![CALCULO VECTORIAL
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ING CIVIL
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.
(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).
Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.
Los vectores:
PQ y
RS cumplen las tres condiciones de
igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector
podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.
Todos ellos son representantes de un único vector.
Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una
letra minúscula:
u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus
representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha
encima:
PQ (por ejemplo)
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
Dado un número 0k y un vector
u definimos el vector
uk [o simplemente
uk ] como aquel que:
*tiene la misma dirección que
u .
*el mismo sentido que
u si 0k y
sentido contrario al de
u si 0k
*su módulo es igual al de
u multiplicado por el valor absoluto
de: k .
Si 1k el vector
uk se denomina opuesto del vector
u , se escribe:
u
Si 0k el vector
uk es el vector cero:
0 cuyo extremo y orígen coinciden.
SUMA Y RESTA DE VECTORES.
Dados dos vectores
u y
v cualesquiera.
Para poder sumarlos hay que tomar un representante de
cada uno de ellos con orígen común(O).
En ese caso el vector suma:
vu es la diagonal cuyo orígen
es (O).
El vector resta:
vu es la diagonal que va del extremo de
v
al extremo de
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- 1. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Vectores en el espacio. 1. Operaciones con vectores. 2. Expresión analítica de un vector. 3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. 4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades. 5. Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Objetivos Mínimos - Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores. - Vectores linealmente dependientes e independientes. Base de un espacio vectorial tridimensional. Coordenadas de un vector respecto a una base. - Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica. Aplicaciones del producto escalar de dos vectores: para hallar el ángulo entre ellos para determinar la proyección de un vector sobre otro para comprobar perpendicularidad entre ambos. - Definición de producto vectorial y su expresión analítica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores: para calcular el área del paralelogramo que determinan. para obtener un vector perpendicular a ambos. - Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica. Aplicación del producto mixto: para calcular el volumen del paralelepípedo que determinan. Introducción. El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad. Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales. Gauss los utilizó para representar los números complejos. En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton. Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n). 1. Operaciones con vectores.- Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que: Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector. Todo vector se caracteriza por:
- 2. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Módulo: que es la distancia del punto P al Q. Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela). Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q. (cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido). Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores: PQ y RS cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él. Todos ellos son representantes de un único vector. Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula: u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: PQ (por ejemplo) PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO Dado un número 0k y un vector u definimos el vector uk [o simplemente uk ] como aquel que: *tiene la misma dirección que u . *el mismo sentido que u si 0k y sentido contrario al de u si 0k *su módulo es igual al de u multiplicado por el valor absoluto de: k . Si 1k el vector uk se denomina opuesto del vector u , se escribe: u Si 0k el vector uk es el vector cero: 0 cuyo extremo y orígen coinciden. SUMA Y RESTA DE VECTORES. Dados dos vectores u y v cualesquiera. Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O). En ese caso el vector suma: vu es la diagonal cuyo orígen es (O). El vector resta: vu es la diagonal que va del extremo de v al extremo de u .
- 3. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 2. Expresión analítica de un vector.- Dados los vectores del espacio: wtzyx ,......,,,, y los números: ldcba ,...,,,, la expresión: wltdzcybxa ...... se llama combinación lineal de dichos vectores. En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinación lineal de los vectores u y v . Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes. Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes. Por ejemplo: *Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD). *Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI). *Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD). Así en el ejemplo de más arriba el vector x es coplanario con los vectores u y v , es decir, x es combinación lineal de u y v : vux 12 . Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI). Dados tres vectores no coplanarios zyx ,, del espacio tridimensional. En estas condiciones, cualquier otro vector u de ese espacio se puede escribir como combinación lineal única de los vectores zyx ,, . Se dice que los vectores zyx ,, forman una base del espacio tridimensional. Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal. A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal). Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como: tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo) del vector dado. “a” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X (hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si a es negativo).
- 4. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL “b” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Y (hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo). “c” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Z (hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo). OPERACIONES CON COORDENADAS. Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. Así: Si cbavycbau ,,,, son las coordenadas respectivas entonces: * ccbbaavu ,, Coordenadas de la Suma de vectores. * kckbkauk ,, Coordenadas del Producto de un número por un vector. Como consecuencia de estos resultados, será enormemente útil y cómodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas. 3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. Se define el producto escalar de dos vectores u y v como el número que se obtiene del siguiente modo. vuvuvu ,cos. Si vu, es agudo, 0,cos vu y por tanto: 0. vu Si vu, es obtuso, 0,cos vu y por tanto: 0. vu Propiedad fundamental del producto escalar. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir: 0u y 0v ; vuvu 0. Otras propiedades del producto escalar. Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a continuación, por ello se pondrán en práctica con los ejercicios para que las memorices de forma natural.
