Tercer Grado de Secundaria.

1. .
DEFINICIÓN – ELEMENTOS
Ángulo es la reunión de dos rayos de origen común y
no colineales.
En la figura adjunta se observa la representación
gráfica de un ángulo y sus elementos.
A
Lado
Vértice O Lado B
NOTACIÓN: AOB ó BOA ;

AOB o también:

 OO;
MEDIDA DE UN ÁNGULO
La medida de un ángulo se refiere a la abertura entre
sus lados.
NOTACIÓN
AOBm : Se lee “medida del ángulo AOB”
EQUIVALENCIAS (Sistema Sexagesimal)
1° = 60’ ; 1’ = 60’’ ; 1° = 3600’’
 Para medir ángulos se utiliza el
transportador.
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida.
A F
E
a
B
C O
Si el ángulo ABC es congruente con el ángulo EOF,
escribiremos: EOFABC 
O por comodidad EOFABC  , si nos
referimos a las medidas
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en
dos ángulos congruentes.
A
M Bisectriz
B
De la figura, tenemos que: O biseca al ángulo AOB

 MOBAOM ó
2



AOB
MOBAOM
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
I. POR SU MEDIDA.
Los ángulos pueden ser:
1. ÁNGULO NULO.
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 0°.
Sus lados son dos rayos coincidentes.
 0
2. ÁNGULO CONVEXO.
Es aquel ángulo cuya medida está
comprendida entre 0° y 180°.
 1800 
Los ángulos convexos pueden ser:
ÁNGULO AGUDO.
Es aquel ángulo cuya medida está
comprendida entre 0° y 90°.
 900 
ÁNGULO RECTO.
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°
° = 0°
ÁNGULO OBTUSO.
Es aquel ángulo cuya medida está
comprendida entre 90° y 180°
 18090 
3. ÁNGULO LLANO O RECTILÍNEO.
Es aquel ángulo cuya medida es igual a
180°. Sus lados son dos rayos opuestos.
 180
4. ÁNGULO NO CONVEXO O CÓNCAVO.
Es aquel ángulo cuya medida está
comprendida entre 180° y 360°
 360180 
5. ÁNGULO PERÍGONO.
Es aquel ángulo cuya medida es igual a
360°.
 360
II. POR LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS.
Los ángulos pueden ser:
1. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
Son dos ángulos cuyas medidas suman
90°.
a
b
a + b = 90°
2. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
Son dos ángulos cuyas medidas suman
180°.
a b
a + b = 180°
OBSERVACIONES.
 El complemento de un ángulo es lo que le
falta a la medida de dicho ángulo para ser
igual a 90°.
 El suplemento de un ángulo es lo que le
falta a la medida de dicho ángulo para ser
igual a 180°.
 Todo ángulo agudo tiene complemento y
suplemento.
 Los ángulos obtusos tienen sólo
suplemento.
 Si a° es la medida de un ángulo agudo,
entonces las medidas de su complemento y
suplemento, son respectivamente: (90° - a°)
y (180° - a°)
 Los ángulos negativos no tienen
complemento ni suplemento.
III. POR SU POSICIÓN.
Los ángulos pueden ser:
1. ÁNGULOS ADYACENTES.
Son dos ángulos de vértice común y lado
común, además están situados a uno y otro
semiplano determinados por el lado común.
Se cumplen las siguientes relaciones:
ADICIÓN:  
SUSTRACCIÓN:   y  
 

Ángulos Adyacentes Suplementarios.
Son dos ángulos cuyas medidas suman
180°.
 
 180
TEOREMA.
Las bisectrices de dos ángulos adyacentes
suplementarios forman un ángulo de 90°
M B
N
A O C
 90MONm
2. ÁNGULOS CONSECUTIVOS.
Son tres o más ángulos de vértice común
que de dos en dos son adyacentes.
C
B D
A E
O
Los ángulos AOB, BOC, COD, DOE son
cuatro ángulos consecutivos.
O
X
X

2. .
OBSERVACIONES.
 Los ángulos consecutivos que en
conjunto complementan un semiplano
tienen medidas que verifican la
relación:
 180edcba
B c d
a e
 Los ángulos consecutivos situados
alrededor de un punto (completando el
plano) tienen sus medidas que cumplen
la relación:
 360edcba
b
a c
e d
3. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Son ángulos determinados al intersecarse
dos rectas.
 
 
TEOREMA.
Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Dado el gráfico:
Sean: , tal que: entonces
determinan los siguientes ángulos:
1. ÁNGULOS ALTERNOS.
Son de igual medida. Pueden ser:
a) ALTERNOS INTERNOS
= 6 ; 3 =
b) ALTERNOS EXTERNOS
= ; 1 =
2. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.
Son de igual medida.
1 = ; = 6
3 = ; =
3. ÁNGULOS CONJUGADOS.
Son suplementarios. Pueden ser:
a) CONJUGADOS INTERNOS
= 1 0° ; 3 6 = 1 0°
b) CONJUGADOS EXTERNOS
1 = 1 0° ; = 1 0°
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS
Éstos pueden ser:
1. CONGRUENTES.
Si ambos son agudos o ambos son obtusos.
a)
=
b)
=
2. SUPLEMENTARIOS.
Si uno es agudo y el otro obtuso (sus medidas
suman 180°).
= 1 0°
ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Éstos pueden ser:
1. CONGRUENTES.
Si ambos son agudos o los dos obtusos.
a) =
b) =
2. SUPLEMENTARIOS.
Si uno es agudo y el otro es obtuso.
= 1 0°
PROPIEDADES ESPECIALES
1. Si: a =
2. Si: a =
3. Si: OA = 1 0°
4. Si: 1 en on e :
= 1 0° ° egmen o
5. Si: m n =
1 0° n - 1
n
m
x
x
x
Existen
“n” ángulo
x
x
n x
6. Siendo C el complemento de un ángulo se
cumplen las siguientes relaciones:

° a
=

° im a
= 0° -
7. Siendo S el suplemento de un ángulo se
cumplen las siguientes relaciones:
 SSS SSS
° a
=
 SSS SSS
° im a
= 1 0° -
8. Si a y b son dos rectas tales que a , entonces
se dice que los ángulos que ellos determinan
miden 0° y 180°.