O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
Doutor em Psicologia da Educação: Ensin...
Diretoria editorial: Angélica Pizzutto Pozzani
Gerência de produção editorial: Hélia de Jesus Gonsaga
Editoria de Matemáti...
3
Apresentação
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por ma...
Cada volume da coleção é
dividido em quatro unidades
nas quais você encontrará os
seguintes boxes e seções:
UNIDADE
1 Núme...
Atenção! Ainda que seja pedido
“Assinale”, “Indique”, etc.
em algumas questões, nunca
escreva no livro. Dê todas as
respos...
6
CAPÍTULO 1
Conjuntos numéricos
1 Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
7
CAPÍTULO 3
Função afim e função modular
1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
8
CAPÍTULO 5
Função exponencial
1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
9
CAPÍTULO 7
Sequências
1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
UNIDADE
1 Números
e funções
10
Brasília (DF)
Curitiba (PR)
Porto Alegre (RS)
Manaus (AM)
Cuiabá (MT)
Fuleco, o tatu-bola
m...
11
Área 330,954 km2
Densidade 7 251,5 hab./km2
IDH 0,839
PIB R$ 42,15 bilhões
População 2 375 444
Área 170,298 km2
Densida...
12
Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra-
cionais) eram os únicos tipos de números trabalhad...
13Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
1 Números
Os dois principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as f...
Unidade 1 • Números e funções14
2 A noção de conjunto
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, ...
15Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
3 Conjunto dos números naturais (N)
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos...
Unidade 1 • Números e funções16
4 Conjunto dos números inteiros (Z)
Reunindo os números naturais e os números inteiros neg...
17Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
5 Conjunto dos números racionais (Q)
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positiv...
Unidade 1 • Números e funções18
Representação decimal dos números racionais
Dado um número racional
a
b
b, 0, sua represen...
19Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
Números racionais e medidas de grandezas
1a
) A unidade u cabe em AB um número inteiro ...
Unidade 1 • Números e funções20
6 Números irracionais
Por muito tempo, acreditou-se que os números racionais eram suficien...
21Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
␲ (Pi) é irracional
O número ␲ é obtido dividindo-se a medida do
comprimento de qualque...
Unidade 1 • Números e funções22
Leituras
A crise dos irracionais
Como já dito anteriormente, os pitagóricos acreditavam qu...
23Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
7 Conjunto dos números reais (R)
Da reunião do conjunto dos números racionais com os nú...
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Contexto e Aplicações Dante -  Volume 1
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Contexto e Aplicações Dante - Volume 1

41.762 visualizações

Publicada em

Um excelente livro para quem esta no ensino médio.

Publicada em: Educação

Contexto e Aplicações Dante - Volume 1

  1. 1. LUIZ ROBERTO DANTE Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela PUC – São Paulo Mestre em Matemática pela USP Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo Autor de vários livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas de Matemática – Teoria e prática; Didática da Matemática na pré-escola; Projeto Ápis Matemática (1º ao 5º ano); Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano); Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único); Matemática – Contexto & Aplicações (Ensino Médio – volume único) 2ª edição São Paulo • 2013 CONTEXTO & APLICAÇÕES VOLUME 1 MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO Masterfile/OtherImages ManualdoProfessor
  2. 2. Diretoria editorial: Angélica Pizzutto Pozzani Gerência de produção editorial: Hélia de Jesus Gonsaga Editoria de Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias: Cármen Matricardi Editores: Cibeli Chibante Bueno, Letícia Mancini Martins, Luiz Paulo Gati de Cerqueira Cesar e Marcela Pontes (estags.) Supervisão de arte e produção: Sérgio Yutaka Editor de arte: André Gomes Vitale Diagramação: Casa de Tipos Supervisão de criação: Didier Moraes Editora de arte e criação: Andréa Dellamagna Design gráfico: Ulhôa Cintra Comunicação Visual e Arquitetura (miolo e capa) Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Claudia Virgilio (prep.), Ana Paula Chabaribery Malfa, Arnaldo R. Arruda, Luís Maurício Bôa Nova e Gabriela Macedo de Andrade (estag.) Supervisão de iconografia: Sílvio Kligin Pesquisadora iconográfica: Claudia Bertolazzi Cartografia: Allmaps, Juliana Medeiros de Albuquerque e Márcio Santos de Souza Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin Foto da capa: Masterfile/Other Images Ilustrações: Dam d’Souza, Formato Comunicação e Paulo Manzi (aberturas das unidades) Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A. Av. Otaviano Alves de Lima, 4400 6o andar e andar intermediário ala A Freguesia do Ó – CEP 02909-900 – São Paulo – SP Tel.: 4003-3061 www.atica.com.br/editora@atica.com.br Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013. Obra em 3 v. 1. Matemática (Ensino médio) I. Título. 13–03268 CDD–510.7 Índice para catálogo sistemático: 1. Matemática: Ensino médio 510.7 2013 ISBN 978 8508 16299-4 (AL) ISBN 978 8508 16300-7 (PR) Código da obra CL 712767 Uma publicação Versão digital Diretoria de tecnologia de educação: Ana Teresa Ralston Gerência de desenvolvimento digital: Mário Matsukura Gerência de inovação: Guilherme Molina Coordenadores de tecnologia de educação: Daniella Barreto e Luiz Fernando Caprioli Pedroso Coordenador de edição de conteúdo digital: Danilo Claro Zanardi Editores de tecnologia de educação: Cristiane Buranello e Juliano Reginato Editores de conteúdo digital: Cibeli Chibante Bueno, Monique Matos de Oliveira, Alterson Luiz Cação, Letícia Mancini Martins (estag.) e Marcela Pontes (estag.) Editores assistentes de tecnologia de educação: Aline Oliveira Bagdanavicius, Drielly Galvão Sales da Silva, José Victor de Abreu e Michelle Yara Urcci Gonçalves Assistentes de produção de tecnologia de educação: Alexandre Marques, Gabriel Kujawski Japiassu, João Daniel Martins Bueno, Paula Pelisson Petri, Rodrigo Ferreira Silva e Saulo André Moura Ladeira Desenvolvimento dos objetos digitais: Agência GR8, Atômica Studio, Cricket Design, Daccord e Mídias Educativas Desenvolvimento do livro digital: Digital Pages 2 Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_002_digital.indd 2 15/07/2013 16:47
  3. 3. 3 Apresentação A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos. Aristóteles Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lobachevsky o elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que você, aluno, possa compreender as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real. Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta. Na abertura das unidades apresentamos um tema que está relacionado com um dos capítulos que a compõem; ela te dará uma ideia de um dos temas que será estudado. Já na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais, que podem ter uma abordagem histórica sobre o assunto que será discutido. Antes de resolver os exercícios, é absolutamente necessário que você es- tude a teoria, analise os exemplos e refaça os exercícios resolvidos. Na seção Resolvido passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resolução de um problema. A seção Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar situações-problema que estão relacionadas a situações reais e/ou relacionadas com outras disciplinas. Cada unidade contém ainda as seções Pensando no Enem e Vestibulares de Norte a Sul, com questões baseadas no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) e de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e apro- fundar os conteúdos estudados. E no fim de cada volume, na seção Caiu no Enem, foram incluídas questões do Enem relacionadas a cada unidade. A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente tra- balhados no Ensino Médio, além de auxiliá-lo em sua preparação para os pro- cessos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior. As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-vindas. O autor A Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_003.indd 3 4/16/13 4:58 PM
  4. 4. Cada volume da coleção é dividido em quatro unidades nas quais você encontrará os seguintes boxes e seções: UNIDADE 1 Números e funções 10 11 Área 330,954 km2 Densidade 7 251,5 hab./km2 IDH 0,839 PIB R$ 42,15 bilhões População 2 375 444 Área 170,298 km2 Densidade 4 638 hab./km2 IDH 0,788 PIB R$ 8,7 bilhões População 803 811 Área 5 802 km2 Densidade 407,3 hab./km2 IDH 0,844 PIB R$ 117,6 bilhões População 2 562 963 Área 496, 827 km2 Densidade 2 878, 7 hab./km2 IDH 0,865 PIB R$ 36,8 bilhões População 1 409 939 Área 3 538, 167 km2 Densidade 153,4 hab./km2 IDH 0,821 PIB R$ 9,01 bilhões População 551 350 Área 218 km2 Densidade 6 422 hab./km2 IDH 0,797 PIB R$ 22,5 bilhões População 1 536 934 Área 434, 967 km2 Densidade 4 111 hab./km2 IDH 0,856 PIB R$ 43,3 bilhões População 1 746 896 Área 1 264,296 km2 Densidade 5 190,5 hab./km2 IDH 0,816 PIB R$ 154,8 bilhões População 6 323 037 Área 313,140 km2 Densidade 7 748 hab./km2 IDH 0,786 PIB R$ 28,3 bilhões População 2 447 409 Área 706,799km2 Densidade 3 840 hab./km2 IDH 0,805 PIB R$ 29,7 bilhões População 2 676 606 Área 11 400 km2 Densidade 150,2 hab./km2 IDH 0,774 PIB R$ 38,1 bilhões População 1 802 525 Área 1 522,986 km2 Densidade 7 216,3 hab./km2 IDH 0,841 PIB R$ 357,1 bilhões População 11 244 369 Museu de Artes e Ofícios. Ponte de Todos, Newton Navarro. Praça dos Três Poderes, monumento Os Candangos. Centro Cultural Usina do Gasômetro. Arsenal de Guerra da Capitania de Mato Grosso. Teatro Santa Isabel. Jardim Botânico. Cristo Redentor. Teatro José de Alencar. Elevador Lacerda. Teatro Amazonas. Estação da Luz. Brasília (DF) Curitiba (PR) Porto Alegre (RS) Manaus (AM) Cuiabá (MT) Fuleco, o tatu-bola mascote da Copa do Mundo de 2014. O Brasil é uma república federativa constituída político-administrativamente por 26 estados e um distrito federal, que estão agrupados em cinco regiões. Os estados estão divididos em municípios, que totalizam, aproximadamente, 5565 em todo o país, entre os quais foram escolhidos doze para receber os jogos da Copa do Mundo de 2014, sediada no Brasil. Rubens C haves/PulsarImagens 1. Qual é a cidade-sede da Copa com maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)? 