- 5. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Conmutatividad del producto escalar: uvvu .. (inmediato). Propiedad asociativa: ).().().( vuvuvu (inmediato). Propiedad distributiva: wuvuwvu ... Módulo de un vector: uuu . (inmediato de la definición). Àngulo de dos vectores: vu vu vu . ,cos (inmediato). Vector proyección de u sobre v es el vector: v v vu 2 . v vu vu vu uvuu .. ,cos es la longitud del segmento (AB), con signo + ó - según sea( ) agudo u obtuso. Si este número lo multiplicamos por el vector unitario: v v 1 obtenemos el vector proyección de u sobre v buscado: v vv vu 1. v v vu 2 . . Expresión analítica del producto escalar. Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras kjiB ,, (Física). Es fácil comprobar que: 1. ii ; 1. jj ; 1. kk 0. ji ; 0. ki ; 0. kj Si las coordenadas de los vectores u y v en la base kjiB ,, son: cbavcbau ,,,, el producto escalar de los vectores u y v se obtiene: ccbbaavu . Ejemplo.-
- 6. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son: 3,,211,7,45,1,3 kwvu . A) Calcula vu. B) Determina k para que v y w sean perpendiculares. A) 601157143. vu B) 3378311724.0 kkwv 7 25 257 kk Si cbavcbau ,,,, son las coordenadas en la base: kjiB ,, : Módulo de un vector 222 . cbauuu Àngulo de dos vectores 222222 . ,cos cbacba ccbbaa vu vu vu Proyección de u sobre v Segmento proyección: 222 . cba ccbbaa v vu Vector proyección: cba cba ccbbaa v v vu ,, . 2222 Ejemplo.- Si 2,,76,2,512,4,3 kwvu en la base kjiB ,, Calcula: A) vu. B) u y v C) ángulo que forman u y v D) vector proyección de u sobre v E) Determina k para que wu . A) 49. vu B) 13. 222 cbauuu 06,865 v C) 467,0,cos 222222 cbacba ccbbaa vu ; 25º117, vu
- 7. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL D) Segmento proyección: 077,6 65 49. 222 cba ccbbaa v vu el vector proyección es de módulo: (6,07) y sentido contrario a v . Vector proyección: 6,2,5 65 49 ,, . 2222 cba cba ccbbaa v v vu E) 0. wuwu ; 4 3 k 4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades. El producto vectorial de dos vectores vu, , y escribimos vxu , es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si vu, son(LI), entonces el vector vxu se caracteriza por: Módulo: vxusenvuvxu Dirección: perpendicular a ambos: uvxu )( y vvxu )( Sentido: depende del ángulo que forman los vectores vu, a) Si º180, vu hacia arriba. b) Si º180, vu hacia abajo. (recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo). Si vu, son(LD), o sea alguno de ellos es el vector 0 o tienen la misma dirección, entonces el vector vxu es el vector cero,es decir, 0vxu .
- 8. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Propiedades del producto vectorial de dos vectores.- El módulo del vector vxu es igual al área del paralelogramo definido por los vectores vu, Área paralelogramo vxu ( coloreado amarillo) (área paralelogramo = base por altura) 0uxu cualquiera que sea u uxvvxu )( (propiedad anticonmutativa). efectivamente pues son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos. Los vectores de la base kjiB ,, cumplen las igualdades: a) kjxi b) ikxj c) jixk vaxuvxuavxua siendo a una constante cualquiera. wxvxuaigualesnowxvxu )( ( no asociativo).En efecto: jkxijxixijxjxixi 00)( Expresión analítica de vxu Si cbavcbau ,,,, son las coordenadas en la base: kjiB ,, ba ba ac ac cb cb vxu ,, o bien: cba cba kji vxu (nemotécnica) Módulo:
- 9. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 2 2 22 2 2222222 222222222222 22222222 : 222222222 2222 cos. )()( )()()222( )()()( 222222 senvusenvuvuvuvuvu ccbbaacbacbaccbbaacbac cbabcbaaccbbccaabbaa baccabcba ba ba ac ac cb cb vxu ccbbaa restamos ysumamos Dirección:el vector dado es perpendicular a u y a v . Efectivamente: a) 0,,.,, cba cba cba ba ba c ac ac b cb cb a ba ba ac ac cb cb cba ídem para el vector cbav ,, . wxuvxuwvxu (propiedad distributiva). Ejemplo.-Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores: 4,1,12,2,3 vu Sol.- El vector uvxu )( y también vvxu )( , usando la regla nemotécnica: 5,10,1051010 411 223 kji kji cba cba kji vxu 15225)).(( 222 cbavxuvxuvxu Un vector unitario en la dirección de )( vxu es: vxu vxu 1 3 1 , 3 2 , 3 2 5,10,10 15 11 vxu vxu y por tanto basta multiplicar por 9: 3,6,65,10,10 15 91 9 vxu vxu o su opuesto 3,6,6 Ejemplo.- Calcula el área del triángulo definido por los vectores:
- 10. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 0,0,006,7,41,5,3 vu Sol.- Según vemos en el gráfico adjunto el área del paralelogramo definido por los vectores 6,7,41,5,3 vu viene dado por el módulo del producto vectorial de ambos, es decir: Área paralelogramo 674 153 kji vxu 97,56324641143741,14,37 222 Área triángulo= mitad del área del paralelogramo= 49,2897,56 2 1 4. Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Se define el producto mixto de tres vectores wvu ,, y se escribe wvu ,, al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo: wxvuwvu .,, Interpretación geométrica del producto mixto.- wvu ,, es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores wvu ,, . (¡ojo!:acaso con signo menos). Efectivamente si llamamos al ángulo que forman los vectores: u y wxv entonces se tiene que:
