Fundamentos e prática da matemática I

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Fundamentos e prática da matemática I

  1. 1. IERG HISTÓRIA DA MATEMÁTICA INTRODUÇÃO Prof. Francisco Ferreira Figueiredo
  2. 2. É possível ao professor deixar claro para o aluno que a Matemática não é uma Ciência morta, mas uma Ciência viva na qual um progresso contínuo é realizado. FLORIAN CAJORI, 1890
  3. 3. 1. AS FONTES DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ANTIGA E MEDIEVAL 2. OS LIVROS DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 3. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA INTERNET 4. O USO DIDÁTICO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
  4. 4. Principal obra de referência: LORIA, Gino. Guida allo Studio della Storia delle Matematiche. 2a ed. Milano: Ulrico Hoepli, 1946. 385 p. Disponível na Biblioteca do Instituto de Matemática e Estatística da USP.
  5. 5. Categorias de fontes da História da Matemática, segundo Gino Loria: I. Relíquias ou restos, que são vestígios do passado sem qualquer propósito de conservar ou transmitir à posteridade a memória do presente, como edifícios, armamentos, brasões, contratos, leis, cartas, festas etc. Sinalização de Estrada Romana indicando distâncias de Rhegium (130 aC), fonte de informações sobre o uso dos numerais romanos.
  6. 6. II. Monumentos erigidos com o propósito de conservar para a posteridade a memória do presente, como por exemplo construções de monumentos, túmulos, inscrições etc. Pirâmides do Egito antigo, fonte de estudos sobre a Matemática da época.
  7. 7. III. Tradição oral e escrita. Página do Diário de Gauss, útil para tentar acompanhar o poder de criação do matemático.
  8. 8. 1. AS FONTES DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ANTIGA E MEDIEVAL Dificuldades especiais para estudar a matemática das civilizações anteriores à grega: As poucas fontes primárias que possuímos estão representadas pelos documentos arqueológicos, as inscrições, os papiros descobertos ao sabor das escavações, em virtude, portanto, de uma seleção arbitrária. MARROU, Henri-Irénée. Sobre o Conhecimento Histórico. Tradução de Roberto Cortes de Lacerda. Rio de Janeiro, Zahar Editores, 1978, 265 p., p. 56
  9. 9. Fontes principais: • inscrições em monumentos; • inscrições em objetos; • papiros. Escrita principal: hieróglifos Período imperial: 2800 - 715 aC Região: litoral mediterrâneo da África Fontes da História da Matemática do Egito Antigo
  10. 10. Numerais egípcios em parede de um templo em Luxor
  11. 11. Numerais hieróglifos egípcios 123.440 cabeças de gado 223.400 mulas 232.413 cabras em inscrição em uma tumba real 243.688 búfalos (?)
  12. 12. Gravura em um cetro real egípcio: 120.000 prisioneiros 1.422.000 cabras capturadas (!)
  13. 13. Trecho do Papiro de Moscou Problema do cálculo do volume de um tronco de pirâmide de base quadrada.
  14. 14. Decifrador dos hieróglifos egípcios: Jean-François Champollion (1790-1832 França) Professor de História Começou a estudar os hieróglifos com 17 anos
  15. 15. Um mesmo texto em três escritas diferentes: hieróglifa em cima, demótica no meio e grega em baixo. Datada de 196 aC Chave para a decifração dos hieróglifos egípcios Pedra de Roseta Encontrada por um soldado de Napoleão em 1799 Entregue pela França ao Museu Britânico em 1801 Champolion a traduziu em 1820, após 12 anos de pesquisa
  16. 16. Fontes principais: tabletas de barro cozido Escrita: cuneiforme Período: 3500 - 561 aC Região: entre os rios Tigres e Eufrates (Oriente Médio) Principal cidade-estado: Babilônia Fontes da História da Matemática dos Povos da Mesopotâmia
  17. 17. Tableta com numerais cuneiformes babilônios de 2800 aC A tradução das tabletas cuneiformes teve início em 1870, quando se descobriu uma inscrição trilingüe nas encostas do monte Behistun, narrando a vitória do rei Dario sobre Cambises.