2. Qual é a região do Brasil com maior número de cidades-sede da Copa? Fontededados:<www.portal2014.org.br/cidades-sedes>.Acessoem:4mar.2013. Fortaleza (CE) Recife (PE) Salvador (BA) Belo Horizonte (MG) Rio de Janeiro (RJ) São Paulo (SP) Natal (RN) Fortaleza (CE) Curitiba (PR) Cuiabá (MT) Manaus (AM) Ricardo A zoury/PulsarImagens Gerson G erloff/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ale Ruaro/PulsarImagens Rubens C haves/PulsarImagens Palê Zupp ani/PulsarImagens Rubens C haves/PulsarImagens Fernando Bueno/PulsarImagens Edson G ra ndisoli/PulsarImagen s São Paulo (SP) Salvador (BA) Rio de Janeiro (RJ) Recife (PE) Porto Alegre (RS) Natal (RN)Belo Horizonte (MG) Brasília (DF) 12 Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra- cionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até o século V a.C. Eles acreditavam que esses números fossem suficien- tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie – segmentos de reta, áreas, volumes, etc. A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que significava que a reta numerada continha pontos que não correspon- diam a nenhum número conhecido. Esses novos números foram cha- mados irracionais. O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares dos números irracionais, represen- tado por 1 5 2 , ϩ que corresponde, na forma decimal, ao número 1,61803398... Esse número está presente em diversos elementos da natureza, arte, arquitetura, música e literatura. Veja alguns exemplos: • O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu cor- po segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro. Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea. • A obra Mona Lisa (1503-1506), de Leonardo da Vinci (1452-1519), apre- senta a razão áurea em várias partes. Por exemplo, se fizermos um retângulo ao redor do seu rosto e dividirmos a medida do compri- mento pela largura, obteremos o número de ouro. • O Partenon, em Atenas, na Grécia, é um templo grego construído por volta de 440 a.C., cuja medida da largura dividida pela altura resulta em aproximadamente 1,6 m. • O modelo de violino Stradivarius é conhecido por sua qualidade de som. Antônio Stradivari (1644-1737), que foi o construtor desse modelo, seguia uma simetria perfeita, ou seja, se medirmos o comprimento total do violino e medirmos o comprimento do tam- po e depois dividirmos esses números obtidos, obteremos o nú- mero de ouro. A construção dos conjuntos numéricos permaneceu por séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada, e culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos de George Cantor (1845-1918). Grandeza: algo que pode ser medido. Nautilus com a concha vazia. GeaninaBechea/Shutterstock/GlowImages 1 CAPÍTULO Conjuntos numéricos Violino do modelo Stradivarius. Re ut er s/ La tin st oc k 171Capítulo 5 • Função exponencial « Resolvido passo a passo 11. (Uneb-BA) A expressão P(t) K 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cida- de, em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000? a) 352000 c) 423000 e) 441000 b) 401000 d) 439000 1. Lendo e compreendendo a) O que é dado no problema? É dada uma função exponencial que rela- ciona o número esperado de habitantes da cidade com o ano: P(t) K 20,05t . Tam- bém é dada a população da cidade em 1990: 300 mil habitantes. b) O que se pede? O número esperado de habitantes na cidade citada no ano 2000. 2. Planejando a solução A função dada relaciona a população esperada da cidade com o ano. Entretanto, a função não é inteiramente conhecida, pois existe uma cons- tanteKqueprecisaremosdeterminarparaconhe- cer a função e depois obter a população no ano 2000. Para obter a constante K, usaremos um dado conhecido: em 1990 a população era de 300milhabitantes.Então,umaprimeiraestraté- gia a ser seguida pode ser: 1o ) obter K usando os dados conhecidos de 1990; 2o ) substituir o valor deKnafunçãoparaconhecê-la;3o )usarafunção para estimar a população da cidade em 2000. 3. Executando o que foi planejado Se em 1990 a população era de 300 mil habi- tantes, temos P(1990) 300000. Então: 300000 K 20,05 1990 ⇒ 300000 K 299,5 ⇒ ⇒ K 300 000 299,5 Não há necessidade de desenvolver melhor o valorde K, uma vez que seu valorestá sendode- terminado apenas para que a função exponen- cial seja conhecida completamente. Vamos substituí-lo na função: P t t ( ) 300 000 2 299,5 0,05 Com a função completamente determinada, podemos agora obter P(2000), que é a popu- lação esperada no ano 2000. P P t (2000) 300000 2 299,5 0,05 2000 ⇒ ⇒ ((2000) 300000 2 299,5 100 Neste momento, observe a ocorrência de uma das propriedades da potenciação – divisão de potências de mesma base: 2 2 2 2 100 99,5 100 99,5 0,5 Assim, temos P(2000) 300000 20,5 . Atenção: Lembre-se de que potências com ex- poentes racionais são raízes: 2 2 2 .0,5 1 2 Agora, temos P(2000) 300000 2 . Estimando 2 como o decimal 1,41, temos: P(2000) 300000 1,41 423000 Então, em 2000, espera-se que a população seja, aproximadamente, de 423000 habitantes. 4. Verificando Vamos resolver essa questão de outra maneira: P(1990) K 20,05 1990 ⇒ P(1990) K 299,5 ⇒ ⇒ K P(1990) 299,5 P(2000) K 20,05 2 000 ⇒ P(2000) K 2100 Substituindo K na expressão anterior, temos: P P (2000) (1990) 2 2 300 00099,5 100 21000 99 5 2 , 300 000 2 300 000 2 300 000,5 00 1,41 423000 Isso confirma o resultado obtido. 5. Emitindo a resposta A resposta é a alternativa c. 6. Ampliando o problema a) Qual é a população esperada para essa cida- de em 2010? E em 2030? b) Interprete o que está ocorrendo com a po- pulação dessa cidade de 20 em 20 anos, ou seja, de 1990 a 2010, de 2010 a 2030. Isso parece algo razoável em termos reais? c) Discussão em equipe Converse com seus colegas sobre o cresci- mento populacional e como isso pode afetar a vida dos moradores de uma cidade. O que pode ocorrer se uma cidade tiver um grande aumento populacional em um curto interva- lo de tempo? Pensem nos pontos positivos e nos negativos. Que medidas podem ser to- madas pelas autoridades para evitar que a qualidade de vida dos cidadãos seja afetada pelo crescimento populacional? d) Pesquise Qual é a maior cidade do planeta em termos de população (apenas área urbana, sem con- tar a região metropolitana)? Onde fica? Quantos habitantes tem? Exercício resolvido passo a passo Apresenta a resolução detalhada de uma questão ou problema. Não são modelos a serem seguidos, mas visam inspirar e indicar estratégias de resolução. Conheça seu livro Para refletir, Fique atento! e Você sabia? Pequenos boxes que trazem questões para reflexão ou dicas importantes para o estudo. Exercícios Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a fixar e aprofundar os conteúdos estudados. Unidade 1 • Números e funções 34 Operações com intervalosComo intervalos são subconjuntos de R, é possível fazer operações com eles. As operações deintersecção, união, diferençae complementar serão apresentadas por meio de exercícios resolvidos. Para refletir Analise os possíveis significadosde 3, 5 , (3, 5) e 3, 5 . Exercícios 36.Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede:a) A 2, 4 e B 3, 6 : A B, A B e A Bb) A x R x 4 e B x R x 1 : A B eB A c) A 2, 0) e B 1, : A B e A B 37. Dados A ( 5, 2 , B 6, 6 e C ( , 2 , calcule:a) A B C c) (A B) Cb) A B C d) A (B C) 38.Dados os intervalos A 1, 4 , B 1, 5 , C 2, 4e D (1, 3 , verifique se 1 pertence ao conjunto(A B) (C D). 39. ATIVIDADE EM DUPLA O diagrama de Venn para os conjuntos A, Be C decompõe o plano em oito regiões. Desenhem odiagrama, numerem as regiões e exprimam cada umdos conjuntos abaixo como reunião de algumas des-sas regiões. a) (A B) b) (A B) C Exercício resolvido 4. Dados A x R 1 x 1 e B 0, 5). Determine:a) A B; b) A B; c) A B; d) A B.Resolução: a) A B 1 0 5 0 1 1 1 5 A B A B A B x R 0 x 1 0, 1b) A B 1 5 0 1 1 5 A B B A A B x R 1 x 5 1, 5c) A B 1 0 5 0 1 1 A B B A A B x R 1 x 0 1, 0d) A B   A B não se define, pois A B. 15 Capítulo 1 • Conjuntos numéricos 3 Conjunto dos números naturais (N) “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker O conjunto dos números naturais é representado por: N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... O primeiro elemento desse conjunto é o zero. Osucessor do zero é o1, o sucessor do 1 é o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um número natural qualquer n por n 1. Como sempre podemos obter o sucessor de um número natural, dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Tal fato é representado pelas reticências (...) no final. Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo: a população brasileira é de aproximadamente190 milhões de habitantes), nos códigos (por exemplo: o CEP de uma empresa em São Paulo é 02909-900) e nas ordenações (por exemplo: o 1o estado brasileiro em superfície é o Amazonas e o 2o é o Pará). Às vezes, são usados também para expressar medidas de grandezas: 8 horas, 10 cm, 3 litros, 50 kg, 100 km/h, 1 570 745 km2 , etc. Para refletir • Qualquer número natural tem um único sucessor? • Números naturais diferentes têm sucessores diferentes? • O zero é o único número natural que não é sucessor de nenhum outro? • Existe um número natural que é maior do que todos os outros? Hodômetro: os números indicam a quantidade de quilômetros já percorridos por um carro. YuriTuchkov/Shutterstock / GlowImages Placa de carro: os números representam códigos de identificação. LaraS.A.Iwanicki/kino.com.br Pódio: os números indicam a ordem dos vencedores. Superstudio/GettyImages Um subconjunto importante de N é o conjunto N*, obtido excluindo o zero de N: N* 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Um subconjunto de N ou parte de N é o conjunto dos números naturais pares (P): P 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ou P 2n; n N Indicamos assim: P N. (Lê-se P é um subconjunto de N ou P está contido em N ou P é parte de N.) N P Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam em um número natural. Já a subtração 3 4, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introdu- zindo os números negativos. Fique atento! Sempre que queremos excluir o zero de um conjunto, colocamos o asterisco ( ) no símbolo que o representa, por exemplo N*, R*, etc. Você sabia? • Todo número par p pode ser escrito na forma p 2n,em que n é natural. • S e m e n são naturais, então m n e m n também serão sempre naturais. As imagens desta página não estão em proporção entre si. Unidade 2 • Função afim e função quadrática126 Gráfico da função quadrática no computador Agora, vamos aprender a construir gráficos de funções quadráticas usando outro software livre, o Geogebra. Este é um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo- metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Euro- pa e nos Estados Unidos. A instalação desse software é simples: • Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR> e clique em “Download”. Veja a reprodução da tela a seguir: • Clique em “Webstart”, faça o download e siga os passos automáticos de instalação do programa. Depois disso, você já pode usá-lo. Ao abrir o software você verá a seguinte tela: Observe que destacamos acima o nome das partes que compõe a tela inicial do software. Agora, faça as atividades a seguir. 1. Construa o gráfico da função quadrática f(x) 5 x2 2 6x 1 5 e destaque alguns pontos importantes. Para isso, siga os passos abaixo. 1o passo: No campo Entrada (situado na parte inferior da tela) escreva a função f(x) 5 x^2 2 6x 1 5 e tecle “Enter”. Observe que “^” indica a operação de potenciação. 2o passo: Para obter as raízes da função f, ain- da no campo de entrada, digite raiz [ f] e tecle “Enter”. Veja que foram criados os pontos A 5 (1, 0) e B 5 (5, 0), que são as raízes da função. 3o passo: Para obter o vértice da parábola, digite Extremo[ f ] e tecle “Enter”. Assim, foi criado o ponto C 5 (3, 24), que corresponde ao vértice da parábola. 4o passo: Agora, vamos determinar o ponto em que a parábola intersecta o eixo das ordenadas (eixo y). Para isso, digite no campo de entrada Interseção[ f, x 5 0] e tecle “Enter”. Observe que o ponto de intersecção com o eixo y, ponto D 5 (0, 5), tem como ordenada o valor do termo independente (c) da função quadrática. barra de menu zona gráficazona algébrica barra de ferramentas entrada de comando Fotos:Reprodução/<www.geogebra.org> Matemática tecnologiae Matemática e tecnologia Sugestões de atividades em que o computador é utilizado para visualizar e manipular gráficos e tabelas. Uma oportunidade de trabalhar com a Matemática dinâmica. Abertura de unidade Duas páginas que proporcionam o primeiro contato com um dos assuntos que será abordado na unidade. Abertura de capítulo Texto introdutório com o objetivo de apresentar, por meio de uma situação real ou contexto histórico, o conteúdo que será estudado no capítulo. 4 Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_004a005.indd 4 4/16/13 4:59 PM
