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Expresiones Algebraicas y Factorización Guille.pptx

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  1. 1. Expresiones Algebraicas y Factorización GUILLERMO CASTILLO 30.615.831 PNF DEPORTES República Bolivariana de Venezuela Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto - Lara
  2. 2. Expresiones Algebraicas  Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión algebraica con una única letra es: 3x2+4x−2−x2+7x • Por ejemplo, son expresiones algebraicas8x-78z , (3x-1)/(9x-2), 3 naranjas + 4 papas. • Son expresiones algebraicas, pero no enteras (3x-1)/(9x-2) y 8x/9y • No son expresiones algebraicas log(2x+1) ni cos (9x-5). • Las expresiones y x + 1, x ≠ 1 son equivalentes, porque: si x = 3 y x + 1 = 3 + 1 = 4 si x = 3. • Se observa que ambas toman el mismo valor, y esto se cumplirá para todo x diferente de 1, por lo tanto las dos expresiones son equivalentes. Ejemplos:
  3. 3. Suma de Expresiones Algebraicas  Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos. • Suma de monomios: por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x + 4x = (2+4)x = 6x • Suma de polinomios: Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c Tipos:
  4. 4. Resta de Expresiones Algebraicas  La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:  Resta de Monomios: Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x – 4x = (2 – 4)x = –2x  Resta de Polinomios: Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c
  5. 5. Valor Numérico  Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado de la(s) letra(s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre números, El valor obtenido, es el valor numérico de la expresión dada. Ejemplo: Evalúe la expresión para x = -1. Solución: Luego el valor numérico de la expresión para x = -1 , es 1.
  6. 6. Multiplicación de Expresiones Algebraicas  La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador Tipos: • Multiplicación de Monomios: Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será: (3a2)(6a4) = 18a6 • Multiplicación de Polinomios: Se recomienda acomodar en forma de columnas, se multiplican los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en consideración “la ley de los signos”, y el acomodo de los términos semejantes.
  7. 7. División de Expresiones Algebraicas  La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. Tipos: • División de Monomios: Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes Ejemplo: • División de un polinomio por un monomio: Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor. Ejemplo: restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:
  8. 8. Productos Notables de Expresiones Algebraicas  Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Binomio al Cuadrado: Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Trinomio al Cuadrado: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero. Productos de dos binomios que tienen un termino común: Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:
  9. 9. Factorización por Producto Notable  Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con un término en común, escrito para identificar como x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) con a y b números enteros. Para factorizar el trinomio buscamos dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados el término independiente. Trinomio cuadrado perfecto: Se cumple con un procedimiento muy sencillo - Se ordena el trinomio de mayor a menor (de acuerdo al exponente). - Se calcula la raíz cuadrada del primer y último término. - Se abren 2 pares de paréntesis, se coloca en ambos los resultados de la raíz y el signo entre los resultados será el signo que posea el segundo término del trinomio. Diferencias de Cuadrados: El procedimiento es similar al caso 2. - Se calcula la raíz cuadrada del primer y segundo termino (ya que es este caso tan solo hay dos términos). - Se abren dos pares de paréntesis, y en cada uno se coloca el resultado del calculo de las raíces. - En el primer paréntesis se coloca entre los resultados el signo positivo, y en el segundo signo negativo. - El resultado debe ser la expresión del producto de la suma por su diferencia, ya vista en producto notable.
  10. 10. Bibliografía  Wentworth, George Albert; Smith, David Eugene (1980). Elementos de álgebra (2ª edición). Boston: Porrúa.  Matemática I. Pablo J. Kaczor y otros. Editorial Santillana  Matemática 1. Adriana Berio y otros. Editorial Puerto de Palos

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