  18. 18. Somente em 1934 Otto Neugebauer decifrou, interpretou e publicou as tabletas matemáticas babilônias. Essa ausência de ligação linear com a Matemática das civilizações pré- helênicas contribuiu para a criação da idéia de que a Matemática é uma ciência que praticamente nasceu pronta e sistematizada, como aparece nas obras gregas.
  19. 19. Grécia Antiga: berço da Matemática sistematizada Fontes principais: referências históricas em escritos filosóficos ou matemáticos Escrita: grego Período: 750 - 50 aC Região: em torno do mar Egeu
  20. 20. O primeiro dos sábios da Grécia, que buscou o conhecimento no Egito e na Mesopotâmia: Tales de Mileto (624-548 aC) inaugurou o método da prova imaterial (demonstração matemática)
  21. 21. Provável aluno de Tales, criador da palavra matemática: Pitágoras criou uma matemática investigativa e interdisciplinar. Descobriu a teoria matemática das notas musicais Pitágoras de Samos (580-500 aC)
  22. 22. Platão e Aristóteles Os pilares da filosofia ocidental Detalhe da Escola de Atenas de Rafael
  23. 23. Escola de Atenas de Rafael (detalhe) Os socráticos maiores: Platão (427-347 aC) e Aristóteles (384-322 aC)
  24. 24. Platão (427-347 aC) Sócrates foi o precursor do método da busca filosófica, base da concepção científica. Não há escritos de Sócrates: ele aparece como um personagem nos Diálogos de Platão. Os documentos gregos eram mais facilmente destruídos que os papiros egípcios e as tabletas de barro babilônias. Mas os gregos criaram uma tradição oral e escrita que perdurou até hoje.
  25. 25. A Matemática foi organizada com base na Lógica filosófica. A Matemática grega possuía algo antes inédito: a noção de demonstração. Aristóteles escreveu o Organon, ou Instrumento da Ciência, estabelecendo as bases da Lógica. Aristóteles teve importantes alunos. Aristóteles (384-322 aC)
  26. 26. Helenismo: a cultura grega espalhou-se pelo mundo através do império que Alexandre Magno construiu entre 333 e 323 aC, fundando diversos centros cosmopolitas de integração racial e cultural, alguns com o nome de Alexandria. Alexandre foi aluno de Aristóteles.
  27. 27. Após sua morte, o império de Alexandre foi dividido e Alexandria no Egito ficou sob comando do General Ptolomeu, que deu continuidade aos sonhos de Alexandre, fundando ali uma grande Universidade. Euclides foi o chamado para ser o coordenador da parte de Matemática da Biblioteca de Alexandria.
  28. 28. Euclides escreveu em uma única obra toda a Matemática conhecida no ano 300 aC: Os Elementos, em 13 volumes Euclides de Alexandria (325-265 aC) A Biblioteca de Alexandria continha cerca de 750.000 volumes, com informação abundante sobre História da Matemática.
  29. 29. A matemática de Alexandria produziu o maior matemático de todos os tempos, que estudou com os discípulos de Euclides.
  30. 30. Arquimedes de Siracusa (287-212 aC)
  31. 31. Em Alexandria, a Matemática em construção era vivida e praticada, com sacrifício e idealismo. Hypatia de Alexandria (370-415), filha de Theon de Alexandria (335-405), foi morta por uma multidão de fanáticos religiosos por ser mulher e matemática criativa.