  5. 5. Atenção! Ainda que seja pedido “Assinale”, “Indique”, etc. em algumas questões, nunca escreva no livro. Dê todas as respostas no caderno. Objeto Educacional Digital Este ícone indica Objetos Educacionais Digitais relacionados aos conteúdos do livro. ATENÇÃO! Não escreva no seu livro! 6766 Capítulo 2 • FunçõesUnidade 1 • Números e funções 6766 Obesidade Quando comemos mais do que precisamos, o excesso é armazenado em forma de gordura. Em outras palavras, se o número de calorias que “entra” no corpo for maior que o de calorias que “sai”, engordamos. Esse desequilíbrio pode ser gerado por hábitos alimentares errados, pouca atividade física, fatores hereditários, pro- blemas glandulares, etc. O armazenamento de gordura que se aproxima de um nível que compromete a saúde de uma pessoa é chamado de obesidade. Papel confuso da gordura na doença Foi estabelecida uma nítida associação entre obesidade e várias enfermidades sérias, entre elas diabetes, hipertensão, doenças cardiovasculares e até alguns tipos de câncer, embora muitos aspectos dessa relação não tenham sido explicados. Ain- da assim, a definição médica mais comum de obesidade baseia-se em evidências de efeitos adversos sobre a saúde em pessoas acima do peso. O índice de massa corporal (IMC) é um dos parâmetros utilizados para identificar sobrepeso e obesidade. Esse índice é calculado com a massa de uma pessoa, em quilo- gramas, dividida pelo quadrado da sua altura, em metros. Já que uma maior mortali- dadeéencontradaempessoascomIMCmaiordoque30,essenúmerotornou-seumdos principaisparâmetrosparadefiniraobesidade.UmIMCentre25e30échamadosobre- peso, refletindo já alguma conexão com efeitos adversos à saúde. Essas relações epide- miológicas entre IMC e en- fermidade, contudo, po- dem variar em diferentes subpopulações. E nenhum número preciso permite que os médicos determi- nem qual quantidade de gorduraexcedentecausará umadoença.Algumaspes- soastêmproblemasdesaú- de com o IMC abaixo de 25, enquantooutraspermane- cemsadiascomIMCmaior do que 30. Disponível em: <http://g1.globo.com/ ciencia-e-saude/noticia/2012/04/quase- metade-da-populacao-esta-acima-do- -peso-diz-saude.html>. Acesso em: 28 jan. 2013. Além das diferenças entre as populações, a localização da gordura armazenada no corpo também parece ser uma variável importante. O tecido adiposo se acumu- la sob a pele na maioria das áreas corporais, bem como dentro e ao redor dos órgãos internos, especialmente no abdômen. Muitos estudos sugerem que diabetes e do- enças cardiovasculares, em particular, estão ligadas a essa gordura intra-abdominal, ou visceral. Em alguns casos, é relativamente improvável que um excesso signifi- cativo de gordura nos quadris e coxas – que produz a forma de “pera” no corpo – cause essas doenças quando não estiver presente também a gordura abdominal em excesso. Essa última, presente no corpo em forma de “maçã”, está altamente associada a diabetes e outros desequilíbrios metabólicos, mesmo na ausência de gordura abundante na parte inferior do corpo. Adaptado de: FLIER, Jeffrey; FLIER, Eleftheria. Scientific American Brasil, 65. ed., out. 2007. Trabalhando com o texto 1. Há palavras no texto que você desconhece? Se sim, procure-as em um dicionário. 2. O índice de massa corporal (IMC) é dado pela fórmula IMC , p a2 em que p é a massa, em quilogramas, e a é a altura, em metros, do indivíduo. A avaliação de um peso, se está normal, abaixo ou acima do peso ideal, é feita de acordo com a seguinte tabela: a) Determine o IMC de Amanda, que tem1,60 m de altura e51,2 kg de massa. b) Classifique o IMC de Amanda segundo a tabela ao lado. c) Qual é a altura mínima para que uma pessoa de massa108,3 kg seja considerada com sobrepeso? Pesquisando e discutindo 3. Muitas pessoas acreditam que um bebê ou uma criança “gordinha” é sinônimo de boa saúde. Você concorda com isso? 4. Quais medidas podem ser tomadas para evitar a obesidade? 5. Uma dieta equilibrada não significa eliminar o consumo total de gordura. Pesquise quais são os benefícios da ingestão de alguns tipos de gordura para o nosso organismo. Veja mais sobre o assunto Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites: • Artigo Cinturas avantajadas do Dr. Dráuzio Varella: <http://drauziovarella.com.br/doencas- e-sintomas/obesidade/cinturas-avantajadas/>; • Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica: <www. abeso.org.br>. Fonte: Abeso (Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica). Disponível em: <http://www.abeso. org.br/calcule-seu-imc.shtml>. Acesso em: 5 nov. 2012. Categoria IMC Abaixo do peso Abaixo de 18,5 Peso normal 18,5 - 24,9 Sobrepeso 25,0 - 29,9 Obesidade Grau I 30,0 - 34,9 Obesidade Grau II 35,0 - 39,9 Obesidade Grau III 40,0 e acima Outros contextos 202 203 Vestibulares de Norte a Sul Unidade 3 • Função exponencial e função logarítmica Capítulo 6 • Logaritmo e função logarítmica Região Norte 1. Química (UFPA) A quantidade x de nicotina no sangue di- minuiu com o tempo t de acordo com a função x x kt 2 0 e . Se a quantidade inicial x0 se reduz à metade em 2 horas, em 5 horas existirá no sangue: (Se necessário considerar 2 1,41 .) a) 17,4% de x0. d) 20,3% de x0. b) 17,7% de x0. e) 20,6% de x0. c) 20,0% de x0. 2. Biologia (UFRR) Em pesquisa recente realizada por cientistas brasileiros de uma universidade federal comprova- ram que a ariranha e o mico-leão-dourado são es- pécies em extinção no Brasil. Com o objetivo de preservar essas espécies, foram reunidos numa re- serva florestal 120 ariranhas e 80 micos-leões-dou- rados. Constatou-se, após alguns anos, que o cres- cimento da população de ariranhas foi 5% ao ano e que a população de micos cresceu à taxa de 10% ao ano. Em quanto tempo, aproximadamente, após a reunião desses animais na reserva, o número de mi- cos deve chegar ao dobro do número de ariranhas? (Use log 3 0,477 e log 1,047 0,019.) a) 25 anos b) 20 anos c) 30 anos d) 15 anos e) 10 anos Região Nordeste 3. Química (Uneb-BA) Cada elemento radioativo, seja natural ou obtido artificialmente, se desintegra a uma velo- cidade que lhe é característica. Meia-vida é o tempo necessário para que a sua atividade seja reduzida à metade da atividade inicial. O cobalto60, cuja radia- ção é muito utilizada em equipamentos de radiote- rapia, tem meia-vida de 5 anos. Nessas condições, o tempo necessário para que 800 g de cobalto 60 sejam reduzidos, por desintegração, a 12,5 g, em anos, é igual a: a) 20. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40. 4. Ciências Sociais (UFPE) Um boato se espalha da seguinte maneira: no primeiro dia, apenas uma pessoa tem conheci- mento dele; no segundo, ela conta a outras três pes- soas e, a cada dia que passa, todas as pessoas que sabem do boato contam-no para três novas pessoas. Assim, a sequência formada pelo número de pesso- as que sabem do boato, em termos dos dias que passam, é dada por 1, 4, 16, 64... Em uma cidade com 1,5 milhão de habitantes, quantos dias serão neces- sários para que todas as pessoas sejam informadas do boato? (Aproxime sua resposta para o menor inteiro maior ou igual ao valor obtido. Dados: use a aproximação log2 (1,5 106 ) 20,52.) a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 5. (UFRN) Se log5 x log5 y 3, com x e y inteiros maiores que 1, então: a) x y 15. b) x y 20. c) x y 25. d) x y 30. Região Centro-Oeste 6. Física (UFG-GO) A lei de resfriamento de Newton estabele- ce para dois corpos,A e B, com temperaturas de80 °C e 160 °C, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de30 °C, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas fun- ções TA 30 50 10 kt e TB 30 130 10 2kt em que k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais? a) (1 k)log 5 b) 2 18 5k( )log c) 1 13 5k( )log d) 2 5 2k( )log e) 1 2 5k( )log 7. Física (UEG-GO) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I 0 até I 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I E E ,10 2 3 0 log     em que E é a energia liberada no terremoto em quilowatts-hora e E0 7 10 3 kWh. Aumentando em uma unidade a intensidade do terremoto, a energia liberada fica multiplicada por um número: a) no intervalo de 30 a 40. c) nointervalode20a30. b) maior que 40. d) menor que 20. 8. Química (UnB-DF)Suponhaqueafunção y t( ) ( ) 3 1 a a a P P descreva a população de microrganismos no solo de um terreno com resíduos tóxicos no instante t 0, dado em minutos contados a partir do instante ini- cial t 0, e que essa função satisfaça as seguintes condições: I. número de microrganimos em t 0 é 5 109 . II. P 102 a. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem: a) O valor de P é superior a 1012 . b) O quociente y a ( )2 é inferior a 9. Região Sudeste 9. Biologia (PUCC-SP) Todo indivíduo que durante a sua vida nor- mal produz ovos ou sementes deve ser destruído em qualquer período de sua existência, ou durante uma estação qualquer porque, de outro modo, com base na progressão geométrica, o número de seus descen- dentes aumentaria tanto que nenhuma região con- seguiria suprir suas necessidades de alimentos. DARWIN, Charles. A origem das espécies. São Paulo: Martin Claret, 2005. p. 126. Com base na teoria evolucionista de Darwin, consi- dere uma fêmea de mariposa que deposite 150 ovos, chegando a 5 gerações em um ano. Supondo que 2 3 dos ovos de cada mariposa morrem e que 50% das mariposas remanescentes sejam fêmeas, então, ao final de 1 ano, o número de descendentes fêmeas, de uma única mariposa: (Use: 510 9 765 625.) a) será maior que 17 milhões. b) estará compreendido entre15 milhões e17 milhões. c) estará compreendido entre13milhões e15milhões. d) estará compreendido entre11 milhões e 13 milhões. e) será menor que 11 milhões. 