Apostila a ser utilizada no XII EPrem

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA PONTA DA TECNOLOGIA: GEOGEBRA E WINPLOT COMO RECURSO DE ENSINO APRENDEIZAGEM
Priscla Pigatto Gasparin
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
priscilap@utfpr.edu.br
Franciele Buss Frescki Kestring
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
francieleb@utfpr.edu.br
1 CONHECENDO OS SOFTWARES
1.1 GeoGebra
1.1.1 Histórico
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana
Florida Atlantic University.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objetos: pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente.
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas diretamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos. Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objeto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.

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1.1.2 Download do Programa
http://www.geogebra.org/cms
1.1.3 Interface
O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos: a Zona Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes representaçãoes: graficamente (pontos, gráficos de funções), algebricamente (coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente criados.
Figura 1 Interface GeoGebra
1.1.4 Ferramentas Gerais
Cópia estilo visual: Esta ferramenta permite-lhe copiar propriedades visuais (cor, tamanho, estilo da linha) de um objeto para outros. Para o fazer o primeiro selecionae o
Quer saber um pouco mais sobre a Zona Algébrica, Zona Gráfica e a Folha de Cálculo acesse http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

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objeto cujas propriedades pretende copiar. Depois, clique nos objetos que herdarão essas propriedades.
Apagar: Clique em qualquer objeto que queira apagar. Observação: Pode usar o botão
“Desfazer” se apagar acidentalmente o objeto errado.
Veja mais em: http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf
1.1.5 Funções definidas no GeoGebra

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1.2 Winplot
1.2.1 Histórico
O Winplot é um software matemático de uso livre desenvolvido por Richard Parris, da Philips Exeter Academy, em New Hampshire. É um programa gráfico muito eficiente e versátil na plotagens de gráficos de funções (de uma ou duas variáveis) em duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D), além de fácil utilização ele poder ser rodado em computadores menos modernos.
O Winplot é um software criado para ser rodado em plataforma Windows, mas
pode ser rodado em plataforma Linux com ajuda do wine (emulador para aplicativos Windows no Linux).
1.2.2 Download
http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html
1.2.3 Interface
Essa é a janela inicial do Winplot, e contém apenas duas opções:
2-dim F2 = Abrir uma nova janela para gráficos em 2D
3-dim F3 = Abrir uma nova janela para gráficos em 3D
Adivinhar = Uma espécie de jogo, onde o aluno deve tentar descobrir qual é a função, da qual, o gráfico faz parte.
Mapeador = Basicamente funciona como uma transformação entre dois planos, onde são pedidas as funçõesu(x,u) e v(x,y).
Abrir última = se esta opção estiver marcada, assim que o Winplot for aberto novamente ele automaticamente abrirá o último arquivo utilizado.

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Usar padrão = usar as configurações padronizadas do Winplot.
2 Conceitos de Cálculo Diferencial e Integral I a serem trabalhados com os
softwares
 Função
O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula
matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e
y=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que
depende de x é chamado imagem de xpela f. Intuitivamente, uma função é uma maneira
de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser
feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas
representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de
correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum
representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela
função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem
implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.
Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada
entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica).
Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte
entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as
funções de relações unívocas. O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento
e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por
uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos.
Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições sobre
função.
 Limite
O conceito de limite é apresentado por Guidorizzi (2001, p.72), o qual define limite
como:
“Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos
intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L , em p , se para
todo   0 dado, existir um   0 tal que, para todo f xD .

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0  x  p   f (x)  L 
Tal número L , que quando existe é único, será indicado por lim f (x)
xp
Assim,   f
x p
f x  L   o   xD

lim ( )   0 tal que, para todo
0  x  p   f (x)  L 
Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias notações para se
calcular o limite de uma função
 Derivada de uma função
O conceito de derivada é apresentado por Guidorizzi (2001, p. 137), que define derivada
como: “Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite
x p
f x f p
x p 


( ) ( )
lim
Quando existe é único e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f '( p)
(leia f linha de p). Assim,
x p
f x f p
f p
x p 



( ) ( )
'( ) lim
Se f admite derivada em p , então dizemos que f é derivável ou diferenciável em p
Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições e
modos de calcular a derivada de uma função.
 Integral de uma função
O conceito de integral é apresentado a seguir e definido como:
“Se f é uma função contínua em [a,b] e tal que f (x)  0 para todo x[a,b] então a
área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico f , para x variando em [a,b] , é
dada por:
 


  
n
i
i i
b
a
n
A f x dx f x x
1
( ) lim ( )
Observação: Os livros de Cálculo Diferencial e Integral trazem várias definições e
modos de calcular a integral de uma função.