- 11. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL PEDOPARALELEPÍ DELVOLUMEN PEDOPARALELEPÍ DELALTURA PEDOPARALELEPÍ BASEAREA wvPORODETERMINAD PLANOALLARPERPENDICU SOBREuDEPROYECCIÓN wvPORDEFINIDO AMOPARALELOGRAREA uwxvwxvuwxvuwvu ,: ,: coscos.,, Expresión analítica del producto mixto de tres vectores.- Sean los vectores cbawcbavcbau ,,,,,, en la base kjiB ,, . cba cba cba ba ba ac ac cb cb cbawxvuwvu ,,,,.,, El producto mixto de tres vectores se obtiene como el valor del determinante de las coordenadas de los vectores. Ejemplo.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: vxuwvu 0,1,23,2,1 Justifica por que el resultado es: 2 vxu Sol.- Calculamos el vector w : 5,6,3 012 321 kji vxuw Volumen paralelepípedo: 3 70 563 012 321 .,, uwxvuwvu Para justificarlo, basta tener en cuenta que el producto mixto de tres vectores se obtiene como un determinante y el valor de w : 22 2 º0cos..,,1,, vxuvxuvxuvxuvxuwvuwwvu Ejemplo.- Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por: kwvu ,4,11,1,21,5,3 sea 3 11 u Sol.- El volumen se obtiene por el determinante:
- 12. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 2413 41 112 153 .,, m k wxvuwvu Como ese volumen es de 3 11 u tendremos dos soluciones posibles de: A) 1112413 mm B) 13 35 112413 mm Puntos, Rectas y Planos en el espacio.- 6. Sistema de referencia en el espacio. 7. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos. 8. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de dos rectas. 9. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de planos y rectas. Objetivos Mínimos - Concepto de sistema de referencia en el espacio ordinario. - Saber calcular las coordenadas de un vector dado por dos puntos. Saber determinar si tres puntos están alineados. Calcular el punto medio de un segmento. Saber calcular el simétrico de un punto respecto a otro. - Conocer la determinación vectorial de una recta en el espacio ordinario. Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan una recta. Analizar correctamente las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio. - Conocer la determinación vectorial de un plano en el espacio ordinario. Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan un plano. Analizar correctamente las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio, así como una recta y un plano. Introducción.- Los inventores de la Geometría Analítica,Descartes y Fermat (siglo XVII), se interesaron por el estudio de superficies, pero le dedicaron poca atención para centrar sus esfuerzos en el estudio de curvas planas. Fué en el siglo (XVIII) cuando matemáticos como Clairaut, Euler y Lagrange iniciaron el estudio de la Geometría Analítica del espacio.
- 13. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Por su extraordinario nivel como geómetra, puede considerarse al matemático francés Monge (1746-1818), como el verdadero padre de la Geometría Analítica del espacio. 6. Sistema de Referencia en el espacio. Vamos a construir, a partir de los vectores, un sistema de referencia que nos va a permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras espaciales. Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores (que forman una base) y un punto (origen común de los vectores). Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen. A los vectores de la base: kjiB ,, (en adelante, supondremos que la base utilizada es siempre ortonormal). kjiOR ,,, A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo P OP que tiene unas coordenadas, cba ,, , en la base kjiB ,, del sistema de referencia dado. Se dice que cba ,, son las coordenadas del punto P en la referencia R . Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto. Ejemplo.- Representa los siguientes puntos del espacio ordinario: 3,2,5P 5,2,3 Q 0,4,1R 4,0,0S 3,6,0T
- 14. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Sol.- Ejemplo.- Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P proyectalo , P, sobre el plano XY .Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas del punto P . Sol.-seleccionamos un punto P cualquiera del espacio ordinario, así: Para este punto P seleccionado, las 2,5,3Pcoordenadas son: 7. Aplicación de vectores a problemas geométricos.- Coordenadas de un vector que une dos puntos Observa la siguiente igualdad vectorial: OPOQPQOQPQOP Por tanto si las coordenadas de los puntos son cbaP ,, y cbaQ ,, Las coordenadas de PQson: ccbbaaPQ ,,
- 15. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Comprobación de que tres puntos están alineados. Los puntos de coordenadas: cbaP ,, , cbaQ ,, , cbaR ,, están alineados siempre que tengan la misma dirección: ccbbaaPQ ,, y ccbbaaQR ,, Es decir, si se cumple: cc cc bb bb aa aa Ejemplo.- Calcula los valores de “m” y “n” para que los puntos: mP ,1,7 , 3,6,8Q , 9,,10 nR estén alineados. Sol.- Sabemos que están alineados si se cumple: cc cc bb bb aa aa 6 3 6 7 2 1 39 3 6 16 810 78 m n m n despejando de las dos igualdades 0626)20146) mmBnnA Punto medio de un segmento Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: cbaP ,, cbaQ ,, Fíjate en la igualdad vectorial: PQOPOM 2 1 Las coordenadas del punto medio M se obtienen operando en la fórmula anterior y obtenemos: ccbbaacbaOM ,, 2 1 ,, 2 , 2 , 2 ccbbaa M Simétrico de un punto respecto a otro El simétrico del punto cbaP ,, , (le llamamos P) , respecto a otro cbaQ ,, se caracteriza como: aquel para el que Q es el punto medio del segmento que une P y P .