10. Química (UFU-MG) A acidez de uma solução líquida é medida pela concentração de íons de hidrogênio H na so- lução. A medida de acidez usada é o pH, definido por pH log10 H , em que H é a concentração de íons de hidrogênio. Se uma cerveja apresentou um pH de 4,0 e um suco de laranja, um pH de 3,0, então, relativamente a essas soluções, é correto afirmar que a razão (concentração de íons de hidrogênio na cerveja), quociente (concentração de íons de hidro- gênio no suco), é igual a: a) 0,001. b) 0,01. c) 0,1. d) 0,0001. Região Sul 11. Química (Unisc-RS) As substâncias radioativas emitem partí- culas e apresentam uma tendência natural a se de- sintegrar. Assim, com o passar do tempo, sua massa vai diminuindo. Suponha que um certo material radioativo perde, todo dia, 5% da massa que possuía no dia anterior. Se hoje ele tem 15 g, que massa terá, aproximadamente, daqui a 2 dias? a) 13 g d) 12,22 g b) 13,54 g e) 9,85 g c) 8,4 g 12. Química (UEL-PR) O Iodo-131 é um elemento radioativo utili- zado em Medicina nuclear para exames de tireoide e possui meia-vida de 8 dias. Para descarte de ma- terial contaminado com 1 g de Iodo-131, sem prejuízo para o meio ambiente, o laboratório aguarda que o mesmo fique reduzido a 10 6 g de material radioa- tivo. Nessas condições, o prazo mínimo para descar- te do material é de: (Dado: log10 (2) 0,3.) a) 20 dias. b) 90 dias. c) 140 dias. d) 160 dias. e) 200 dias. 13. (PUC-RS) A equação 3x 6 pode ser solucionada por meio da análise do gráfico da função f dada por: a) f(x) 2x. b) f(x) 3x. c) f(x) x3 . d) f(x) x3 . e) f(x) log3x. Outros contextos Temas relevantes e atuais que tratam de situações práticas, articulando a Matemática com outras disciplinas e com temas como saúde, sociedade, meio ambiente entre outros. Vestibulares de Norte a Sul Questões de vestibulares, de todas as regiões geográficas do Brasil, relacionadas aos conteúdos estudados. Pensando no Enem Atividades contextualizadas que visam o desenvolvimento das competências e habilidades previstas na Matriz do Enem. Caiu no Enem Questões extraídas do Enem classificadas de acordo com as unidades. 65Capítulo 2 • Funções Pensando ENEMno 1. Biologia Quando se praticam exercícios físicos, deve-se tomar cuidado com os excessos. Uma das maneiras de monito- rar a intensidade do esforço aeróbico é medindo a frequência cardíaca (número de batimentos do coração por minuto) e cuidando para que esse valor fique sempre dentro do recomendado para cada tipo de treinamento, para cada indivíduo. Esses valores devem ser determinados por um médico, mas, como curiosidade, saiba que existem algumas fórmulas empíricas utilizadas para isso. Por exemplo, a frequência cardíaca de treino (FCtreino) para quem deseja queimar calorias pode ser dada por: FCtreino FCrep 0,7 (FCmáx FCrep), em que FCmáx é a frequência cardíaca máxima e FCrep é a frequência cardíaca em repouso do indivíduo. Para homens, a frequência cardíaca máxima é determinada empiricamente subtraindo-se de 220 a idade do indivíduo: FCmáx 220 idade. Suponha que um homem de 40 anos deseje perder peso. Em repouso, sentado, ele pressiona o pulso duran- te 15 segundos e conta 20 batimentos cardíacos. De acordo com o texto, qual seria a frequência cardíaca de treino para essa pessoa? a) 126 bpm b) 144 bpm c) 150 bpm d) 154 bpm e) 160 bpm 2. Física Doisirmãos,JoãoePedro,desejamvisitaramãe deles em São Carlos, SP. João está saindo de carro de São José do Rio Preto, SP, distante 447 km de São Paulo, SP, e Pedro está saindo de ônibus, de São Paulo. João conclui, de acordo com os dados de seu GPS, que a função que defineoespaçopercorrido(emkm)porseucar- ro em função do tempo (em horas de viagem) é S(t) 100t. Pedro, por sua vez, consultando o GPS de seu celular, conclui que a velocidade média do ônibus em que viaja é de 86 km/h. Considereastrêscidadesperfeitamentealinha- das, e que João e Pedro iniciaram suas viagens exatamente no mesmo horário. De acordo com os dados do enunciado, a distância entre eles após 1,5h de viagem será de: a) 129 km. b) 165 km. c) 168 km. d) 294 km. e) 299 km. 3. (Enem) A figura ao lado apresenta dois gráficos com infor- mações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma em- presa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclama- ções resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: <http://bibliotecaunix.org>. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado). O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas in- formações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 20 30 10 Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua0 Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2009. 50º O Trópico de Capricórnio MS MG OCEANO ATLÂNTICO PR RJSão Paulo S‹o Carlos S‹o JosŽ do Rio Preto LEGENDA Capital Munic’pio São José do Rio Preto, São Carlos e São Paulo 0 1 km Allmaps/Arquivodaeditora « Veja a seção Caiu no Enem no final do livro. 173Capítulo 5 • Função exponencial Césio 137 – o maior acidente radioativo do Brasil horas após o contato com a substância, o que levou um grande número de pessoas à procura de hospi- tais e farmácias, sendo medicadas apenas como portadoras de uma doença contagiosa. Mais tarde descobriu-se que se tratava de sintomas de uma síndrome aguda de radiação. Somente no dia29 de setembro de 1987 é que os sintomas foram qualifi- cados como contaminação radioativa. Os médicos que receberam o equipamento solicitaram a presença de um físico, pois tinham a suspeita de que se tratava de material radioa- tivo. Então o físico nuclear Valter Mendes, de Goiânia, constatou que havia índices de radiação. Por suspeitar da gravidade do acidente, ele acio- nou a então Comissão Nacional Nuclear (CNEN). Uma das primeiras medidas foi separar todas as roupas das pessoas expostas ao material ra- dioativo e lavá-las com água e sabão para a des- contaminação externa. Após essa medida, as pessoas tomaram um quelante (substância que elimina os efeitos da radiação). Com ele, as partí- culas de césio saem do organismo através da uri- na e das fezes. Cerca de um mês após o acidente quatro pes- soas já haviam morrido. O trabalho de desconta- minação dos locais atingidos gerou cerca de 13,4 toneladas de lixo (roupas, utensílios, material de construção, etc.) contaminado. Após o acidente, cerca de sessenta pessoas morreram vítimas da contaminação, entre elas funcionários que realizaram a limpeza do local. O Ministério Público reconhece apenas 628 vítimas contaminadas diretamente, mas a Associação das Vítimas do Césio 137 calcula um número superior a 6 mil pessoas atingidas pela radiação. Adaptado de: <www.brasilescola.com/quimica/ acidente-cesio137.htm>. Acesso em: 19 fev. 2013. Em um acidente radioativo ocorrido no dia 13 de setembro de 1987, em Goiânia, Goiás, foram contaminadas centenas de pessoas acidentalmen- te por meio das radiações emitidas por uma cáp- sula que continha césio 137. Foi o maior acidente radioativo do Brasil e o maior do mundo ocorrido fora das usinas nucleares. Tudo teve início com a curiosidade de dois catadores de lixo que vascu- lhavam as antigas instalações do Instituto Goia- no de Radioterapia (também conhecido como Santa Casa de Misericórdia), no centro de Goiânia. No local eles encontraram um aparelho de radioterapia. Removeram a máquina e levaram- -na até a casa de um deles. Estavam interessados nas partes de metal e chumbo que podiam ser vendidas em ferros-velhos da cidade; desconhe- ciam completamente aquela máquina e o que havia em seu interior. No período da desmontagem da máquina, foram expostos ao ambiente 19,26 g de cloreto de césio 137 (CsCl). Tal substância é um pó branco pa- recidocom o sal de cozinha, mas que noescuro bri- lha com uma coloração azul. Após cinco dias, a pe- çafoivendidaaumproprietáriodeferro-velho,que se encantou com o brilho azul emitido pela subs- tância. Crendo estar diante de algo sobrenatural, o dono do ferro-velho passou quatro dias recebendo amigos e curiosos interessados em conhecer o pó brilhante. Muitos levaram para casa pedrinhas da substância. Parte do equipamento de radioterapia foiparaoutroferro-velho,deformaquegerouuma enorme contaminação com o material radioativo. Os primeiros sintomas da contaminação (vô- mito,náusea,diarreiaetontura)surgiramalgumas Leitura Técnicos orientando o carregamento de lixo radioativo depois do acidente com o césio 137. JoãoRamid/Arquivodaeditora Para refletir • Sabendo que o acidente radioativo foi em 1987 e que o local do acidente só poderá ser habitado novamente quando a quantidade de césio 137 se reduzir, por desintegração, a 1 32 da quantidade inicialmente presente, então o local poderá ser reabitado a partir de que ano? Leitura(s) Textos que visam ampliar e enriquecer o conteúdo estudado no capítulo. Um pouco mais... Textos e exercícios que ajudam a aprofundar o conteúdo do capítulo. Unidade 1 • Números e funções38 Um pouco mais... Relação de inclusão e implicação lógica Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que: p ⇒ q (p implica q ou p acarreta q), estamos dizendo que A B. Exemplos: a) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades: •p: n é um número natural que termina com 3; •q: n é um número natural ímpar. Então A 3, 13, 23, 33, … , B 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … e p ⇒ q ou A B. b) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades: •p: ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida; •q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos. Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A B. Logo, p ⇒ q, ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é paralelogramo. c) Outra implicação: Se dois números inteiros, a e b, são pares, então seu produto é par. Nesse caso, temos um teorema (proposição que devemos demonstrar) em que a hipótese é “a e b são dois números pares inteiros quaisquer” e a tese é “o produto a b é par”. Vamos fazer a demonstração ou prova, que consiste de uma sequência finita de passagens lógicas que permite, a partir da hipótese (p), chegar à tese (q). Hipótese p: a e b são números pares inteiros quaisquer Tese q: a b é par Vamos demonstrar que p ⇒ q. Demonstração: Como a é um número inteiro par é da forma a 2n (n Z). Como b é um número inteiro par é da forma b 2m (m Z). Assim, a b 2n 2m 4nm 2 2nm k  2 k (k Z) a b 2k (k Z) Logo, a b é par, como queríamos demonstrar. Agora é com você. Demonstre que se dois números inteiros a e b são ímpares, então seu produ- to a b é ímpar. Lembre-se de que um número inteiro ímpar qualquer pode ser escrito na forma a 2n 1 (n Z). Fique atento! A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim: • se p, então q; • p é condição suficiente para q; • q é condição necessária para p. « 264 Caiu no Enem Caiu no Enem (Enem) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Ca- dastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 alga- rismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos veri- ficadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessiva- mente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário, d1 (11 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela se- quência dada são contados a partir do segundo al- garismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das mul- tiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 (11 s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123 456 789. Nes- te caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente: a) 0 e 9. d) 9 e 1. b) 1 e 4. e) 0 e 1. c) 1 e 7. (Enem) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte. xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo, e, adotando um procedimento semelhan- te ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço. Uma representação possível para essa segunda si- tuação é: a) xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx b) xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxx xxxx xxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx. xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx xxx x x Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx c) xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx d) xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx e) xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxx xxxxx xxxxxxxx xxxxx xxx xxxx Xxxxxxxxxxx (Enem) Uma empresa possui um sistema de contro- le de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são:insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132000,00 em 2008 e de R$ 145000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualida- de, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: a) insuficiente. b) regular. c) bom. d) ótimo. e) excelente. (Enem) Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distri- buídos em dois grupos de mesma quantidade e sub- metidos a dois tratamentos inovadores. No primei- ro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacien- tes submetidos inicialmente, os tratamentos inova- dores proporcionaram cura de: a) 16%. b) 24%. c) 32%. d) 48%. e) 64%. 