ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԱՍԻՆ. ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ, ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ http://matematika.advandcash.biz/parzaguyn-havasarumner/

1. Օգաայաա ոաոատ
ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ
ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԱՍԻՆ
Օլյա Սահակյան
Հայկական պետական մանկավարժական
համալսարանի դասախոս
Հ ա ն ր ա կ ր թ ա կ ա ն դպ րոցում գ ո ր ծ ո ղ հ ա ն ր ա հ ա շվ ի դ ա ս ընթ ա ցում տ ա րբեր տ իպ ի
հ ա վ ա ս ա ր ո ւմ ն ե ր ի ո ւս ո ւմ ն ա ս ի ր մ ա ն գ ո ր ծ ը ն թ ա ց ո ւմ յո ւր ա հ ա տ ո ւկ տ ե ղ է գ ր ա վ ո ւմ
«Բա ցա րձա կ ա րժեք պ ա րունա կող հա վա սա րումներ» թեմա ն 7-րդ դա սա րա նում: Փ որձենք
քննա րկել այն թեմա ն ի նկա տ ի ունենա լով այն հ ա նգա մա նքը, որ դրա ճիշտ մա տ ուցումը
ուսուցչի կողմից և ա շա կերտ ների գի տ ա կ ց վ ա ծ յուրա ցումը կնպ ա ստ ի հետ ա գա յում մոդուլ
պ ա ր ո ւն ա կ ո ղ ա ռա վել բա ր դ հա վա սա րումների լուծմանը: Մեր կ ա ր ծ ի քո վ ա յդ դա սին
ն ա խ ա պ ա տ ր ա ս տ վ ե լի ս սկսնա կ ուսուցիչը ն ա խ պ ե տ ք է իմա նա , որ 5-րդ դա սա րա նի
մա թեմա տ իկա յի դա սընթա ցում ա շա կերտ ները սովորում են ամբողջ թվի բա ցա րձա կ ա րժեքի
սա հմա նումը (տես [3]):
Իսկ 10-րդ դա սա րա նում' «Մոդուլ պ ա րունա կող հա վա սա րումներ և անհավասարումներ»
պ ա ր ա գ ր ա ֆ ո ւմ (տ ես [4] էջ 106) հ ա ն գ ա մ ա ն ո ր ե ն ո ւս ո ւմ ն ա ս ի ր վ ո ւմ են մոդուլի
հ ա տ կ ո ւթ յո ւն ն ե ր ը և դ ր ա ն ք կ ի ր ա ռ վ ո ւմ = |ir(-*)| ու f{x = §{x ) տ ե ս ք ի
հա վա սա րումների մա սնա վոր օրինա կների լուծման ժա մա նա կ:
Ո ւստ ի 7-րդ դ ա ս ա ր ա ն ի հ ա ն ր ա հ ա շվ ի դ ա ս ը ն թ ա ց ո ւմ ա ռ ա վ ե լ ևս կա րև որվում է
« Բ ա ցա րձա կ ա ր ժ ե ք պ ա ր ո ւն ա կ ո ղ հա վա սա րումներ» թեմւսյի խ ո ր ը և գ ի տ ա կ ց վ ա ծ
յուրացումը ա շա կերտ ների կողմից (տես [2] էջ. 161): Լինելով միջանկյալ օղա կ' այն ուսուցչից
պ ա հա նջում է ա ռա վել ճկունություն և կարևորը' ա շա կերտ ներին հասցնելու ու ա մրա պ նդելու
կարողություն:
Դ ա սը սկսվում է մոդուլով կա մ բ ա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք պ ա ր ո ւն ա կ ո ղ հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն
սա հմա նումով: Այնուհետև ա ռա ջա րկվում է լուծել խ| = a պ ա րզա գույն հա վա սա րումը: Ինչ
խոսք, ա շա կերտ ներին միա նգա մից այս հա վա սա րմա ն լուծումը բա ցա տ րել ա յնքա ն էլճիշտ
չի լինի: Ա նհրաժեշտ էնոր նյութի ուսուցումից ա ռա ջ կա տ ա րել որոշ ն ա խ ա պ ա տ ր ա ս տ ա կ ա ն
ա շխ ա տ ա ն ք: Ն ա խ պ ե տ ք է վերհիշել թվի բա ցա րձա կ ա ր ժ ե քի սա հմա նումը: Բայց նկա տ ի
ունենա լով, որ 6-րդ դա ս ա ր ա ն ի երկրւսչա վտ ւթյա ն դա սընթ ա ցի հենց ա ռա ջին կետ ում
(«Կետեր, ուղիղներ, հա տ վա ծներ» ) խ ոսվում է կետ երի և ուղղի տ ա րբեր հ նա րա վոր
18

2. Օգաո տ»յոIն ոiume>OM.