  32. 32. A Biblioteca de Alexandria sofreu dois principais incêndios: • no ano 47 aC, provocado por Júlio César em perseguição a Pompeu que se refugiara em Alexandria; • em 641 dC, decretada pelo Califa Omar, sucessor de Maomé no comando dos árabes. Pouco sobrou para contar a valiosa História da Matemática. Manuscrito em latim de Os Elementos de Euclides
  33. 33. Tornando-se Odoacro, o Hérulo, Imperador romano em 476, já ocorre uma grande alteração nos cuidados oficiais com a Cultura. Seu sucessor Teodorico, o Ostrogodo, ainda mantém-se por algum tempo assessorado por um dos últimos Senadores Romanos, Boécio (480-524), que será, na corte bárbara, como que um representante da Cultura e Ciência Helênicas. Enquanto os povos bárbaros se estabelecem na Europa, dos mosteiros sairão as obras com informações sobre a História da Matemática no período de 500 a 1200. Manuscrito da Aritmética de Boécio
  34. 34. Os Elementos de Euclides: obra de ligação entre Pitágoras e outros criadores da Matemática e o mundo moderno, via árabes. Euclides foi o grande organizador da Matemática. Será conservado pelos árabes da Casa da Cultura de Bagdá até ser traduzido para o latim. Teorema de Pitágoras em Os Elementos de Euclides (manuscrito árabe)
  35. 35. Durante a Idade Média (do século V ao século XV), a matemática organizada pelos gregos será conservada e transmitida pelos hindus e árabes. Thabit ibn-Qurra (826-901)
  36. 36. A obra Lilavati, em sânscrito, do astronomo matemático hindu Bháskara (1114-1185)
  37. 37. Lilavati de Bháskara (1114-1185) manuscrito em árabe Os árabes conquistaram diversas civilizações, e o império islâmico apropriou-se de diversas obras matemáticas, o que permitiu que sobrevivessem até hoje.
  38. 38. O século doze foi importante para a História da Matemática, pois representa o ingresso dos numerais hindu- arábicos na Europa. Manuscrito árabe de aritmética, utilizando os numerais hindus. (ano 1000)
  39. 39. Manuscrito árabe de aritmética, utilizando os numerais hindus. (ano 1000)
  40. 40. Gerbert (940-1003) tornou-se o Papa Silvestre II no ano 999, contribuindo para introduzir os numerais indo-arábicos na Europa. Genealogia dos nossos dígitos, da Índia à Europa, passando pelo árabe.
  41. 41. Adelard de Bath (1075-1160) traduz Os Elementos de Euclides do árabe para o latim em 1142. Manuscrito de 1194. Página de Teoria dos Números do livro IX de Os Elementos.
  42. 42. Leonardo de Pisa - Fibonacci (1170-1250) escreveu Liber Abaci em 1202, mostrando como fazer contas usando os numerais indo- arábicos. Com as traduções, a Europa pode voltar a criar matemática. O desenvolvimento do comércio, principalmente após ínício das cruzadas em 1095 criou outro tipo de preocupação matemática: a necessidade de algoritmos para fazer cálculos.
  43. 43. Discutindo práticas em Matemática “No momento em que você traduz a naturalidade da matemática como uma condição de estar no mundo... ...você democratiza a possibilidade da naturalidade da matemática, e isso é cidadania.” Paulo Freire
  44. 44. Porque ensinar Matemática? Conhecimentos matemáticos são importante para a vida das pessoas, na sociedade contemporânea, desempenha papel importante na formação do cidadão Estimula o desenvolvimento de capacidades intelectuais, agilização do raciocínio, estruturação do pensamento, de observação de regularidades, entre outros
  45. 45. Matemática Números Operações Espaço e Forma Tratamento da Informação Grandezas e Medidas
  46. 46. Organização dos blocos temáticos  De forma articulada e equilibrada  Conexão com outras áreas do conhecimento  Contexto doméstico  Contexto social  Contexto matemático
  47. 47. Estratégias para aprendizagens mais significativas  Resolução de problemas  Investigações  Contextualização  Recursos tecnológicos  Leitura e Escrita
  48. 48. Ensinando pela resolução de problemas Resolver problemas não é apenas uma meta de aprendizagem matemática, mas também um modo importante de fazê-la. É preciso romper o tradicional esquema de apresentação do conteúdo pelo professor, com apresentação de modelos e regras, seguido de uma série de exercícios repetitivos e pouco desafiadores. Os estudantes devem resolver problemas não para aplicar matemática, mas para aprender nova matemática.