5 Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_004a005.indd 5 4/16/13 4:59 PM
  6. 6. 6 CAPÍTULO 1 Conjuntos numéricos 1 Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2 A noção de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 3 Conjunto dos números naturais (‫)ގ‬. . . . . . . . . . . . . . . . .15 4 Conjunto dos números inteiros (‫)ޚ‬. . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5 Conjunto dos números racionais (‫)ޑ‬. . . . . . . . . . . . . . . .17 Representação decimal dos números racionais . . . . . . . .18 Números racionais e medidas de grandezas. . . . . . . . . . . .19 Os números racionais na reta numerada . . . . . . . . . . . . . . .19 6 Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ␲ (Pi) é irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 O número de ouro dos gregos, ␾ (Fi), é irracional. . . . . . .21 7 Conjunto dos números reais (‫)ޒ‬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Desigualdades entre números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Módulo de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Distância entre dois pontos na reta real . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 A linguagem de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Relação de inclusão entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Complementar de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Operações entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Reunião ou união de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Intersecção de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Propriedades da união e da intersecção. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Diferença entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Número de elementos da união de conjuntos. . . . . . . . . .31 9 Intervalos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Operações com intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10 Situações-problema envolvendo números reais, grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . .35 CAPÍTULO 2 Funções 1 Um pouco da história das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2 Explorando intuitivamente a noção de função. . . . 42 3 A noção de função por meio de conjuntos. . . . . . . . 45 Definição e notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Domínio, contradomínio e conjunto imagem . . . . 47 5 Estudo do domínio de uma função real . . . . . . . . . . . 48 6 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Sistema de eixos ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Equação de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 7 Gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Construção de gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Determinação do domínio e da imagem de uma função, conhecendo o gráfico . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 Função crescente e função decrescente: analisando gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 9 Taxa de variação média de uma função . . . . . . . . . . . 59 10 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva . . . . . . . . . . . . . 60 Função injetiva ou injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Função sobrejetiva ou sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Função bijetiva ou correspondência biunívoca . . . . . . . . 62 11 Função e sequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Progressão aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Sumário Números e funções UNIDADE 1 PauloManzi/ Arquivodaeditora Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_006a009.indd 6 4/16/13 5:01 PM
  7. 7. 7 CAPÍTULO 3 Função afim e função modular 1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2 Definição de função afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 Valor de uma função afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Taxa de variação média da função afim f(x) ϭ ax ϩ b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 5 Determinação de uma função afim . . . . . . . . . . . . . . . .77 6 Gráfico da função afim f(x) ϭ ax ϩ b. . . . . . . . . . . . . . 78 Traçado de gráficos de funções afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7 Conexão entre função afim e Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8 Zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9 Estudo do sinal da função afim e de inequações do 1º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Sistema de inequações do 1º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Inequações-produto e inequações-quociente . . . . . . . . . 86 10 Outras conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Função afim e progressão aritmética (PA) . . . . . . . . . . . . . 89 Função afim e a Física. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Função linear e proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Função linear e escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 11 Funções poligonais ou afins por partes. . . . . . . . . . . . 95 Função módulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Gráfico da função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Outros gráficos de funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . 97 CAPÍTULO 4 Função quadrática 1 Definição de função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2 Situações em que aparece a função quadrática. . 104 Na Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Nos fenômenos físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Nos esportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 3 Valor ou imagem da função quadrática em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 4 Zeros da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Determinação dos zeros da função quadrática. . . . . . . .107 Usando a fórmula x b b ac a ϭ Ϫ Ϯ Ϫ2 4 2 . . . . . . . . . . . . . .107 Usando a fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Isolando o x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Por soma e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5 Gráfico da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Gráfico da função definida por f(x) ϭ x2 . . . . . . . . . . . . . . . 113 Gráfico da função definida por f(x) ϭ ax2 , a 0. . . . . . .114 Gráfico da função definida por f(x) ϭ ax2 ϩ k, com a 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Gráfico da função definida por f(x) ϭ a(x Ϫ m)2 , com a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 Gráfico da função definida por f(x) ϭ a(x Ϫ m)2 ϩ k, com a 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Gráfico da função definida por f(x) ϭ ax2 ϩ bx ϩ c. . . .118 Parâmetro a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Parâmetro b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Parâmetro c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 6 Determinação algébrica das intersecções da parábola com os eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7 Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática. . . . . . . .122 8 Estudo do sinal da função quadrática e inequações do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 1º caso: ⌬ Ͼ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 2º caso: ⌬ ϭ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3º caso: ⌬ Ͻ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Outros tipos de inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9 Conexão entre função quadrática e Física . . . . . . . .132 Movimento uniformemente variado (MUV). . . . . . . . . . .132 10 Conexão entre função quadrática e progressão aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 Função afim e função quadrática UNIDADE 2 AndrePenner/Arquivodaeditora Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_006a009.indd 7 4/16/13 5:01 PM
  8. 8. 8 CAPÍTULO 5 Função exponencial 1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 2 Revisão de potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Potência com expoente inteiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Inverso de um número a   0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Potência com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Potência com expoente irracional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Potência com expoente real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 3 Revisão de radiciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 4 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 Gráfico da função exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 5 Conexão entre funções exponenciais e progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Caracterização da função do tipo exponencial . . . . . . . .165 6 Equações exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Resolução de equações exponenciais simples. . . . . . . . 166 Raízes da equação 2x ϭ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 7 Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8 O número irracional e e a função exponencial ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 9 Aplicações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . .170 CAPÍTULO 6 Logaritmo e função logarítmica 1 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 Definição de logaritmo de um número . . . . . . . . . . . . . . . .176 Consequências da definição de logaritmo . . . . . . . . . . . . . .177 Propriedades operatórias dos logaritmos. . . . . . . . . . . . . .178 Mudança de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 Cálculo de logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Aplicação dos logaritmos na resolução de equações exponenciais e de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Definição de função inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Definição da função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Gráfico da função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Uma relação importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Caracterização das funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . .191 3 Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Função exponencial e função logarítmica UNIDADE 3 Sciencesource/Photoresearchers/Latinstock Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_006a009.indd 8 4/16/13 5:01 PM