դասավորությունների մասին [տես՜ [5], էջ 6], 7-րդ դա սա րա նում կարելի էմոդուլի սա հմա նմա ն
մեջ կա տ ա րել ա ռա վել ճշգրիտ ձևա կերպ ում, այն է. թվի բա ցա րձա կ ա ր ժ ե ք կա մ մոդուլ
կոչվում է ա յդ թվին հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ղ կետ ի հեռա վորությունը 0 սկզբնա կետ ից:
Ս ա հ մ ա ն մ ա ն մեջ մենք օ գ տ ա գ ո ր ծ ե ց ի ն ք հեռա վորություն բա ռը: Ո ւսուցիչը պ ե տ ք է
ա շա կերտ ներին հարցնի' հնա րա վո՞ր էա րդյոք, որ հեռավորությունը լինի բա ցա սա կա ն թի՛վ,
ա սենք. «Արամը ա ն ց ա վ -5 կմ ճա նա պ ա րհ» : Ոչ: Հետ և ա բա ր թվի բ ա ցա րձա կ ա րժեքը
բա ցա սա կա ն լինել չի կարող: Այնուհետև կարելի էդիտ ա րկել տ ա րա բնույթ և տ ա րա տ եսա կ
օրին ա կնե ր ու խ նդիրներ ա ռ օր յա կյա նքում, կենցա ղում, ա րտ ա դրութ յա ն մեջ մոդուլի
կիրա ռությունների վերա բերյա լ: Փ որձենք լուծել |л:| = 5 հա վա սա րումը: Հա րց - Ո՞ր թվերն .
А В
֊5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
են, որոնց հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ղ կետ երի հեռա վորությունը սկզբնա կետ երից հա վա սա ր է5
միա վորի: Գ ծենք կոորդինա տ ա յին ուղիղը և նշեք ա յդ կետերը:
եկ. 1-ից երևում է, որ գոյություն ունի 2 թիվ, որոնց հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն կետ երի
հեռա վորությունը 0 սկզբնա կետ ից հ ա վա սա ր է 5-ի' * = 5 և д- = -5 : Հենց դ ր ա ն ք էլ (1)
հա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումներն են, ուրեմն |-5| = 5 և |5| = 5:
Վերևում ձև ա կերպ վա ծ սա հմա նումը փ ա ստ որ են երկրա չա փ որեն է և լինելով ա ռա վել
դիտ ողա կա ն, օգնում էհա ջորդ կետ ում հեշտությամբ լուծելու ]л| > а , |*| < а , |лг| > а , |*| < а
տ եսքի անհա վա սարումները: Բայց ա յնուա մենա յնիվ պ ետ ք էտ ա լ մոդուլի հա նրա հա շվա կա ն
սա հմա նումը: Ոուս հա յտ նի մեթոդիստ Կ ոնստ ա նտ ին Սերգեևիչ Բ ա րիբինը (տե ս [6] էջ 90-
92) ա յդ գ ա ղ ա փ ա ր ի ելա կետ հա մա րում է խ նդիրը: Մեր կ ա ր ծ ի քո վ ուսուցիչը ց ա ն կ ւ ս ց ս ^
թվի հա մա ր մոդուլի գ ա ղ ա փ ա ր ը պ ե տ ք է բա ցա տ ր ի օգտ վ ե լո վ հա նգունությունից. ինչպես
կոնկրետ թվի հա մա ր, ա յնպ ես էլ ց ա ն կ ա ց ա ծ х թվի հա մա ր սա հմա նումը գրվում է
Այժմ կարելի էանցնել pj = а հա վա սա րմա ն ուսումնասիրմանը: Քանի որ թվի բա ցա րձա կ
ա ր ժ ե քը չի կա րող բ ա ց ա ս ա կ ա ն լինել, ուստ ի երբ а < 0, հա վա սա րումը լուծում չունի:
Օ րինա կ |*| = -10 հա վա սա րումը լուծում չունի: Իսկ երբ а > 0, պ ե տ ք է քն ն ա ր կ ե լ х թվի
հնա րա վոր ա րժեքները.