- 16. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que: 2 , 2 , 2 cba Q Es decir que tenemos: 2 , 2 , 2 ,, cba cba Despejando en esta última igualdad los valores de ,, tenemos que: ccbbaa 2,2,2,, 8. Ecuaciones recta. Posiciones relativas dos rectas.- Una recta ( r ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo: Un punto cbaP ,, por el que pasa dicha recta r Un vector 321 ,, dddd paralelo a r llamado vector director. Observa en el dibujo de la derecha como los vectores )(),.......,2(),1(, dpdpdpp todos tienen un extremo sobre la recta r y origen común en O En general el vector: )( dp tiene su extremo X sobre la recta r . Al variar el valor de el punto X se mueve sobre r . Ecuación Vectorial El punto cbaP ,, es el extremo de un vector con origen en O que llamamos vector posición del punto P . El punto arbitrario X de la recta r determina un vector posición que llamamos x . En estas condiciones tenemos que: Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta r (2ª en coordenadas) Ecuaciones Paramétricas Si operamos en la expresión en coordenadas de la ecuación vectorial: 321 ,,,,,, dddcbazyxodpx
- 17. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 3 2 1 : dcz dby dax r Son las ecuaciones paramétricas de r Para cada valor de obtenemos las coordenadas de un punto de r Ecuación en forma continua Si en cada ecuación paramétrica despejamos el parámetro obtenemos: 321 d cx d bx d ax Esta es la forma continua de la ecuación de una recta en el espacio. A veces se nos presenta una recta en forma continua con algún cero en el denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero se admite simbólicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director) Forma implícita de la ecuación de una recta De la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (más adelante veremos que cada una de ellas es la ecuación de un plano) de forma general: 0 0 : DzCyBxA DCzByAx r Se dice que r se obtiene como intersección de dos planos. Ejemplo.- Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos: 7,3,5P ; 3,3,2 Q
- 18. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo.- Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Dos rectas 321 ,, ,, : dddd cbaP r 321 ,, ,, : dddd cbaP s pueden adoptar en el espacio las siguientes posiciones: A) Coincidentes: Tienen un punto en común y la misma dirección. B) Paralelas: Ningúnpunto en común y la misma dirección. C) Secantes: Un punto en común y distinta dirección. D) Se cruzan: Ningún punto en común y distinta dirección. Consideremos las matrices: 33 22 11 dd dd dd M y ccdd bbdd aadd M 33 22 11 Vamos a analizar ahora en función del rango de las matrices M , M la posición relativa de las rectas 321 ,, ,, : dddd cbaP r y 321 ,, ,, : dddd cbaP s A) Si rango (M)= 1= rango (M’) las rectas son coincidentes. B) Si rango (M)= 1 y rango (M’)= 2 las rectas son paralelas. C) Si rango (M)= 2= rango (M’) las rectas son secantes. D) Si rango (M)= 2 y rango (M’)= 3 las rectas se cruzan.