  9. 9. 9 CAPÍTULO 7 Sequências 1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Determinação de uma sequência por recorrência. . . . 208 2 Progressão aritmética (PA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 Representações especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 Classificação das progressões aritméticas. . . . . . . . . . . . .213 Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Soma dos termos de uma PA finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 Fórmula da soma dos termos de uma PA finita. . . . . . . . . .217 Conexão entre progressão aritmética e função afim . . . . .218 3 Progressão geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Fórmula do termo geral de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Conexão entre progressão geométrica e função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . 228 4 Problemas envolvendo PA e PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231 CAPÍTULO 8 Trigonometria no triângulo retângulo 1 Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Feixe de retas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Casos de semelhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Propriedade (teorema fundamental da semelhança) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Uso de semelhança para medir distâncias inacessíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Polígonos semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 2 Relações métricas no triângulo retângulo. . . . . . . . 244 O triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Elementos do triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Relações métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Triângulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 As relações métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3 Relações trigonométricas no triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos. . . . . . . . . . . . . 248 Seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Relações entre seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . 250 Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis . . . . . .253 Resolvendo triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Sequências e Trigonometria UNIDADE 4 Caiu no Enem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Sugestões de leituras complementares . . . . . . . . . . . . 290 Significado das siglas de vestibulares. . . . . . . . . . . . . . . .292 Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293 Índice remissivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Irin-kK/Shutterstock/GlowImages Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_006a009.indd 9 29/04/2013 08:09
  10. 10. UNIDADE 1 Números e funções 10 Brasília (DF) Curitiba (PR) Porto Alegre (RS) Manaus (AM) Cuiabá (MT) Fuleco, o tatu-bola mascote da Copa do Mundo de 2014. O Brasil é uma república federativa constituída político-administrativamente por 26 estados e um distrito federal, que estão agrupados em cinco regiões. Os estados estão divididos em municípios, que totalizam, aproximadamente, 5565 em todo o país, entre os quais foram escolhidos doze para receber os jogos da Copa do Mundo de 2014, sediada no Brasil. Fortaleza (CE) Recife (PE) Salvador (BA) Belo Horizonte (MG) Rio de Janeiro (RJ) São Paulo (SP) Natal (RN) Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_010a011_U1.indd 10 4/16/13 5:04 PM
  11. 11. 11 Área 330,954 km2 Densidade 7 251,5 hab./km2 IDH 0,839 PIB R$ 42,15 bilhões População 2 375 444 Área 170,298 km2 Densidade 4 638 hab./km2 IDH 0,788 PIB R$ 8,7 bilhões População 803 811 Área 5 802 km2 Densidade 407,3 hab./km2 IDH 0,844 PIB R$ 117,6 bilhões População 2 562 963 Área 496, 827 km2 Densidade 2 878, 7 hab./km2 IDH 0,865 PIB R$ 36,8 bilhões População 1 409 939 Área 3 538, 167 km2 Densidade 153,4 hab./km2 IDH 0,821 PIB R$ 9,01 bilhões População 551 350 Área 218 km2 Densidade 6 422 hab./km2 IDH 0,797 PIB R$ 22,5 bilhões População 1 536 934 Área 434, 967 km2 Densidade 4 111 hab./km2 IDH 0,856 PIB R$ 43,3 bilhões População 1 746 896 Área 1 264,296 km2 Densidade 5 190,5 hab./km2 IDH 0,816 PIB R$ 154,8 bilhões População 6 323 037 Área 313,140 km2 Densidade 7 748 hab./km2 IDH 0,786 PIB R$ 28,3 bilhões População 2 447 409 Área 706,799km2 Densidade 3 840 hab./km2 IDH 0,805 PIB R$ 29,7 bilhões População 2 676 606 Área 11 400 km2 Densidade 150,2 hab./km2 IDH 0,774 PIB R$ 38,1 bilhões População 1 802 525 Área 1 522,986 km2 Densidade 7 216,3 hab./km2 IDH 0,841 PIB R$ 357,1 bilhões População 11 244 369 Museu de Artes e Ofícios. Ponte de Todos, Newton Navarro. Praça dos Três Poderes, monumento Os Candangos. Centro Cultural Usina do Gasômetro. Arsenal de Guerra da Capitania de Mato Grosso. Teatro Santa Isabel. Jardim Botânico. Cristo Redentor. Teatro José de Alencar. Elevador Lacerda. Teatro Amazonas. Estação da Luz. Rubens C haves/PulsarImagens 1. Qual é a cidade-sede da Copa com maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)? 2. Qual é a região do Brasil com maior número de cidades-sede da Copa? Fontededados:<www.portal2014.org.br/cidades-sedes>.Acessoem:4mar.2013. Fortaleza (CE) Curitiba (PR) Cuiabá (MT) Manaus (AM) Ricardo A zoury/PulsarImagens Gerson G erloff/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ricardo A zoury/PulsarImagens Ale Ruaro /PulsarImagens Rubens C haves/PulsarImagens Palê Zupp ani/PulsarImagens Rubens C haves/PulsarImagens Fernando Bueno/PulsarImagens Edson G r andisoli/PulsarImagen s São Paulo (SP) Salvador (BA) Rio de Janeiro (RJ) Recife (PE) Porto Alegre (RS) Natal (RN)Belo Horizonte (MG) Brasília (DF) Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_010a011_U1.indd 11 4/16/13 5:04 PM
  12. 12. 12 Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra- cionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até o século V a.C. Eles acreditavam que esses números fossem suficien- tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie – segmentos de reta, áreas, volumes, etc. A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que significava que a reta numerada continha pontos que não correspon- diam a nenhum número conhecido. Esses novos números foram cha- mados irracionais. O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares dos números irracionais, represen- tado por 1 5 2 , ϩ que corresponde, na forma decimal, ao número 1,61803398... Esse número está presente em diversos elementos da natureza, arte, arquitetura, música e literatura. Veja alguns exemplos: • O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu cor- po segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro. Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea. • A obra Mona Lisa (1503-1506), de Leonardo da Vinci (1452-1519), apre- senta a razão áurea em várias partes. Por exemplo, se fizermos um retângulo ao redor do seu rosto e dividirmos a medida do compri- mento pela largura, obteremos o número de ouro. • O Partenon, em Atenas, na Grécia, é um templo grego construído por volta de 440 a.C., cuja medida da largura dividida pela altura resulta em aproximadamente 1,6 m. • O modelo de violino Stradivarius é conhecido por sua qualidade de som. Antônio Stradivari (1644-1737), que foi o construtor desse modelo, seguia uma simetria perfeita, ou seja, se medirmos o comprimento total do violino e medirmos o comprimento do tam- po e depois dividirmos esses números obtidos, obteremos o nú- mero de ouro. A construção dos conjuntos numéricos permaneceu por séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada, e culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos de George Cantor (1845-1918). Grandeza: algo que pode ser medido. Nautilus com a concha vazia. GeaninaBechea/Shutterstock/GlowImages 1 CAPÍTULO Conjuntos numéricos Violino do modelo Stradivarius. Reuters/ Latinstock Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 12 4/16/13 5:08 PM
  13. 13. 13Capítulo 1 • Conjuntos numéricos 1 Números Os dois principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Por exemplo, quando contamos o número de selos de uma coleção, aqui a unidade é 1 selo. Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real. Por exemplo, quando medimos a distância em quilômetros entre duas cidades, aqui a unidade é 1 km. Os números estão presentes de modo marcante no nosso dia a dia. Junte-se a um colega, analisem e resolvam as seguintes situações envolvendo números que vocês já estudaram no Ensino Fundamental. « a) Quantas semanas completas temos de 27/7 a 15/10 do mesmo ano, incluídos esses dois dias? Ilustrações:Damd'Souza/Arquivodaeditora 11 semanas completas. b) Em uma cidade de Santa Catarina, a temperatu- ra às 2h era Ϫ3 ЊC. Das 2h às 5h houve uma variação de Ϫ2 ЊC. Das 5h às 8h a variação foi de ϩ4 ЊC. Das 8h às 11h a variação foi de ϩ3 ЊC. Qual foi a temperatura registrada às 11h? ϩ2 ЊC c) Em uma receita para 12 rosquinhas são necessários 2 copos de leite. Se dona Laura pretende fazer 36 rosqui- nhas, que quantidade de leite vai usar? 6 copos. Em cada uma dessas situações usamos os números para contar ou medir. Neste capítulo, vamos recordar e aprofundar o que você já sabe sobre os importantes conjuntos numéricos: o dos números naturais (N), o dos números inteiros (Z), o dos números racionais (Q) e o dos números reais (R). Você também aprenderá um pou- co sobre a linguagem dos conjuntos. Para refletir Onde mais você usa números? Troque ideias com seu colega. Resposta pessoal. d) Qual é a área, em m2 , desse terreno de forma quadrada? 100 m2 10 m 10 m 10 m A = ? 10 m Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 13 4/16/13 5:08 PM