ա) х<0 : Վերհիշելով մոդուլի սա հմա նումը կա րող ենք գրել |л] = - х , կստ ա ցվի
►
յ;ե թ ե лг> 0
х,ЬрЬх < 0
X <0 л-сО
<=> <=>х - - а
лг = —х = а х = - а
19

3. /
Օգ оոI ra-յnни ուսաՑՕԻն
x > О
բ) * > 0 . ըստ սա հմա նմա ն |л| = л-: Հետ և ա բա ր կստ ւսցվի х - а <=> х ~ а '■Ուրեմն
х= а հա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումները կլինեն а < 0 դեպ քում լուծում չունի,
а > 0 դեպ քում х = ± а :
Այս հա վա սա րմա ն լուծումն ա մրա պ նդելու ն պ ա տ ա կ ո վ պ ե տ ք է կա տ ա րել ինչպես թիվ 7
վա րժությունը, ա յնպ ես էլ ա ռա ջա րկել ա շա կերտ ներին ինքնուրույն կա զմել նույնա տ իպ
հա վա սա րումներ և լուծել դրա նք տեղում: Ա նհրա ժեշտ է, որ այս ա շխ ա տ ա ն ք ը կա տ ա րելիս
ուսուցիչը ո ր քա ն հնա րա վոր է հ ա ճ ա խ կրկնել տ ա մոդուլի սա հմա նումը:
Այնուհետև դա ս ա գ ր քո ւմ քննա րկվո ւմ է x- lj + 2x - 4 = 2 հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումը:
Բ ա ցա ր ձա կ ա րժեքի նշա նից ա զա տ վելու հա մա ր դիտ ա րկվում է երկու դեպ ք, ելնելով
սա հմա նումից
ա) л-֊1>0,
Բ) лт-1< 0:
ա) դ ե պ քը ա շա կերտ ները հեշտ ությա մբ են հա սկա նում և կողմնորոշվում լուծման մեջ:
Ս ա կա յն բ) դեպ քում, եթե x - l < 0 , հա մ ա կ ա ր գ ի հ ա վ ա սա րմա ն ստ ա ցումը ոչ բոլորն են
հա սկա նում (տես [1] էջ. 229): Ա յստեղ նույնպ ես կարևոր է ուսուցչի ճիշտ մոտ եցումը, նրա
բա ցա տ րությունը: Հիշեցնելով մոդուլի սա հմա նումը ա շա կերտ ներին պ ե տ ք է հա նգեցնել
- ( x - l ) + 2 x - 4 = 2 այս հա վա սա րումը ընդգրկող հա մա կա րգին: Ստանալովճ=5, իհարկե,
այն պ ե տ ք է տ եղա գրել ա ն հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն մեջ և հա մոզվելով, որ 5-1<0 ասույթը կեղծ է,
_ 7
հա նգել այն եզրա կա ցությա ն, որ հա վա սա րումը ունի միա կ լուծում x - —:
Ք ննա րկվում է նաև Ьг-1| + |2лг-4| = 2 բա րդ հա վա սա րումը, որտ եղ մոդուլի նշա նը
մա սնա կցում է երկու ա նգա մ: Ուսուցիչը ա շա կերտ ների հետ պ ե տ ք է պ ա րզի, թե դրա նցից
ա զա տ վե լու հա մա ր քա ն ի դ ե պ ք պ ե տ ք էքննա րկել: Ք ննա րկելով 4 հնա րա վոր դեպ քերը և
լուծելով կ ա զ մ վ ա ծ հա մա կա րգերը ա նհրա ժեշտ է վերջում ի մի բերել պ ա տ ա ս խ ա ն ն ե ր ը .