- 19. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo. Estudia la posición relativa de las rectas: 5 32 51 : z y x r y z y x s 1 1 : El rango (M) = 2 (menor señalado) rango (M’) = 3 (determinante no nulo) Las rectas sr, se cruzan. 9. Ecuaciones plano. Posiciones relativas planos/rectas.- Un plano ( ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo: Un punto cbaP ,, perteneciente a dicho plano Dos vectores 321 ,, uuuu y 321 ,, vvvv linealmente independientes y paralelos a llamados vectores directores. Fíjate en el gráfico de más arriba y observa como el vector de posición p nos lleva hasta el punto P del plano . A continuación la combinación lineal: vu nos permite acceder desde P a cualquier punto X del plano . Ecuación vectorial del plano Según acabamos de describir para el plano tenemos su ecuación vectorial 321321 ,,,,,,,, vvvuuucbazyxovupx Los parámetros y pueden tomar cualquier valor. Al hacerlo el punto X recorre el plano . Ecuaciones paramétricas del plano Si operamos la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas
- 20. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 33 22 11 : vucz vuby vuax Ecuación implícita del plano Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos los parámetros y obtenemos una única ecuación llamada ecuación implícita del plano realesnúmerossonDCBADCzByAx ,,,0 Para eliminar los parámetros se procede del siguiente modo: czvu byvu axvu 33 22 11 Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ( y ) que tiene solución (los infinitos puntos del plano ). Por tanto el determinante de la matriz ampliada ha de ser cero (según el teorema de Rouché). Por tanto: 0 33 22 11 czvu byvu axvu y desarrollando obtenemos: 0 DCzByAx Ecuación normal del plano Si conocemos un punto cbaP ,, del plano y una dirección perpendicular CBAn ,, (llamado vector normal) a dicho plano, cualquier punto X del plano determina, (con P ), un vector PX que es perpendicular a n y por tanto podemos establecer la siguiente ecuación vectorial: 00. czCbyBaxAoPXn Esta es la llamada ecuación normal del plano Recíprocamente si conocemos la ecuación implícita del plano 0: DCzByAx sabemos que el vector de coordenadas CBA ,, es un vector perpendicular al plano . Observación. El producto vectorial de los vectores directores 321 ,, uuuu y 321 ,, vvvv del plano , determinan un vector perpendicular n a dicho plano: nvxu Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio
- 21. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL *) Dos planos: y pueden situarse en el espacio de tres modos: Si las ecuaciones implícitas: 0:0: DzCyBxADCzByAx Consideremos las matrices: CBA CBA M y DCBA DCBA M A) Si rango (M) = 1 =rango (M’) los planos son coincidentes. B) Si rango (M) =1 y rango (M’) =2 los planos son paralelos. C) Si rango (M) =2 =rango (M’) los planos son secantes. Observa en el caso C) que la intersección de los dos planos secantes es la recta que tiene por ecuación implícita las de ambos planos. **) Plano y recta: Una recta 321 ,, ,, : dddd cbaP r y un plano 0: DCzByAx pueden adoptar las siguientes posiciones relativas en el espacio: A) Si P dn 0. recta r contenida en el plano B) Si P dn 0. recta r paralela al plano C) Si 0.dn recta r secante con el plano Lenguaje de las ecuaciones: variables, parámetros… A) Ecuaciones implícitas En el espacio (tres dimensiones) una ecuación significa una superficie. Así por ejemplo: 0)22)222) zcyxbzyxa Son ecuaciones de planos. 25222 zyx Es la ecuación de una superficie esférica. 2522 yx Es la ecuación de una superficie cilíndrica.
- 22. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Cada ecuación es una restricción entre las variables ( zyx ,, ). La ausencia de una variable en una ecuación significa que esa variable no está sometida a ninguna restricción y, por lo tanto, tiene absoluta libertad de movimiento. Una línea se da como intersección de dos superficies: rectaunaes z zyx 0 222 nciacircunfereunaes z zyx 0 25222 B) Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas dan, explícitamente, el comportamiento de cada variable. Cada parámetro es un grado de libertad. Una ecuación con un parámetro describe una línea. Una ecuación con dos parámetros describe una superficie. Si solamente aparece un parámetro en una de las variables, esa variable se mueve libremente sin tener en cuenta las demás. Así por ejemplo: En el plano XY la ecuación 2: yxr representa una recta r . En el espacio XYZesa misma ecuación 2: yx representa un plano pues la variable z, al no intervenir en la ecuación, no está sometida a ninguna restricción y se mueve libremente. Por eso el plano está formado por rectas paralelas al eje Z. Resumiendo: Ecuación implícita: 0 2 :2: z yx rrectayxplano Ecuaciones paramétricas: 0 2:2: z y x rrecta z y x plano En paramétricas la z del plano necesita un parámetro para ella sola, para moverse libremente y describir ese plano paralelo al eje Z. Por el contrario la z en la recta r siempre es cero. Problemas métricos en el espacio.- 10. Procedimientos métricos para determinar rectas y planos. 11. Medida de ángulos entre rectas y planos. 12. Distancia entre puntos rectas y planos. 13. Medida de áreas y volúmenes. 14. Lugares geométricos en el espacio. Objetivos Mínimos - Conocer y aplicar las propiedades del producto escalar y vectorial para determinar direcciones perpendiculares a rectas y planos. - Saber calcular el ángulo entre rectas,entre planos y recta y plano a través de los vectores que caracterizan su dirección, que en el caso de una recta es su vector director y en el del plano es su vector normal.
