Cônicas
Elipse – Hipérbole – Parábola
 Considerando, num plano , dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real
maior que a distância entre F1 e F2...
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos
os seguintes elementos:
 Focos : os pontos F1 e F2
 Centro: o ponto O, é o ponto médio de
 Semi-eixo maior: a
 Semi-eixo menor: b
 Semi- dist...
 Relação fundamental
aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo
OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a
seguinte r...
 Excentricidade
 Chamamos de excentricidade o número
real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a,
então c < a e, c...
 Elipse com centro na origem e eixo maior
horizontal
 Sendo c a semi-distância focal, os focos
da elipse são F1(-c, 0) e...
 Elipse com centro na origem e eixo maior
vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:
 Considerando dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real menor que a
distância entre F1 e F2 ,
chamamos d...
 A figura obtida é uma
hipérbole.
Observação:Os dois
ramos da hipérbole
são determinados por
um plano paralelo ao
eixo de...
 Elementos
 Focos: os pontos F1 e F2
 Vértices: os pontos A1 e
A2
 Centro da hipérbole: O
ponto O, que é o ponto
médio...
•distância focal:
•eixo real:
•eixo imaginário:
 Excentricidade
 Chamamos de excentricidade o
número real e tal que:
Como c > a, temos
e > 1.
 hipérbole com
centro na origem
e focos no eixo
Ox
 hipérbole com centro
na origem e focos no
eixo Oy
 Uma hipérbole é
chamada equilátera
quando as medidas dos
semi-eixos real e
imaginário são iguais:
 a = b
 Assíntotas são retas
que contêm as
diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
 Quando o eixo real é
horizontal, o
coefici...
 Eixo real horizontal e C(0, 0)
 As assíntotas passam pela
origem e têm coeficiente
angular ; logo,
suas
 equações são ...
 eixo vertical e C(0, 0)
 As assíntotas passam pela
origem e têm coeficiente
angular
 equações são da forma:
eixo verti...
 Assim, sendo, por
exemplo, F, P, Q e
R pontos de um
plano e d uma reta
desse mesmo
plano, de modo
que nenhum ponto
perte...
 A parábola é obtida seccionando-se
obliquamente um cone circular reto:
Elementos
Observe a parábola representada a seguir, nela, temos os seguintes
elementos:
Foco: o ponto F
Diretriz: a reta d...
•DF = p
•V é o ponto médio
de
 parábola com vértice na origem, concavidade
para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem
equação e na
...
 parábola com vértice na origem,
concavidade para a esquerda e eixo de
simetria horizontal
y2 = -2px
 parábola com vértice na origem,
concavidade para cima e eixo de simetria
vertical
x2=2py
 parábola com vértice na origem,
concavidade para baixo e eixo de simetria
vertical
x2= - 2py
Jamais subestimem
o gigante intelectual
adormecido dentro
de cada um de nós.
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CÔNICAS É MASSA DE ESTUDAR...APROVEITEM

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  1. 1. Cônicas Elipse – Hipérbole – Parábola
  2. 2.  Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.  Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
  3. 3. Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
  4. 4.  Focos : os pontos F1 e F2  Centro: o ponto O, é o ponto médio de  Semi-eixo maior: a  Semi-eixo menor: b  Semi- distância focal: c  Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2  Eixo maior: A1A2 = 2a  Eixo menor: B1B2 = 2b  Distância focal: F1F2 = 2c
  5. 5.  Relação fundamental aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2
  6. 6.  Excentricidade  Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência
  7. 7.  Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal  Sendo c a semi-distância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
  8. 8.  Elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:
  9. 9.  Considerando dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.  Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
  10. 10.  A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
  11. 11.  Elementos  Focos: os pontos F1 e F2  Vértices: os pontos A1 e A2  Centro da hipérbole: O ponto O, que é o ponto médio de  Semi-eixo real: a  Semi-eixo imaginário: b  Semi-distância focal: c
  12. 12. •distância focal: •eixo real: •eixo imaginário:
  13. 13.  Excentricidade  Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1.
  14. 14.  hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
  15. 15.  hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
  16. 16.  Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:  a = b
  17. 17.  Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.  Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é  Quando é vertical, o coeficiente é Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ;quando é vertical, o coeficiente é .
  18. 18.  Eixo real horizontal e C(0, 0)  As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas  equações são da forma: As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:
  19. 19.  eixo vertical e C(0, 0)  As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular  equações são da forma: eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ;logo, suas equações são da forma:
  20. 20.  Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d.
  21. 21.  A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
  22. 22. Elementos Observe a parábola representada a seguir, nela, temos os seguintes elementos: Foco: o ponto F Diretriz: a reta d Vértice: o pontoV Parâmetro: p O vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos
  23. 23. •DF = p •V é o ponto médio de
  24. 24.  parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal Como a reta d tem equação e na parábola temos: y2 = 2px
  25. 25.  parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal y2 = -2px
  26. 26.  parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical x2=2py
  27. 27.  parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical x2= - 2py
  28. 28. Jamais subestimem o gigante intelectual adormecido dentro de cada um de nós.

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