l'énergie quantique en focntion du temp .

1. 02/12/2022
E(λ ,λ' ,t)=h(2λ' t+λ t
2
) ?
On a p=
h
λ
→ v=
h
m0 λ
soit
d x(t)
dt
=
h
m0 λ
→ x(t)=∫0
t h
m0 λ
dT =∫0
t h
m0 vT
dT =
h
p
ln(
t
τ)
tau étant un temp caractéristique pour annuler la dimension il s'agirait alors
de la période : x(t)=
h
p
ln(
t
T
) → (1) x(t)=λ ln(
t
T
) .
Vérification de la relation quantique ? :
x(t)=v T ln(
t
T
) → x(t)=x ' (t)T ln(
t
T
)
→
1
T ln(
t
T
)
=
x ' (t)
x(t)
& x ' (t) x(t)=
h
m0
ln(
t
T
) .
x ' (t)=
x(t)
T ln(
t
T
)
→
x(t)
2
T ln(
t
T
)
=
h
m0
ln(
t
T
) →

2. x(t)=
√Th
m0
ln(
t
T
) & x(t)=
h
p
ln(
t
T
)
→
√Th
m0
ln(
t
T
)=
h
p
ln(
t
T
) →
√Th
m0
=
h
p
→
Th
m0
=
h
2
p2
→
T
m0
=
h
p2
→ T =
h
m0 x' (t)2
→ x ' (t)2
=
h
m0 T
→
x ' (t)2
=
h x' (t)
m0 λ
→ x ' (t)=
h
m0 λ
→ λ=
h
m0 x ' (t)
=
h
p
(c'est peut étre une boucle de rien se calcul , faut voir ) .
Dans tout les cas on continue un peut sur le résulat (1)
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Si on reporte cette position sur l'axe de l'oscillateur mécanique libre
x ' '+ω
2
x=0 sa donne :
[λ ln(
t
T
)]' '+ω2
λ ln(
t
T
)=0
→ [λ' ln(
t
T
)+λ
T
t
]'+ω2
λ ln(
t
T
)=0
→ λ' ' ln(
t
T
)+λ'
T
t
+λ '
T
t
+λT −
1
t2
+ω2
λ ln(
t
T
)=0

3. (λ' '+ω
2
λ)(ln(t)−ln(T ))+(
2 λ'
t
+λ)T −
1
t
2
=0
.
On pose l'oscillateur quantique → λ' '+ω2
λ=0 avec
ω=
E
ℏ
sa donne →
1
t
2
−(
2λ '
t
+λ)T =0
→ 2π(2λ ' t+λ t
2
)=ω
→ E(λ ,λ' ,t)=h(2 λ' t+λt2
)
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