- 23. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL - Conocer y aplicar las distintas fórmulas que permiten determinar la distancia entre los elementos del espacio (puntos, rectas planos...) Deducir la distancia entre puntos, rectas y planos mediante razonamientos constructivos (alternativa al aprendizaje de las fórmulas anteriores). - Deducir las fórmulas que permiten calcular el área de un triángulo y el volúmen de un tetraedro de vértices conocidos. - Saber calcular distintos lugares geométricos del espacio (plano mediador, plano bisector, esfera...) Introducción.- En la unidad anterior trabajamos problemas de intersección, incidencia o paralelismo, que son propiedades afines del espacio. En esta unidad pretendemos resolver problemas que tienen que ver con un proceso de medida (ángulos, distancias, áreas,...) que son las propiedades métricas del espacio ordinario. Además de las aportaciones a la Geometría métrica de Monge y sus discípulos cabe señalar, como logros importantes, la fórmula del cálculo de la distancia de un punto a un plano (Lagrange) o la del volumen de un paralelepípedo (Cauchy). También es importante en este campo, desde un punto de vista didáctico, las aportaciones del matemático español Pedro Puig Adam (1900-1960). 10. Procedimientos métricos para determinar rectas/planos.- Los problemas afines tratan de incidencias (una figura incide en otra cuando está contenida en ella, y una figura coincide con otra cuando cada una de ellas incide en la otra), paralelismos e intersecciones. La perpendicularidad es un problema métrico, pues nos servimos del producto escalar y el producto vectorial para determinar vectores perpendiculares a otros. En este apartado usaremos este procedimiento métrico para determinar las ecuaciones de una recta o de un plano. Plano paralelo a dos rectas Si el plano es paralelo a las rectas syr con vectores directores dyd respectivamente, entonces un vector normal al plano es dxdn En este caso, si conocemos un punto cbaP ,, del plano y si la dirección perpendicular tiene de coordenadas CBAdxdn ,, , podemos determinar la ecuación normal de dicho plano, (que según sabemos es): 00. czCbyBaxAoPXn Recta definida por dos planos Cuando una recta se da de forma implícita (intersección de dos planos) )',','( ),,( 0 0 : CBAn CBAn DzCyBxA DCzByAx r Un vector director para la recta r se obtiene: nxnd
- 24. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Un punto P para esa recta lo obtenemos al resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de los planos cuya intersección es r Así pues ya tenemos una determinación vectorial para la recta r que es: nxnPdPr ,,: A partir de aquí ya podemos escribir cualquier ecuación de r . 11. Medida de ángulos entre rectas y planos.- Para determinar el ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta es obvio que su vector director la caracteriza, mientras que en el plano ese papel lo desempeña su vector normal (para un plano cualquiera solo hay una dirección perpendicular a ese plano). Para medir el ángulo que forman dos vectores cbavcbau ,,,, usaremos la fórmula del producto escalar de ambos: 222222 . ,cos cbacba ccbbaa vu vu vu Al tomar valor absoluto en el numerador, esta fórmula nos da el menor de los ángulos que forman ambos vectores. Según vemos en el dibujo del lado derecho el menor de los dos ángulos ( y su suplementario) es: vu, Ángulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas, ryr con direcciones dyd respectivamente vendrá dado por: dd dd dd . ,cos Evidentemente basta con tomar como vectores dvydu Ejemplo. Calcula el ángulo que forman las rectas: 052 04532 : 13 1 5 3 : yx zyx s zyx r Sol Como 1,3,5 d 7,5,100,2,15,3,2 xdy "35'59º417432,0 6090 58 . ,cos)cos( dd dd dd
- 25. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ángulo entre dos planos El ángulo entre dos planos y es el mismo que el que forman sus respectivos vectores normales: nyn Por tanto: nn nn. cos Ángulo entre recta y plano El ángulo entre una recta r y un plano es el que forma la recta r con su proyección sobre el plano . Para determinarlo basta darse cuenta que este ángulo es complementario del ángulo que forman el vector director d de la recta r y el vector normal n del plano . Por tanto: dn dn r . º90cos;, Ejemplo. Calcula el ángulo que forman el plano 011752: zyx y la recta: 1 1 5 1 2 3 : zyx r .Sol. 7,5,21,5,2 nyd Aplicando la fórmula anterior: º35º55º905788,0 7830 28 . º90cos;, dn dn r Ejemplo. Calcula el ángulo entre: 042: zyx y 032: yx Sol 0,1,24,2,1 nyn son los vectores normales respectivos: "23'1º6739036,0 105 4 . cos nn nn 12. Distancia entre puntos, rectas y planos.- Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos