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3 ATIVIDADES COM O GEOGEBRA
1) Com o auxílio do software Geogebra encontre a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva
, que determina a taxa de variação instantânea em um ponto fixo:
Procedimento de construção:
(i) No campo de entrada do software digite a equação
e pressione Enter;
(ii) Na barra de ferramentas selecione a opção Novo ponto, deslize sobre a curva até encontrar o ponto (2,4) e marque o ponto, renomeie como M;
(iii) Na barra de ferramentas selecione a opção Tangentes, clique sobre a parábola e em seguida sobre o ponto M e denomine-a por A, obtendo assim a reta tangente a curva passando por M;
(iv) Digite no campo de entrada m = inclinação [a] e pressione Enter, obtendo assim o coeficiente angular da reta tangente:
Lembrando que: Deste modo, perceba que a inclinação da reta tangente ou o valor do coeficiente angular da reta a é 4, neste caso como a taxa de variação instantânea é positiva, y é crescente no ponto x2 a uma taxa de 4 unidades de acréscimo em relação a x.
Assim, podemos dizer que o limite existe e a parábola é diferenciável no ponto M e esse limite é chamado de Derivada, interpretamos a derivada f ' de uma função como o valor M que é dado pela inclinação da reta tangente em relação ao gráfico dado ou a taxa de variação instantânea no ponto M.
Se optarmos por mover o ponto M, recurso encontrado na primeira caixa da barra de ferramentas, percebe-se que ocorrerão mudanças nos objetos dependentes que aparecem na janela de álgebra, ou seja, mudará o ponto, a reta tangente e a inclinação da reta tangente;

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Fonte: Dissertação – Utilização do Software Geogebra no Ensino da Derivada – Lorens
Estevan Buriol Siguenãs
4 ATIVIDADES COM O WINPLOT
1) Seja uma função real dada por Esboce o gráfico da função e
verifique se possui assíntotas horizontais ou verticais.
Lembrando que:
A reta é uma assíntota vertical do gráfico de se ao menos um dos limites a
seguir acontece:
Procedimento de construção:
(i) Selecione a opção 2-Dim, Equação Explícita e digite a função na janela do
inventário;
(ii) Verifique através do gráfico, os limites, e verifique se possui assíntotas;
Solução:
Como ou podemos
concluir que y = 3 é a única assíntota horizontal de f.

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Além disso, verificamos que
ou que
para concluir que a reta vertical x = 1 é assíntota vertical.
Fonte: Assintotas horizontais, verticais e oblíquas – Méricles Thadeu Moretti – MTM PPGECT/UFSC.
2) Utilizando o Winplot encontre a área entre as funções:
e
entre 0 e 1;
Procedimento de construção:
(i) No Winplot faça o gráfico das funções
e
(ii) Clique na opção “Dois” e depois em “Integrações”;
(iii) Abrirá uma janela e devem-se escolher os limites de integração;
(iv) Para isso clique em “Dois” e depois em “Intersecções”, para encontrar os intervalos de integração;
(v) No lim superior coloque 0, no lim inferior coloque 1 e em sub- intervalos coloque 1000;
(vi) Selecione “ponto à esquerda”;
(vii) Selecione “Visualizar”;
Solução:
O valor da integral entre as duas curvas é 0,16667:

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Fonte: Tutorial Winplot – Gregory Baldasso Gianeri. Referências
GIANERI, Gregory, Baldasso. Tutorial Winplot. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/winplot/043808Gregory.pdf>. Acesso em: 05 fev 2014.
MORETTI, Méricles Thadeu. Assintoras Horizontais, Verticais e Obliquas. MTM/PPGECT/UFSC. Disponível em: < http://mtm.ufsc.br/~mericles/arquivos/Assintota.PDF>. Acesso em 10 fev 2014.
SIGUENÃS, Lorens Estevan Buriol. Utilização do Software GeoGebra no Ensino da Derivada. 2009. 35f. Dissertação (Licenciatura em Matemática) – Área de Ciências Tecnológicas, UNIFRA, Centro Universitário Franciscando, Santa Maria, 2009.