  49. 49.  Problema é toda situação que, desafiando a curiosidade, possibilita uma descoberta  Problemas não são apenas aqueles pequenos enunciados escritos, utilizados como recurso para que os alunos apliquem um procedimento  É o professor quem pergunta e os estudantes quem respondem. Temos assim, o professor como problematizador de conteúdos  A contextualização, envolvendo a realidade do aluno, torna- se uma “ferramenta aliada” para diminuir a aversão à Matemática
  50. 50. Uma boa situação de Aprendizagem •Prevê desafios e tomada de decisão •Garante circulação de informação •Favorece a reflexão sobre o conteúdo a ser trabalhado Boas situações para trabalhar com resolução de problemas
  51. 51. Problemas com mais de uma solução Problemas sem solução Problemas com apenas uma solução Problemas com mais dados que os necessários Problemas em que faltam dados Problemas que contêm exatamente os dados que serão utilizados Problemas que envolvam temas matemáticos diversos, não se restringindo apenas aos relativos à aritmética Problemas que envolvam questões referentes à outras áreas do conhecimento
  52. 52. Resolver problemas é a principal atividade matemática, e ela deve estar sempre presente na sala de aula. É tentando resolver problemas que novos conceitos começam a ser formados e que surge a percepção da necessidade de ampliar conhecimentos anteriores – gerando o interesse e o gosto de aprender.
  53. 53. Como educador, o objetivo do professor é desenvolver uma prática pedagógica invadora matemática (exploratória, investigativa, problematizadora, etc) que eficaz possível do ponto de vista da educação/formação dos alunos.
  54. 54. Competências matemáticas a serem desenvolvidas  Estabelecer conexões entre os campos da Matemática e entre esta e as outras áreas do saber.  Raciocinar, fazer abstrações com base em situações concretas, generalizar, organizar e representar
  55. 55.  Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem empregadas na Matemática.  Resolver problemas, criando estratégias próprias para sua resolução, desenvolvendo a imaginação e criatividade.  Utilizar a argumentação matemática com apoiada em vários tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo, probabilístico, por analogia, plausível, etc. Competências matemáticas a serem desenvolvidas
  56. 56. • Utilizar o cálculo mental e fazer estimativas em contagens, medições e cálculos • Coletar, selecionar, organizar e interpretar criticamente dados quantitativos da realidade. • Fazer inferências com base em informações qualitativas ou dados numéricos. • Utilizar as novas tecnologias de computação e da informação. Competências matemáticas a serem desenvolvidas
  57. 57. Relação Epistemológica Relação do aluno com o saber Relação pedagógica Sistema Didático SABER ALUNOPROFESSOR MILIEU Objetivos Planejamento Recursos didáticos Instrumentos de Avaliação Concepções de Aprendizagem Metodologia de ensino
  58. 58. FENÔMENOS DIDÁTICOSFENÔMENOS DIDÁTICOS Efeito Jourdain Deslize Metacognitivo Efeito Dienes Efeito Da Analogia Efeito Topázio Fenômenos Didáticos
  59. 59. EFEITO TOPÁZIO  Uma situação onde o problema é proposto e no momento em que o professor percebe a dificuldade do aluno, e tenta acelerar a aprendizagem, antecipando o resultado.
  60. 60. EFEITO JOURDAIN  Este efeito está associado a uma valorização indevida por parte do professor, do conhecimento manifestado pelo aluno.  A situação faz com que o professor reconheça uma resposta ingênua do aluno como a expressão de um conhecimento científico.
  61. 61. EFEITO DA ANALOGIA  Esse fenômeno trata da possibilidade do professor incorrer em um uso inadequado da analogia. Ex.: Livro de 5ª série, tem uma comparação entre densidade demográfica e o conceito matemático de densidade.  Uso indevido de uma analogia Efeito→ Topázio Efeito Jourdain→
  62. 62. DESLIZE METACOGNITIVO  O professor se depara em uma situação onde toma suas próprias explicações como objeto de estudo no lugar do verdadeiro conhecimento matemático.
  63. 63. EFEITO DIENES  Situação onde o professor com suas concepções (epistemológicas) tenta aproximar o saber científico do saber ensinado.

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