- 26. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL cbaP ,, y cbaQ ,, es el módulo del vector ccbbaaPQ ,, O sea: 222 ''', ccbbaaPQQPd Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto cbaP ,, a una recta dRr ,: es igual a la longitud del segmento perpendicular que une P con la recta r . Coincide con la distancia entre los puntos P y 'P , siendo 'P la proyección de P sobre r . Es decir: rsobrePdeproyecciónPPPdrPd '',, Para calcular el valor de esa distancia hay varios métodos: A) método del producto vectorial (cálculo directo) El área del paralelogramo de la figura izquierda es: dxRP . Si esta área la dividimos por la longitud de la base del paralelogramo: d obtenemos la altura h del paralelogramo, que coincide con la distancia buscada. d dxRP rPd , Ejemplo.- Calcula la distancia de 6,1,5 P a la recta 1 5 12 1 : zyx r . Sol 5,0,1R 1,1,2 d 6 d 726,6,0 dxRP u d dxRP rPd 12 6 72 , B) método constructivo Determinamos el plano perpendicular a la recta dRr ,: que pasa por el punto cbaP ,, . La intersección de este plano con la recta r nos da el punto 'P (proyección de P sobre r ). La distancia del punto P a la recta r se calcula como la distancia entre los puntos 'PyP rsobrePdeproyecciónPPPdrPd '',,
- 27. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo.- Calcula la distancia de 6,1,5 P a la recta 1 5 12 1 : zyx r . Sol El plano , perpendicular a la recta r , tiene por vector normal el vector director de la recta r , es decir, 1,1,2 dn Ecuación normal de 0320161125 zyxzyx 5 0 21 : 1 5 12 1 : z y x r zyx r Sustituyendo en la ecuación del plano las coordenadas de r obtenemos 'P 4,1,3'1035212 P uPPdrPd 12461135',, 222 C) método del punto genérico El punto genérico Q de la recta r tiene sus coordenadas dependientes del parámetro Si obligamos a que el vector PQ sea perpendicular a r (producto escalar por d sea cero) obtenemos para determinar 'P Ejemplo.- Calcula la distancia de 6,1,5 P a la recta 1 5 12 1 : zyx r . Sol 5,,21Q 1,1,24PQ 1,1,2 d 1011112420. PQd 4,1,3' 1 PQ ; uPPdQPdrPd 12461135',,, 222 Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto cbaP ,, a un plano es igual a la distancia entre el punto P y la proyección 'P de ese punto sobre el plano: sobrePdeproyecciónPPPdPd '',, A) método directo Sea 0: DCzByAx y el punto cbaP ,, . Sea 'P proyección de P sobre Tomemos un punto ,,Q del plano Sabemos que CBAn ,, La distancia del punto cbaP ,, al plano es igual al módulo del vector: PPdPP ,''
- 28. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 222 ' 222 222 . ',', CBA DCcBbAa CBA CBACcBbAa CBA CcBbAa n nQP QRPPPPdPd P nsobreQP proyección 222 , CBA DCcBbAa Pd B) método constructivo Determinamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a La intersección de r y es el punto 'P La distancia de P a coincide con la distancia entre los puntos P y 'P sobrePdeproyecciónPPPdPd '',, Ejemplo. Calcula la distancia de 7,1,3P a 0153: zyx B) determinamos 5,3,1,,: ndrdPr 57 31 3 : z y x r 35 415 , 35 67 , 35 71 ' 35 34 015753133 P uPPdPd 74,533 1225 40460 ',, Comprueba que por el método A) obtienes el mismo resultado. Distancia de una recta a un plano Si la recta r y el plano son secantes la distancia: 0, rd Si no son secantes puede ocurrir que: r esté contenida en , por tanto: 0, rd r sea paralela a , en ese caso si rP : ,, Pdrd Distancia entre dos planos Si los planos ' y son secantes la distancia: 0', d Si los planos no son secantes puede ocurrir: coincide con ' , por tanto: 0', d es paralelo a ' , en ese caso si P : ',', Pdd Ejemplo Calcula la distancia de 1 2 2 1 5 3 : zyx r a 063: zyx Sol
- 29. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL El vector director de r : 1,2,5 d y el vector normal de 1,3,1 n : 0165)1).(1()3.(21.5. nd En consecuencia la recta y el plano son paralelos. Tomamos un punto P cualquiera de la recta r , por ejemplo: 2,1,3 P uPdrd 41,2 11 8 191 6).2(1.33 ,, Ejemplo Calcula la distancia del plano 01925: zyx al 04102:' zyx Sol El vector normal del plano 2,5,1 n y el de ' 4,10,2' n 2 4 5 10 1 2 Los planos son pues paralelos. Si tomamos un punto P cualquiera de , por ejemplo: 9,0,1P uPdd 47,3 120 38 161004 9.40.101.2 ',', Distancia entre dos rectas Si las rectas syr son secantes la distancia 0, srd Si las rectas syr son paralelas, tomamos un punto P cualquiera de r y calculamos a continuación la distancia de P a s ; sPdsrd ,, Si las rectas syr se cruzan, hay varios métodos para calcular la distancia: A) método del producto mixto (cálculo directo) El volumen del paralelepípedo es: PQvuV ,, El área de la base es: vxuA La altura h es la ,Qd que coincide con la distancia entre ambas rectas: srd , Por tanto tendremos la fórmula: vxu PQvu A V hQdsrd ,, ,,
- 30. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: 45 3 34 : 28 1 5 : z y x s z y x r Sol. 3,4,1;5,3,4,8,1,5;4,1,3;2,0,1 PQQPvu Las rectas se cruzan pues: 42 10 31 M y 342 410 131 M 3)'(2)( MrangoMrango Compruébalo tú, por tanto: u vxu PQvu A V hQdsrd 3 3 9 1,2,2 342 410 131 ,, ,, B) método constructivo Determinamos el plano paralelo a la recta s y que contiene a la recta r ,, sdsrd Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: 45 3 34 : 28 1 5 : z y x s z y x r Sol Vamos a determinar el plano calculando un vector normal a dicho plano: 1,2,2122 413 201 kji kji vxun El punto rP 8,1,5 Por tanto la ecuación del plano es: 022:0811252: zyxzyx Para calcular la distancia entre las rectas r y s (se cruzan) aplicamos: udQdsdsrd 3 3 9 144 53.24.2 ,5,3,4,,,
