces)
Construir a partir de un triángulo ∆ABC, un triángulo ∆DEF tal que éste último sea igual
a n veces más pequeño que el primero.
Figura 35: Datos iniciales Figura 36: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 16 con AC sobre
−−→
DX.
2. Marcar F, tal que AG ∼= DF.
3. Realizar construcción 11 con ∠BAC sobre
−−→
DX.
4. Marcar el punto H.
5. Trazar rayo
−−→
DH.
6. Realizar construcción 11 con ∠ACB sobre
−−→
FD.
7. Marcar el punto I.
8. Trazar rayo
−→
FI.
9. Marcar
−−→
DH ∩
−→
FI = E.
10. Trazar DE y EF.
19

20.
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Construcción 19 El Cuadrado
Construir a partir de un segmento AB, un cuadrado8
ABCD.
Figura 37: Datos iniciales Figura 38: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 5 con AB y A.
2. Marcar la recta ∆.
3. Arc(A, AB).
4. Marcar Arc(A, AB) ∩ ∆ = D.
5. Arc(D, AD).
6. Arc(B, BD).
7. Marcar Arc(D, AD) ∩ Arc(B, BD) = C.
8. Trazar AD, CD y BC.
8
Un cuadrado es el polígono regular de 4 lados.
20

21.
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Construcción 20 El Octágono
Construir a partir de un segmento AB, un octágono9
AFBHCEDG.
Figura 39: Datos iniciales Figura 40: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 19 con AB.
2. Realizar construcción 8 con AB.
3. Marcar la recta ∆.
4. Realizar construcción 8 con BC.
5. Marcar la recta Ω.
6. Marcar Ω ∩ ∆ = I.
7. Circ(I, AI).
8. Marcar Circ(I, AI) ∩ ∆ = {E, F}.
9. Marcar Circ(I, AI) ∩ Ω = {G, H}.
10. Trazar AF, FB, BH, HC, CE, ED, DG, y GA,.
9
Un octágono es el polígono regular de 8 lados.
21

22.
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Construcción 21 El Dodecágono
Construir a partir de un segmento AB, un dodecágono10
AGBICKDHEJFL.
Figura 41: Datos iniciales Figura 42: Construcción terminada
Construcción:
1. Realizar construcción 4 con AB.
2. Realizar construcción 8 con AB.
3. Marcar la recta ∆.
4. Realizar construcción 8 con BC.
5. Marcar la recta Ω.
6. Realizar construcción 8 con CD.
7. Marcar la recta Ξ.
8 Marcar Ω ∩ ∆ = M.
9 Circ(M, AM).
10 Marcar Circ(M, AM) ∩ ∆ = {H, G}.
11 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ω = {I, J}.
12 Marcar Circ(M, AM) ∩ Ξ = {K, L}.
13 Trazar AG, GB, BI, IC, CK, KD, DH, HE, EJ, JF
Y LA,.
10
Un dodecágono es el polígono regular de 12 lados.
22