2.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Plataforma Temática
1. Objetivos.
2. Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
3. Ubicación de un punto en el espacio.
4. Planos perpendiculares a los Ejes.
5. Planos.
6. Superficies Cilíndricas.
7. Superficies Cuadráticas.
• Elipsoide /Esfera.
• Hiperboloide de una Hoja
• Hiperboloide de dos Hojas
• Cono.
• Paraboloide.
• Paraboloide Hiperbólico (Silla de Montar)
8. Bibliografía y Webgrafía.
3.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Objetivo de la Clase.
Dada la ecuación respectiva, graficar en un sistema
de ejes cartesiano de tres dimensiones, puntos,
planos, rectas y superficies cuadráticas
Objetivo de la Unidad
Resolver problemas matemáticos relativos a límites,
continuidad y cálculo diferencial de una función de
varias variables.
Objetivos
5.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Z
X
Y
I
II
IV
III
V
VI
VII
Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1
12.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z
X
Y
Ecuación: Z=3
Z=3 es // XY
Z=3 es ┴ Z
3
-3
Ecuación: Z=-3
13.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z
X
Y
Ecuación: X=-2
X=-2 // YZ
X=-2 ┴ X
-2
Ecuación:y=3
Y=3 // ZX
Y=3 ┴Y
Traza
14.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Planos.
Z
X
Y
Ecuación General:
1=++
c
z
b
y
a
x
a
b
c
Traza con YZ
1=+
c
z
b
y
1=+
c
z
a
x
Traza con XZ
1=+
b
y
a
x
Traza con XY
15.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Planos.
Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
yzx 6301510 +=+Ecuación:
Solucion:
1) Cortes
• Con X (Y=0, Z=0)
• 10x=30 x=3//
• Con Y (X=0, Z=0)
• 0=30+6y y=-5//
• Con Z (X=0, Y=0)
• 15z=30 z=2//
2) Trazas
• Con XY ( Z=0)
• 10x=30+6y 10x-6y=30//
• Con YZ (X=0)
• 15z=30+6y 15z-6y=30//
• Con XZ (Y=0)
• 10x+15z=30//
Z
X
Y
30610 =− yx
30615 =− yz
301510 =+ zx
2
-5
3
17.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Superficies Cilíndricas.
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
4
4
2
−=
x
zEcuación:
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Las rectas generatrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)
Cortes con X (z=0)
Vértice:
4
4
0
2
−=
x
4±=x
4−=z
a
b
xv
2
−
= 0
2
0
=
−
=vx
4
4
02
−=vz 4−=vz
X
Z
Y
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1
18.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Superficies Cilíndricas.
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
4
4
2
−=
x
zEcuación:
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Las rectas generatrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)
Cortes con X (z=0)
Vértice:
4
4
0
2
−=
x
4±=x
4−=z
a
b
xv
2
−
= 0
2
0
=
−
=vx
4
4
02
−=vz 4−=vz
X
Z
Y
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1
26.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
Bibliografía / Webgrafía.
Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 2.
Sexta Edición. McGrawHill.
Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 1.
Sexta Edición. McGrawHill.
Leithold L (1989). El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press.
27.
∂
∂
x
f
∂
∂
y
f
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ing. Julio Cubillan Msc
6. Las Funciones Cuadráticas
cbxaxy ++= 2
Puntos Notables
Cortes con X (Y=0)
Cortes con Y (X=0) (c)
Ecuación General
Fórmulas
a
acbb
x
2
42
−±−
=
Máximos y Mínimos (Y’ =0)
a
b
xv
2
−
=
6)( 2
−+= xxxf
4)( 2
+−= xxf 0<a
0>a
Gráfico generado en
Graphmatica V20f
Notas del editor
El sistema de ejes coordenado está formado por tres ejes perpendiculares entre sí que se cruzan en un punto denominado origen.
Los tres ejes delimitan tres planos, también perperndiculares entre sí, cuya intersección es el Origen. Estos planos son: el XY(azul-gris), el XZ (fucsia) y el YZ (amarillo).
Para ubicar un punto en el espacio formado por una tríada de números, donde el primero representa la coordenada X, el segundo la coordenada Y y el tercero la coordenada Z.
Se trazan perpendiculares desde las coordenadas X y Y , luego, en la intersección de estas, se traza una paralela al eje Z y perpendicular al plano XY, sobre esta última se mide la coordenada Z para encontrar el punto.
Ejemplos.
Ejemplos.
Ejemplos.
Ejemplos.
Ejemplos.
Un plano perpendicular al eje Z, se representa con la Ecuación Z=Z0, donde Z0 es el punto en Z donde corta el plano con el Eje. El plano resultante es paralelo al plano XY.
Un plano perpendicular al eje X, se representa con la Ecuación X=X0, donde X0 es el punto en X donde corta el plano con el Eje.
Un plano perpendicular al eje Y, se representa con la Ecuación Y=Y0, donde Y0 es el punto en Y donde corta el plano con el Eje.
Se denomina “Traza” al corte de una superficie con otra.
Esta es la ecuación canónica general del plano. Los valores “a”, “b” y ”c” son los cortes del plano con los ejes X Y y Z, respectivamente.
La ecuación de la traza con el plano XY se determina haciendo Z=0
La ecuación de la traza con el plano XZ se determina haciendo Y=0
La ecuación de la traza con el plano YZ se determina haciendo X=0.
Para calcular los CORTES:
Corte con X se hace Y=0 y Z=0.
Corte con Y se hace X=0 y Z=0.
Corte con Z se hace X=0 y Y=0.
Un plano perpendicular al eje Z, se representa con la Ecuación Z=Z0, donde Z0 es el punto en Z donde corta el plano con el Eje.
La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación.
La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación.