- 31. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: C) método del vector variable Llamamos R a un punto genérico de la recta r Las coordenadas de R dependen del parámetro Llamamos S a un punto genérico de la recta s Las coordenadas de S dependen del parámetro RS es un vector con origen en r y extremo en s Las coordenadas del vector RS dependen de los parámetros: y Obligamos al vector RS a que sea perpendicular a las rectas r ys . Para ello Da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( y ). Al resolverlo, obtenemos dos valores para y y dos puntos 00 SyR un vector: 00 SR perpendicular a r ys . Ahora para calcular la distancia entre las rectas r ys tenemos que: 00 ,, SRdsrd
- 32. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: 13. Medida de áreas y volúmenes.- Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el área del paralelogramo determinado por ellos. Recordemos también, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que: Área de un triángulo del que se conocen los tres vértices. El área del triángulo de vértices A, B, C se obtiene como la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores: ACu y ABv . Es decir:
- 33. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Volumen de un tetraedro de vértices conocidos. El volumen del tetraedro de vértices: A, B, C, D (sombreado en verde) es una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ADACAB ,, Efectivamente, ese paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales. Fíjate en la figura de al lado: El plano BCFE lo divide en dos prismas triangulares iguales. Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ABCDEF se descompone en tres tetraedros que son: 1) ABCD; 2) BCDE; 3) DFEC. Por tanto tenemos: ADACABtetraedroVolúmen ,, 6 1 Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices: 4,0,1;5,7,1;1,2,5 CBA Sol. 32,2,233,2,44,5,6 ACxABACAB 2 73,191557 2 1 32,2,23 2 1 2 1 uACxABÁrea Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices: 6,4,11;4,1,7;1,0,1;7,5,3 DCBA Sol. 13,1,8,3,6,4,8,5,2 ADACAB 3 107 6 642 642 6 1 1318 364 852 6 1 ,, 6 1 uADACABtetraedroVolúmen Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices: 11,1,5;8,5,2;5,3,1 CBA Sol
- 34. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices: 6,5,1;2,3,4;2,0,1;4,1,2 DCBA Sol 14. Lugares geométricos en el espacio.- Un lugar geométrico se define como el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad. Plano mediador. Llamamos plano mediador de un segmento, al plano perpendicular a dicho segmento en su punto medio. Es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento. Si X es un punto arbitrario del plano mediador y ByA son los extremos del segmento dado, la ecuación de ese plano se obtiene de la igualdad: BXdAXd ,, Ejemplo.
- 35. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL Determina el L.G. de los puntos que equidistan de 1,5,2;7,1,4 BA Sol Plano Bisector. Se define el semiplano bisector como aquel semiplano que divide a un ángulo diedro en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los semiplanos que forman el ángulo diedro. Si X es un punto arbitrario del semiplano bisector y ' y son los semiplanos que forman el ángulo diedro, la ecuación de ese plano bisector se obtiene de la igualdad: ',, XdXd Ejemplo. Determina el L.G. de los puntos que equidistan de los planos: 023:'0823:) 02:'02:) zyxyzyxB zyxyzyxA Sol. A) 3 2 3 2 ',, zyxzyx XdXd Dos posibilidades: 00222 yyzyxzyx 02042222 zxzxzyxzyx Son los plano bisectores de los ángulos diedros formados por los planos y . Los dos planos obtenidos se cortan en la recta r determinada por los puntos 2,0,01,0,1 y al igual que y . Además, son perpendiculares, pues el producto escalar: 01,0,1.0,1,0
- 36. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL B) 14 23 14 823 ',, zyxzyx XdXd Dos posibilidades: imposiblezyxzyx 0823823 04230846223823 zyxzyxzyxzyx Los planos y son paralelos. El plano obtenido es también paralelo a ellos. Esfera.- La superficie esférica es el lugar gométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro cbaP ,, es constante: r Si zyxX ,, es un punto genérico de la esfera de centro cbaP ,, y radio r entonces cumplen la siguiente condición: 2222 , rczbyaxrPXd Desarrollando la expresión anterior llegamos a una expresión del tipo: 0222 DCzByAxzyx Recíprocamente, una ecuación como la anterior corresponde a una esfera de centro 2 , 2 , 2 CBA P y radio D CBA r 222 222 siempre que el radicando sea positivo. Ejemplo. La esfera: 2513 222 zbyx y el plano: 0222 zyx se cortan en una circunferencia. Determina su radio. Sol La esfera tiene el centro: 1,2,3 P y radio 5r La distancia d del centro de la esfera 1,2,3 P al plano 0222 zyx se obtiene: 3 9 9 122 21)2.(23.2 222 d El radio s de la circunferncia se obtiene (observa el gráfico adjunto) aplicando Pitágoras: 435 22222 srds Ejemplo Determina si la ecuación: 01264222 zxzyx corresponde a una esfera, y en caso afirmativo, obtén el radio y el centro. Sol
- 37. CALCULO VECTORIAL - ING CIVIL 525 222 222 D CBA r y 3,0,2 2 , 2 , 2 CBA P La ecuación corresponde a una esfera de centro 3,0,2 P y radio 5r