7
х=1 և X = —; Այնուհետև սովորեցրա ծը ա մրա պ նդելու և տ րա մա բ ա նա կա ն մտ ա ծողությունը
զա րգա ցնելու ն պ ա տ ա կ ո վ սովորողներին կա րելի է տ ա լ հետևյալ հարցերը.
1. x֊l + 2 x - 4 - 2 հա վա սա րումը ք ա ն ի լուծում ունի,
2. x—1|+ 12x ~ 4| —2 հա վա սա րումը ք ա ն ի լուծում ունի,
3. Ի՞նչ եք կա րծում' х~ 1|+ |2л--4| = ֊1 հա վա սա րումը քա ն ի ՞ լուծում ունի:
Ո ւս ո ւց ի չը ա յս հ ա ր ց ե ր ի մ ի ջ ո ց ո վ ա շ ա կ ե ր տ ն ե ր ի ն պ ե տ ք է հ ա ն գ ե ց ն ի ա յն
եզրա կա ցությա ն, որ բա ցա րձա կ նշա ն պ ա րունա կող հա վա սա րումները կա րող են ունենալ
մեկից ա վելի լուծումներ կա մ լուծում չունենալ: Թիվ 12 վա րժությունը լուծելիս կ ա ր ի ք չկա
դիտ ա րկել չորս դեպ ք: Քանի որ իրա ր հա վա սա ր են միա յն իրա ր հ ա վա սա ր կա մ իրա ր
20

4. ()ԳէւՈ1Թ.)ՈՏն ՈէԱաՑՕԻն'
հա կա դիր թվերի բ ա ցա րձա կ ա րժեքները, ա յսինքն И Ч -И 0
քննա րկել երկու դ ե պ ք (տես [2], Էջ 161):
Ինչպես ն կ ա տ ե ց ի ն ք այս դա սում ներմուծվա ծ նոր հա սկա ցությունները կա րիք ունեն
մեկնա բա նմա ն (ավելի պ ա րզ, երեխ ա ների կյա նքի փ որձից վերցվա ծ) օրինա կների միջոցով
լրացուցիչ պ ա րզա բ ա նմ ա ն: Գ տնում ենք, որ ն պ ա տ ա կ ա հ ա ր մ ա ր Է ա մբողջ դա ս ա ժ ա մ ը
տ րա մա դրել նոր նյութի հա ղորդմա նը և ա մրա պ նդմա նը:
ՕԳՏԱԳՈՐԾ Վ ԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ
1. Հ. Մ իքա յելյա ն , « Հա նրա հա շիվ 7», հ ա ն ր ա կ ր թ ա կ ա ն դպ րոցի 7-րդ դա ս ա ր ա ն ի
դա սա գիրք, Ե. «Հայ Էդիթ» 1999
2. Հ. Ս. Մ իքա յելյա ն, « Հա նրա հա շվի ուսուցումը 6-8 դա սա րա ններում» , Մ եթոդա կա ն
ձեռնա րկ հա նրա կրթ ա կա ն դպ րոցի ուսուցիչների հա մա ր, Ե. «Հայ էդիթ» 2000
3. Բ. Ն ա հա պ ետ յա ն, Ա. Ա բրահամյան, « Մ ա թեմա տ իկա 5» հա նրա կրթ ա կա ն դպ րոցի 5-
րդ դա սա րա նի դա սա գիրք, Ե. «Մակմիլան-Արմենա» 2000
4. Գ. Գևորգյան, Ա. Աահակյան, « Հա նրա հա շիվ և մա թեմա տ իկա կա ն ա նա լիզի տարրեր»,
հա նրա կրթ ա կա ն դպ րոցի 10-րդ դա սա րա նի դա սա գիրք, Ե. «էդիթՊ րինտ» 2001
5. Լ. Մ. Ա թ ա ն ա ս յա ն , Վ. Ֆ. Բ ո ւտ ո ւզ ո վ և ո ւր ի շն ե ր , « Ե ր կ ր ա չա փ ո ւթ յո ւն 6»,
հա նրա կրթ ա կա ն դպ րոցի 6-րդ դա սա րա նի դա սա գիրք, Ե. «Աստղիկ 59» 2000
6. Барыбин К. С., Методика преподавания алгебры. М., 1965
х = у
х = - у ' ոլստ Ի պ ե տ ք է
21