  14. 14. Unidade 1 • Números e funções14 2 A noção de conjunto A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: a) conjunto das unidades federativas da região Centro-Oeste do Brasil: C ϭ ͕Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Goiás e Distrito Federal͖ b) conjunto dos números primos: B ϭ ͕2, 3, 5, 7, 11, 13, …͖ c) conjunto dos quadriláteros: Q ϭ ͕quadriláteros͖ Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determi- nado conjunto A. Quando for, dizemos que: • a pertence a A e escrevemos a ʦ A. Caso contrário, dizemos que: • a não pertence a A e escrevemos a A. Nos exemplos acima, temos: a) Mato Grosso ʦ C e Paraná C; b) 2 ʦ B e 9 B; c) retângulo ʦ Q e triângulo Q. Outra maneira de representar um conjunto é por meio de uma propriedade ou condição. Por exemplo, consideremos a propriedade: p: x é um número natural ímpar. Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I ϭ ͕1, 3, 5, 7, 9, 11, ...͖. Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x pertence a I (x ʦ I). Consideremos agora a condição c: c: x é um número natural que satisfaz a condição x Ͼ 5. Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A ϭ ͕6, 7, 8, 9, 10, ...͖. Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que x ʦ A. Agora, consideremos dois conjuntos, E e F. Se todos os elementos de E forem também elementos de F, dizemos que E é um subconjunto de F ou que E está contido em F ou, ainda, que E é parte de F. Indicamos esse fato por E ʚ F que pode ser lido das seguintes maneiras: • E é subconjunto de F; • E está contido em F; • E é parte de F. Podemos representar esse subconjunto em um diagrama: F E Se E não for subconjunto de F, escrevemos E F. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de E que não pertence a F. Exemplos: a) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A ʚ B, pois todo retângulo é um quadrilátero. b) Se C ϭ {1, 2, 3} e D ϭ {1, 2, 4}, então C D, pois 3 ʦ C e 3 D. Nesse caso, também D C. Você sabia? Para indicar que 2 não pertence a I, escrevemos 2 I. A B Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 14 4/16/13 5:08 PM
  15. 15. 15Capítulo 1 • Conjuntos numéricos 3 Conjunto dos números naturais (N) “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker O conjunto dos números naturais é representado por: N ϭ ͕0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...͖ O primeiro elemento desse conjunto é o zero. O sucessor do zero é o 1, o sucessor do 1 é o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um número natural qualquer n por n ϩ 1. Como sempre podemos obter o sucessor de um número natural, dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Tal fato é representado pelas reticências (...) no final. Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo: a população brasileira é de aproximadamente 190 milhões de habitantes), nos códigos (por exemplo: o CEP de uma empresa em São Paulo é 02909-900) e nas ordenações (por exemplo: o 1o estado brasileiro em superfície é o Amazonas e o 2o é o Pará). Às vezes, são usados também para expressar medidas de grandezas: 8 horas, 10 cm, 3 litros, 50 kg, 100 km/h, 1 570 745 km2 , etc. Promova um pequeno debate com os alunos, perguntando o que eles entendem da frase de Kronecker. Estimule-os a refletir sobre o que seria“o resto”. Para refletir • Qualquer número natural tem um único sucessor? • Números naturais diferentes têm sucessores diferentes? • O zero é o único número natural que não é sucessor de nenhum outro? • Existe um número natural que é maior do que todos os outros? Sim. Sim. Sim. Não. Hodômetro: os números indicam a quantidade de quilômetros já percorridos por um carro. YuriTuchkov/Shutterstock/ GlowImages Placa de carro: os números representam códigos de identificação. LaraS.A.Iwanicki/kino.com.br Pódio: os números indicam a ordem dos vencedores. Superstudio/GettyImages Um subconjunto importante de N é o conjunto N*, obtido excluindo o zero de N: N* ϭ ͕1, 2, 3, 4, 5, 6, ...͖ Um subconjunto de N ou parte de N é o conjunto dos números naturais pares (P): P ϭ ͕0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...͖ ou P ϭ ͕2n; n ʦ N͖ Indicamos assim: P ʚ N. (Lê-se P é um subconjunto de N ou P está contido em N ou P é parte de N.) N P Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam em um número natural. Já a subtração 3 Ϫ 4, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introdu- zindo os números negativos. Fique atento! Sempre que queremos excluir o zero de um conjunto, colocamos o asterisco (‫)ء‬ no símbolo que o representa, por exemplo N*, R*, etc. Você sabia? • Todo número par p pode ser escrito na forma p ϭ 2n,em que n é natural. • S e m e n são naturais, então m ϩ n e m и n também serão sempre naturais. As imagens desta página não estão em proporção entre si. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 15 4/16/13 5:08 PM
  16. 16. Unidade 1 • Números e funções16 4 Conjunto dos números inteiros (Z) Reunindo os números naturais e os números inteiros negativos, obtemos o conjunto de todos os números inteiros, que é representado por: Z ϭ ͕..., Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, ...͖ Algumas grandezas, como a temperatura, são indicadas por números inteiros. Termômetro indicando temperatura negativa. DudaPinto/AgênciaEstado Destacamos os seguintes subconjuntos de Z: • N, pois N ʚ Z. Veja a representação no diagrama. Z N • Z* ϭ Z Ϫ ͕0͖ ou Z* ϭ ͕..., Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 1, 2, 3, 4, ...͖ Observe que na figura a seguir há uma simetria em relação ao zero. 0 1 2 3 4 ...... Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 O oposto ou simétrico de 3 é Ϫ3, bem como o oposto de Ϫ3 é 3, valendo: 3 ϩ (Ϫ3) ϭ Ϫ3 ϩ 3 ϭ 0 No conjunto Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre em um número inteiro. E todas as pro- priedades das operações em N continuam válidas em Z. Você sabia? A letra Z é inicial da palavra Zahl, que significa ‘número’ em alemão. Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro. Veja exemplos: a) (Ϫ8) Ϻ (ϩ2) ϭ Ϫ4 é possível em Z b) (Ϫ7) Ϻ (ϩ2) ϭ ? não é possível em Z Assim, foi necessário ampliar o conjunto Z. Sim, os números inteiros negativos. Para refletir • Existe número natural que não é inteiro? • Existe número inteiro que não é natural? Não, todo número natural é inteiro. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 16 4/16/13 5:08 PM
  17. 17. 17Capítulo 1 • Conjuntos numéricos 5 Conjunto dos números racionais (Q) Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao con- junto Z, obtemos o conjunto dos números racionais (Q). Assim, por exemplo, são números racionais: Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ2, 3 2 , 1, 1 2 , 1 4 , 0, 1 2 , 3 4 , 1, 5 3 2e Observe que todo número racional pode ser escrito na forma a b , com a ʦ Z, b ʦ Z e b ϶ 0. Por exemplo, Ϫ ϭ Ϫ ϭ ϭ Ϫ ϭ2 6 3 , 1 2 2 , 2 10 5 , 3 4 , 2 3 , 0 0 2 , etc. Podemos, então, escrever: Você sabia? Fração aparente é aquela que indica um número inteiro: 12 3; 8 2 4; 4 ϭ Ϫ ϭ Ϫ etc. A aparência é de fração, mas representa um número inteiro. O conjunto Q dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Simbolicamente, indicamos assim: Q Z Zϭ ϭ| , , 0x x a b a b bcom eʦ ʦ{ } lê-se “tal que” A restrição b ϶ 0 é necessária, pois a b , divisão de a por b, só tem signi- ficado se b não for zero. Se b ϭ 1, temos a b a 1 ,ϭ o que implica que Z é subconjunto de Q. Como N ʚ Z e Z ʚ Q, temos: N ʚ Z ʚ Q Z N Q Agora, com os números racionais, podemos efetuar divisões que eram impossíveis só com números inteiros. Exemplos: a) 17 : 9 17 9 1 8 9 1,8888...ϭ ou ou b) Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ ϩ ϭ Ϫ7 : 2 7 2 35 10 3,5( ) ( ) Estimule os alunos a relacionar a linguagem usual com a linguagem simbólica. Por exemplo, a ʦ Z significa‘a é um número inteiro’. Você sabia? A designação “racional” surgiu porque a b pode ser vista como uma razão entre os inteiros a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da palavra “quociente”. Verifique se os alunos compreenderam a linguagem matemática: N ʚ Z e Z ʚ Q, então N ʚ Z ʚ Q, ou seja,“se N é parte de Z e Z é parte de Q, então N é parte de Q”. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 17 4/16/13 5:09 PM
  18. 18. Unidade 1 • Números e funções18 Representação decimal dos números racionais Dado um número racional a b b, 0, sua representação decimal é obtida dividindo-se a por b, podendo resultar em: • decimais exatos, finitos, quando o denominador contiver apenas os fatores primos de 10 (2 e/ou 5). Exemplos: a) 1 2 1 5 2 5 5 10 0,5ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ b) 1 4 1 2 2 1 5 2 5 25 100 0,25 2 2 2 ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ c) 3 5 3 2 5 2 6 10 0,6ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ d) 13 20 13 2 5 13 5 2 5 65 100 0,652 2 2 ϭ ϫ ϭ ϫ ϫ ϭ ϭ • decimais periódicos ou dízimas periódicas, infinitas, quando o deno- minador da fração na forma irredutível contiver algum fator primo diferente de 2 e 5. Exemplos: a) 2 3 0,666...ϭ (o período é 6) e representamos assim: 2 3 0,6;ϭ b) 1 11 0,0909090... 0,09ϭ ϭ (o período é 09). Da mesma forma que um número racional a b pode ser represen- tado por um número decimal exato ou periódico, estes também po- dem ser escritos na forma de fração a b , que recebe o nome de fração geratriz do decimal. Fique atento! A representação decimal tem um grande valor prático comparado com a representação em forma de fração. Foi o matemático holandês do século XVI Simon Stevin (1548-1620) quem a sistematizou em seu livro A dízima, publicado em 1585. Para refletir Por que esse nome,“fração geratriz”? Porque é a fração que dá origem ao número decimal. Acompanhe como escrever a fração geratriz de cada decimal a seguir: a) 0,75 0,75 75 100 3 4 ϭ ϭ fração geratriz c) 0,414141... N ϭ 0,414141... 100N ϭ 41,414141... 100N ϭ 41 ϩ 0,414141... 100N ϭ 41 ϩ N 99N ϭ 41 x 41 99 ϭ fração geratriz b) 0,222... x ϭ 0,222... 10x ϭ 2,222... 10x ϭ 2 ϩ 0,222... 10x ϭ 2 ϩ x 9x ϭ 2 x 2 9 ϭ fração geratriz d) 0,178 N ϭ 0,1787878... 10N ϭ 1,787878... 10N ϭ 1 ϩ 0,787878... 0,787878... 78 99 .ϭ( ) Verifique. 10N ϭ 1 ϩ 78 99 990N ϭ 99 ϩ 78 N 177 990 ϭ fração geratriz Você sabia? O número 0,999... é igual a 1, pois o símbolo 0,999... representa o número cujos valores aproximados são 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; etc., cada vez mais próximo de 1. Dizemos que essa sequência tem 1 como limite. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 18 4/16/13 5:09 PM
