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1. Equivalência LógicaNo módulo III definimos e estudamos alguns exemplos de equivalência lógica. Nós vamoscontinuar o est...
uma tautologia. Portanto, podemos concluir que não existe a relação de equivalência lógica, ou seja,que P(p,q) = (p ↔ (q ...
Logo existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) , pois toda vez que P(p,q) éverdadeira, Q(p,q) também é v...
Pela condicional associada:                                         P(p,q)      Q(p,q)                   condicional assoc...
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  1. 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO IV Equivalência Lógica Implicação LógicaProfessor Newton Marquez Alcantara 1
  2. 2. 1. Equivalência LógicaNo módulo III definimos e estudamos alguns exemplos de equivalência lógica. Nós vamoscontinuar o estudo desta relação apresentando uma segunda maneira de verificar se a relação deequivalência lógica existe ou não entre duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...).1.1. RECORDANDO: Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se têm amesma tabela verdade. Portanto, para verificar a existência ou não da relação de equivalência lógicaentre duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) , basta construir as tabelas-verdade para ambasas proposições e verificar se o resultado final é o mesmo.1.2. Uma segunda maneira de verificar a existência da relação de equivalência lógica.Definição: sejam P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) duas proposições. P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) sãologicamente equivalentes se e somente se a bicondicional “P (p,q,r,s,...) ↔ Q (p,q,r,s,...)” é umatautologia.Observação: A bicondicional (P (p,q,r,s,...) ↔ Q (p,q,r,s,...)) é denominada de bicondicionalassociada.Exemplo: Verificar se P(p,q) = p → q e Q (p,q) = p’ + q são logicamente equivalentes. bicondicional associada P q p’ p→q p’ + q (p → q) ↔ (p’ + q) 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1Como a bicondicional associada “(p → q) ↔ (p’ + q)” é uma tautologia, podemos concluir queexiste a relação de equivalência lógica, ou seja, que P(p,q) = (p → q) é logicamente equivalente aQ (p,q) = (p’ + q).Exemplo: Verificar se P(p,q,r) = p ↔ (qr) e Q(p,q,r) = q + (p→r)’ são logicamente equivalentes. bicondicional associada p q r q r p ↔ (q r) p→r (p→ r)’ q + (p→ r)’ (p ↔ (q r)) ↔ (q + (p→r)’) 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0Como a bicondicional associada [(p ↔ (q r)) ↔ (q + (p→r)’] é uma contingência, ou seja, não é 2
  3. 3. uma tautologia. Portanto, podemos concluir que não existe a relação de equivalência lógica, ou seja,que P(p,q) = (p ↔ (q r)) não é logicamente equivalente a Q (p,q) = (q + (p→r)’).Exercícios: Verifique, tanto pela definição quanto pela bicondicional associada, se existe a relaçãode equivalência lógica.a) P(p,q,r) = r + (p . q) Q(p,q,r) = (r + p) . (r + q)b) P(p,q) = (p → q)’ Q(p,q) = (q’ → p’)RESPOSTAS:a) Existe a relação de equivalência lógicab) Não existe a relação de equivalência lógica2. Implicação Lógica2.1. Definição. Uma proposições P (p,q,r,s,...) implica logicamente uma proposição Q (p,q,r,s,...) see somente se toda vez que P (p,q,r,s,...) for verdadeira também verificarmos que Q (p,q,r,s,...) éverdadeira.De outra forma, uma proposições P (p,q,r,s,...) implica logicamente uma proposição Q (p,q,r,s,...)se e somente se for impossível que P (p,q,r,s,...) seja verdadeira e Q (p,q,r,s,...) seja falsa.2.2. Simbologia. Simbolicamente, representaremos este fato, por “P (p,q,r,s,...)  Q (p,q,r,s,...)”e leremos como “a proposição P (p,q,r,s,...) implica logicamente a proposição Q (p,q,r,s,...)”.OBSERVAÇÃO: Os símbolos “→” e “” são completamente distintos. O primeiro (“→”)representa a condicional, que é um conectivo. O segundo (“”) representa a relação deimplicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições.2.3. Verificação da existência da relação de implicação lógica entre duas proposições P (p,q,r,s,...)e Q (p,q,r,s,...). O processo de verificação decorre diretamente da definição. Basta construir astabelas-verdade para ambas as proposições e verificar se em toda linha da tabela-verdade queP (p,q,r,s,...) for verdadeira Q (p,q,r,s,...) também é verdadeira.Exemplo: Verificar se P(p,q) = (p ↔ q) implica logicamente Q (p,q) = (p → q). P(p,q) Q(p,q) p q p↔q p→q 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 3
  4. 4. Logo existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) , pois toda vez que P(p,q) éverdadeira, Q(p,q) também é verdadeira. Portanto, podemos escrever que P (p,q)  Q (p,q) , ouseja, que (p ↔ q)  (p → q).Segunda alternativa de verificação: Da mesma forma que na equivalência lógica, na implicaçãológica temos uma segunda alternativa para verificar a existência desta relação entre duasproposições. A verificação passa pela constatação de que a Condicional Associada é tautológica. ACondicional Associada é construída fazendo-se “P(p,q) → Q(p,q)”. Se “P(p,q) → Q(p,q)” for umatautologia, então existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) , ou seja, podemosafirmar que P(p,q)  Q(p,q) .Exemplo: Verificar, utilizando a condicional associada, se P(p,q) = (p ↔ q) implica logicamenteQ (p,q) = (p → q). P(p,q) Q(p,q) condicional associada p q p↔q p→q (p ↔ q) → (p → q) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 tautologiaComo a condicional associada é tautológica, ou seja ela é sempre verdadeira, então existe a relaçãode implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q) . Portanto, podemos escrever que P (p,q)  Q (p,q) ,ou seja, que (p ↔ q)  (p → q).Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q) = (p’ + q’) implicalogicamente Q (p,q) = (p  q). P(p,q) Q(p,q) p q p’ q’ p’ + q’ pq 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0Pela definição: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q), pois temos aomenos uma situação em que P(p,q) é verdadeira e Q(p,q) é falsa (4ª linha da tabela verdade).Portanto, P (p,q) não implica logicamente Q (p,q). 4
  5. 5. Pela condicional associada: P(p,q) Q(p,q) condicional associada p q p’ q’ p’ + q’ pq (p’ + q’) → (p  q) 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 contingênciaNão existe a relação de implicação lógica entre P(p,q) e Q(p,q), pois a condicional associada é umacontingência, ou seja, não é uma tautologia. Portanto, P (p,q) não implica logicamente Q (p,q).Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q,r) = ((p → q)  r) implicalogicamente Q(p,q,r) = ((p’+q) + r) . P(p,q,r) Q(p,q,r) condicional associada p q r p’ p→q (p → q)  r p’ + q (p’+ q) + r [(p → q)  r] → [(p’+q) + r] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 tautologia Pela definiçãoJUSTIFICATIVASPela definição: Existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois toda vez queP(p,q,r) é verdadeira, Q(p,q,r) também é verdadeira. Portanto, P(p,q,r) implica logicamenteQ(p,q,r) , ou seja, P(p,q,r)  Q(p,q,r).Pela condicional associada: Existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois acondicional associada é uma tautologia, ou seja, a condicional associada é sempre verdadeira.Portanto, P(p,q,r) implica logicamente Q(p,q,r) , ou seja, P(p,q,r)  Q(p,q,r). 5
  6. 6. Exemplo: Verificar, pela definição e pela condicional associada, se P(p,q,r) = (qr) ↔ p implicalogicamente Q(p,q,r) = (p→r)’ + q. P(p,q,r) Q(p,q,r) condicional associada p q r q r (q r) ↔ p p → r (p→r)’ (p→r)’ + q ((q r) ↔ p) → ((p→r)’ + q) 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Contingência Pela definiçãoJUSTIFICATIVASPela definição: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), pois existe casoem que P(p,q,r) é verdadeira e Q(p,q,r) é falsa (3ª e 8ª linhas da tabela-verdade). Portanto, P (p,q,r)não implica logicamente Q (p,q,r).Pela condicional associada: Não existe a relação de implicação lógica entre P(p,q,r) e Q(p,q,r), poisa condicional associada é uma contingência, ou seja, não é uma tautologia. Portanto, P (p,q,r) nãoimplica logicamente Q (p,q,r).Exercícios: Verifique, tanto pela definição quanto pela condicional associada, se existe a relação deimplicação lógica.a) P(p,q,r) = r + (p . q) Q(p,q,r) = (r + p) + (r + q)b) P(p,q) = (p’ → q) Q(p,q) = (q’ ↔ p)RESPOSTAS:a) Existe a relação de implicação lógicab) Não existe a relação de implicação lógica 6

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