  19. 19. 19Capítulo 1 • Conjuntos numéricos Números racionais e medidas de grandezas 1a ) A unidade u cabe em AB um número inteiro de vezes: A uB Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em AB. Então a medida de AB ϭ p unidades, em que p é um número natural. Na representação acima a medida de AB é 5u. 2a ) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes em AB: A u vB Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que caiba q vezes no segmento unitário u e p vezes no segmento de reta AB. A medida de v será a fração 1 q e, consequentemente, a medida de AB será p vezes 1 q ou seja, igual a p q . Quando tal segmento v existe, dizemos que os segmentos de reta u e AB são comensuráveis e a medida de AB é o número racional p q . Na figura acima, temos que a medida de AB u5 1 2 ϭ ou 5,5u. Se tomássemos a unidade u como sendo 1 centímetro (1 cm), teríamos que a medida de AB ϭ 5,5 cm. Observação: Nem sempre existe o segmento v nas condições acima, ou seja, nem sempre dois segmentos são comensuráveis. Estudaremos isso ainda neste capítulo. Os números racionais na reta numerada Imaginemos uma reta na qual foram fixados um ponto O, chamado de origem, e um ponto U, diferente de O. To- mamos o segmento OU como unidade de comprimento (de medida 1). Escolhemos também um sentido para ser o po- sitivo. Agora, podemos localizar na reta numerada qualquer número racional. Por exemplo, veja a localização dos números racionais 2 3 ; 1 1 2 ;Ϫ Ϫ2,6; 3,25 e 2,333..., além dos inteiros Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. sentido positivo 0 O U unidade Ϫ1Ϫ2 Ϫ2,6 Ϫ1 1 2 Ϫ3Ϫ4 ϩ1 ϩ2 2,333... 3,25 ϩ3 ϩ4 ϩ5 2 3 • 2 3 fica entre 0 e 1: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos duas no sentido de 0 para 1. • Ϫ1 1 2 fica entre Ϫ2 e Ϫ1, no ponto médio do intervalo. • 3,25 3 25 100 3 1 4 ϭ ϭ fica entre 3 e 4: dividimos o intervalo em 4 partes iguais e tomamos uma no sentido de 3 para 4. • 2,333... 2 3 9 2 1 3 ϭ ϭ fica entre 2 e 3: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos uma no sentido de 2 para 3. Todo número racional tem um ponto correspondente na reta numerada. Mas nem todo ponto da reta numerada corresponde a um número racional. Assim, o conjunto Q não “preenche” toda a reta numerada, é como se existissem “buracos” a serem completados com um outro tipo de número: os números irracionais. Para refletir • Entre dois números inteiros, sempre há um outro número inteiro? • Entre dois números racionais sempre há um outro número racional? Converse com um colega sobre isso. Veja as respostas no Manual do Professor. Historicamente, os números racionais estão associados a resultados de medi- çõesempíricasdegrandezas.Porexemplo,aomedirocomprimentodosegmento de reta com uma unidade u de medida 1, podem ocorrer duas possibilidades: Segmento de reta: parte da reta compreendida entre dois de seus pontos distintos, denominados extremos. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 19 4/16/13 5:09 PM
  20. 20. Unidade 1 • Números e funções20 6 Números irracionais Por muito tempo, acreditou-se que os números racionais eram suficientes para medir todos os segmentos de reta, ou seja, que todos os segmentos eram comensuráveis. Os discípulos de Pitágoras também acredita- vam nisso, mas foram eles próprios que descobriram que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis (veja a página 22). A pergunta é: que número, elevado ao quadrado, resulta em 2? Com o uso de uma calculadora, podemos obter parte da representação decimal do número fazendo aproximações sucessivas. 2 1 1 ( 2) 2 4 ( 2 2 ϭ ϭ ϭ ? menordoque maiordoquue está entre e 2) 1 22 2 1 4( ) 1,96( 2) (1,5) 2, 2 2 ϭ ϭ ϭ ? menordoque, 225 ( 2) 1,4 1,5 maiordoque está entre e2 2 (1,41) 1,9881 ( 2) (1,42) 2 2 ϭ ϭ ? menordoque ϭϭ 2,0164 ( 2) 1,41 maiordoque está entre e2 1,42 2 1,414 1,999396( 2) 1,4 2 ϭ ϭ ? ( ) menordoque ( 115 2,002225( 2)2 ) maiordoque está entre ϭ 2 1,414 1,415e Se continuarmos esse processo, não chegaremos nem a uma representação decimal exata nem a uma dízima periódica. Portanto, 2 não é um número racional (veja a demonstração desse fato na página 22). Os números que não admitem uma representação decimal exata nem uma representação na for- ma de dízima periódica chamam-se números irracionais. 2 é um número irracional, pois a represen- tação decimal de 2 possui infinitas casas decimais não periódicas. A sequência 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; etc. aproxima-se do número irracional: 2 1,414213562...ϭ Observação: Para fazer cálculos, usamos valores racionais aproximados de 2 , como 2 1,41 2 1,4142ouӍ Ӎ . Há infinitos números irracionais; veja alguns: a) 0,10100100010000100000... b) 2,71727374... c) A raiz quadrada de um número natural não quadrado perfeito é irracional: 3 ; 5 ; 8 ;Ϫ Ϫ 10 . d) A raiz cúbica de um número natural não cúbico perfeito é irracional: 7 ; 11 ; 15 ; 253 3 3 3 Ϫ Ϫ . e) 3 2 0,8660254...ϭ f) 3 5 1,3416408...ϭ Ao medir a diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade de compri- mento chegamos a um número que não é racional. Acompanhe: Usando a relação de Pitágoras: d2 ϭ 12 ϩ 12 d2 ϭ 2 d ϭ 2 Diagonal de um polígono convexo: segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. 1 1 dEstimule os alunos a ler, interpretar e debater o texto da página 22. Se necessário, recorde com eles a relação de Pitágoras. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 20 4/16/13 5:09 PM
  21. 21. 21Capítulo 1 • Conjuntos numéricos ␲ (Pi) é irracional O número ␲ é obtido dividindo-se a medida do comprimento de qualquer circunferência pela medi- da de seu diâmetro (␲ ϭ 3,1415926535...). Veja algumas aproximações para ␲: 3 Ͻ ␲ Ͻ 4 3,1 Ͻ ␲ Ͻ 3,2 3,14 Ͻ ␲ Ͻ 3,15, etc. O número de ouro dos gregos, ⌽ (Fi), é irracional Considere um segmento de reta AB cuja medida AB é de 1 unidade de comprimento. Nele podemos localizar um ponto C, de tal modo que C divide AB na seguinte proporção: a razão entre o segmento todo e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor. A C B x 1 Ϫ x Assim, AB AC AC CB ,ϭ ou seja: 1 1 1 1 02 2 x x x x x x xϭ Ϫ ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϭ⇒ ⇒ Resolvendo essa equação, o valor positivo de x é 5 1 2 . Ϫ Consideremos a razão: 1 1 5 1 2( 5 1) 5 1)( 1) 1 5 x ϭ Ϫ ϭ ϩ Ϫ ϩ ϭ ϩ 2 5 2( ⌽ ϭ ϭ 1 51 5ϩ 2 1,6180339887... Esse número irracional, 1 5 2 ϩ , cujo valor aproximado racional é 1,618034, é conhecido como número de ouro, razão de ouro ou ainda razão áurea. Para os gregos, o número de ouro representava harmonia, equi- líbrio e beleza. Por esse motivo, muitas construções gregas tinham como base esse número. Mas foi no século XIII que o matemático Fibonacci constatou que o número de ouro está presente também na natureza. No Renascimento, a revalorização dos conceitos es- téticos gregos levou grandes pintores, como Leonardo da Vinci, a utilizar o número de ouro em suas pinturas, como na obra Mona Lisa, citada no início deste capítulo. Você sabia? • Que os matemáticos já demonstraram que ␲ é um número irracional? • Que o número irracional ␲ foi calculado com o auxílio de um computador, obtendo-se 1,2 trilhão de casas decimais sem que tenha surgido uma decimal exata ou uma dízima? A demonstração feita pelos matemáticos é o único modo que temos de saber que nenhum computador vai encontrar periodicidade no cálculo dos algarismos decimais do ␲, mesmo que examine alguns trilhões de dígitos. Estimule os alunos a pesquisar sobre o número áureo ou número de ouro dos gregos. Mona Lisa, óleo sobre tela de Leonardo da Vinci. NYT/TheNewYorkTimes/Latinstock O número de ouro será retomado no capítulo 7, que aborda sequências. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 21 4/16/13 5:09 PM
  22. 22. Unidade 1 • Números e funções22 Leituras A crise dos irracionais Como já dito anteriormente, os pitagóricos acreditavam que, tomando-se quaisquer dois segmentos, eles seriam comensurá- veis. Para eles, o dogma de sua doutrina, “TUDO É NÚMERO”, referia-se aos números racionais, já que eles não concebiam a existência de outros números que não fossem racionais (inteiro ou fração). Assim, como estudamos, ao medirem a diagonal de um qua- drado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, os pitagó- ricos se depararam com o número irracional 2 1,414213562...,ϭ ou seja, descobriram que o lado desse quadrado e sua diagonal são segmentos incomensuráveis. Essa descoberta causou, na época, grande constrangimento, pois punha por terra um dos dogmas centrais dos pitagóricos: “TUDO É NÚMERO” (racional). Conta-se que Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar tal descoberta para não abalar a sua doutrina, mas um deles, Hipaso, quebrou o voto de silêncio e foi, por isso, duramente punido. A resistência aos números irracionais prosseguiu por vários séculos, até que, no fim do século XIX, o matemático George Cantor fundamentou-os adequadamente. Prova de que 2 é irracional Para provar que 2 é um número irracional, vamos supor que ele seja um número racional, ou seja, que possa ser escrito na forma p q , p ʦ Z, q ʦ Z, e q ϶ 0 e chegar a um absurdo. Supomos que 2 é racional, ou seja, 2 ϭ p q . Consideramos p q fração irredutível, ou seja, p e q são primos entre si, isto é, mdc (p, q) ϭ 1. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 2( )     ⇒ ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Iϭ ϭ ϭ p q p q p q Como todo número par pode ser escrito na forma 2k, em que k ʦ Z, temos que p q k 2 2 2ϭ é par (II). Assim, p2 é par ⇒ p é par ⇒ p ϭ 2m, m ʦ Z (III). Observe que: p m p m q m q m2 4 2 4 22 2 (I) 2 2 2 2 ( ϭ ϭ ϭ ϭ⇒ → ⇒ III) 2  → q é par ⇒ q é par (IV) As conclusões (III) de que “p é par” e (IV) de que “q é par” são contraditórias, já que p e q foram supostos primos entre si. Chegamos a um absurdo. Assim, não podemos supor que 2 é racional. Logo, 2 é irracional. Portanto, 2 1,4142135...ϭ não é uma decimal exata nem periódica. George Cantor Interfoto/Latinstock Busto de Pitágoras AraldodeLuca/Corbis/Latinstock Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 22 4/16/13 5:09 PM
  23. 23. 23Capítulo 1 • Conjuntos numéricos 7 Conjunto dos números reais (R) Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais (R). Comoconstatamos,osnúmerosracionaisnãosãosuficientesparapreenchertodosospontosdaretanumera- da.OconjuntoRpodeservistocomomodeloaritméticodeumareta,enquantoesta,porsuavez,éomodelogeo- métricodeR.Porexemplo,ospontosdaretacorrespondentesaosnúmerosϪ 3 , ,2 etc.nãosãoalcançadoscom os números racionais. Já os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corres- ponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela zero), um sentido de percurso e uma unidade de comprimento, por exemplo: 10 (unidade de comprimento) Observe alguns números reais colocados na reta real: 0Ϫ1Ϫ1,5Ϫ2 Ϫ 2 Ϫ 3 4 10,5 1,5 2 2 O diagrama ao lado relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui. Observação: Com os números reais, toda equação do tipo x2 ϭ a, com a ʦ N, pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos. Desigualdades entre números reais Dados dois números reais quaisquer, a e b, ocorre uma e somente uma das seguintes possibilidades: a Ͻ b ou a ϭ b ou a Ͼ b Z N Q R Ir N ʚ Z ʚ Q ʚ R Fique atento! São reais: • os números naturais; • os números inteiros; • os números racionais; • os números irracionais. • Geometricamente, a desigualdade a Ͻ b significa que a está à esquerda de b na reta real: a a Ͻ b b A desigualdade a Ͼ b significa que a está à direita de b na reta real: b a Ͼ b a • Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos: a) 2,195... Ͻ 3,189..., pois 2 Ͻ 3; b) 4,128... Ͻ 4,236..., pois 4 ϭ 4 e 0,1 Ͻ 0,2; c) 3,267... Ͻ 3,289..., pois 3 ϭ 3; 0,2 ϭ 0,2 e 0,06 Ͻ 0,08; d) 5,672... Ͻ 5,673..., pois 5 ϭ 5; 0,6 ϭ 0,6; 0,07 ϭ 0,07 e 0,002 Ͻ 0,003, e assim por diante. • Algebricamente, a Ͻ b se, e somente se, a diferença d ϭ b Ϫ a é um número positivo, ou seja, vale a Ͻ b se, e somente se, existe um número real positivo d tal que b ϭ a ϩ d. Você sabia? Ordenar os números reais aritmeticamente é como ordenar as palavras em um dicionário. Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais, dizemos que eles estão ordenados. Usamos também a notação a р b para dizer que a Ͻ b ou a ϭ b. Assim: a р b lê-se a é menor do que ou igual a b. b у a lê-se b é maior do que ou igual a a. Notação: conjunto de sinais com que se faz uma representação ou designação convencional. Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 23 4/16/13 5:09 PM

×